オームの法則

抵抗を流れる電流と電位差の間に成立する有名な関係として, オームの法則が知られている.

オームの法則とは, 電気抵抗を電流 \(I \) が流れていて抵抗の前後で電位差 \(V \) が生じている時, 比例係数 \(R \)抵抗といい次式が成立する法則であった. \[ V = R I \quad . \] ただし, オームの法則は基本法則ではなく実験的によく見られるという経験則にすぎない. 現実にはオームの法則に従わないような非オーム抵抗と呼ばれる抵抗も多数存在する. 高校物理の範囲内では非オーム抵抗については詳しく議論されないが, 特性曲線というオームの法則に対応する曲線が登場することになる.

以下では, オームの法則を満たすような抵抗内部での電子運動を説明するモデルを紹介し, オームの法則を導出する. また, オームの法則に従わないような抵抗が問題に登場する場合に与えられる特性曲線について考えることにする.

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オームの法則の概観
電流の速さ
オームの法則の導出
抵抗の温度依存性
特性曲線


オームの法則の概観

まずはオームの法則の結論だけをまとめておこう.

下図に示すように, 導線上に電位 \( \phi_{A} \) の面と電位 \( \phi_{B} \ ( < \phi_{A} ) \) の面がある場合, \( \phi_{A} \) の面から \( \phi_{B} \) の面に向かって電流が流れることになる[1].

導体内部の電位差

このとき, 導線を流れる電流の大きさ \(I \) は, 電位差 \[ V_{AB} = \phi_{A} – \phi_{B} \] に比例し, 比例係数を \( \displaystyle{ \frac{1}{R} } \) とすると, \[ I = \frac{1}{R} V_{AB} \ \Leftrightarrow \ V_{AB} = R I \] が成立する. これをオームの法則という. また, 比例係数に用いた記号 \(R \) を(電気)抵抗という. 抵抗を描く場合, 回路中に長方形を描いて表現する. 回路中にギザギザを描くことで抵抗を表す記法も未だに一部の参考書などで見受けられるが, こちらは古い記法である.

オームの法則より, 電位差 \(V_{AB} \) が同じ導体中では抵抗 \(R \) が大きいほど電流 \(I \) の値が小さいことがわかる. この抵抗 \(R \) の値は導線の材質及び温度によって決まる抵抗率 \( \rho \) と導線の断面積 \(S \) や長さ \(l \) という形状によって決まる部分に分けることができ, \[ R = \rho \frac{ l }{ S } \] と表すことができる. すなわち, 抵抗を担う導線の長さが長いほど, 断面積が小さいほど抵抗の大きさは大きくなることがわかる.

オームの法則

オームの法則 :
抵抗値 \(R \) の抵抗を流れる電流を \(I \), 抵抗を挟んだ電位差を \(V \) とすると, 次式が成立する. \[ V = R I \]

抵抗 \(R \) は抵抗の材質や温度などで決まる抵抗率 \( \rho \) と抵抗の断面積 \(S \)及び抵抗の長さ \(l \) を用いて, 次式で表すことができる. \[ R = \rho \frac{l}{S} \]

オームの法則の導出

電流の速さ

電流の項目では導線中の自由電子が動くことで電流が生じることを議論した. 電流とは, 導線中の自由電子に電気力が働くことで電子の集団が移動したものであった. この立場を延長することでオームの法則を導出する.

電気力のみが働く場合

素朴なモデルとして, 電子に電気力のみが働く場合を考えてみよう. (ただし, すぐにわかるように, このモデルの結論は現実と一致しないので棄却される. )

電場 \( \boldsymbol{E} \) に置かれた多数の電子の平均速度を \( \bar{\boldsymbol{v}} \), 一つ一つの電子の質量を \(m_{e} \), 電荷を電気素量 \(e \ ( > 0) \) を用いて \(- e \) とすると, 集団の平均としての運動方程式\[ m_{e} \frac{d \bar{\boldsymbol{v}} }{dt} =- e \boldsymbol{E} \\ \] となる.

速度の時間変化を知るために, 運動方程式を時間で積分すると, \[ \begin{aligned} & \int \frac{d \bar{\boldsymbol{v}} }{dt} \ dt =- \int \frac{e \boldsymbol{E}}{m_{e}} \ dt \\ \therefore \ & \bar{\boldsymbol{v}} =- \frac{e \boldsymbol{E}}{m_{e}} t + C \quad (\mbox{$C$は積分定数}) \end{aligned} \] となるので, 電子の平均の速さ \(v \) は, 大きさ \(E \) の電場に置かれた時間 \(t \) に比例して増えることになる. 電子の速さが増加すれば, 単位時間あたりに単位面積を貫く電子の量は増加する. つまり, 電流値が増加し続けることを意味する. しかし, 電位差が一定の電池によって引き起こされる電流の値は定常的であり実験事実に反する. したがって, はじめに考えた運動方程式のままでは現実の物理を説明することができておらず, 修正をする必要があることがわかる.

電気力に加えて抗力が働く場合

電流を電子の流れとして説明するためのモデルについても様々語りたいことがあるのだが, 古典物理学の範囲内で妥当なモデルを紹介しておこう.

そのモデルとは, “自由電子が電位差のある物質内を運動しようとしている時に, 原子核との衝突[2]によってその運動が阻害されるというモデル”であり, 電子の速度に比例する抵抗力を運動方程式につけ加える. 抵抗に関わる比例係数を \(k \) とすれば, 電子の平均運動を表す運動方程式は次式のように書くことができる. \[ \begin{aligned} & m_{e} \frac{d \bar{\boldsymbol{v}} }{dt} =- e \boldsymbol{E} – k \bar{\boldsymbol{v}} \\ \to \ & \frac{d \bar{\boldsymbol{v}} }{dt} =- \frac{k}{m_e} \left( \bar{\boldsymbol{v}} + \frac{e \boldsymbol{E}}{k} \right) \quad . \end{aligned} \] これは物理でよく登場する形の微分方程式の形である. 実際, 空気抵抗を受けながら落下する物体の問題と全く同じ形式となっている,

この微分方程式を解く計算過程は単に数学の問題であるので脚注に回すことにするが, 計算結果は \[ \bar{\boldsymbol{v}} = \frac{ -e \boldsymbol{E}}{k} \left( 1 – e^{ – \frac{k}{m_e} t} \right) \quad . \] となる[3]. この速度 \(v \) は下図に示すような振る舞いをし, 十分な時間が十分経過する( \(t \to \infty \) )と \( \displaystyle{ \frac{d \bar{\boldsymbol{v}} }{ dt } = 0} \) を満たすことになる. この時の速度を \( \bar{\boldsymbol{v}}_{\infty} \) と書けば, \[ \bar{\boldsymbol{v}}_{\infty} = \frac{ -e \boldsymbol{E}}{k} \] となるので, 速度の時間変化は \[ \bar{\boldsymbol{v}} = \bar{\boldsymbol{v}}_{\infty} \left( 1 – e^{ – \frac{k}{m_e} t} \right) \] と表すことができる[4]. ただし, 実際には \(v \to v_{\infty} \) になるために, 通常の状況下では1秒もかかることはなく, 高校物理の範囲内では電子の平均速度はすぐさま \(v_{\infty} \) になるとしてよい.

電場中に置かれた時間と電子の速度

オームの法則の導出

導線の内部を流れる電流についてわかっていることをまとめてみよう.

断面積が \(S \), 電子の数密度が \(n \) の導線内部の電子の平均の速さを \( \bar{v} \) とすると, 電流の大きさ \(I \) は素電荷 \(e \) を用いて, \[ I = \frac{ \Delta Q }{\Delta t } = enS \bar{v} \] と表すことができた.

また, 大きさ \(E \) の電場に置かれた電子の集団が最終的に落ち着く速さ \( \bar{v}_{\infty} \) は定数 \(k \) を用いて, \[ \bar{v}_{\infty} = \frac{e E}{k} \] であった.

さらに, 電位差 \(V \) と電場 \(E \) は互いに微分積分の関係にあることから両者の間で成立する関係式を求めておこう.

導線中の低電位側の位置を \(x_{B} \) (電位 \( \phi_{B} \) ), 高電位側の位置を \(x_{A} \) (電位 \( \phi_{A} \) )とする. 位置 \(x_{B} \) に対する位置 \(x_{A} \) の電位 \(V_{AB} \) は電場の線積分で求めることができる. 線積分を行う時に, 電場 \( \boldsymbol{E} \) の向きと \(x_{B} \) から \(x_{A} \) へ向かう微小変位 \(d\boldsymbol{l} \) の向きが反対であることに注意すると, \[ \begin{aligned} V_{AB} &= \phi_{A} – \phi_{B} \\ &= \int_{x_{A}}^{x_{B}} \underbrace{ \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} }_{ =- E dl } \\ &= \int_{x_{B}}^{x_{A}} E \ dl \\ &= E \left( x_{A} – x_{B} \right) \end{aligned} \] と求めることができる. 抵抗を担う導線の長さを \(l = x_{A} – x_{B} \) とすれば, \[ V = E l \] という関係式が成立する.

以上の結果を用いて電流と電位の関係を求めると, \[ \begin{aligned} I &= e n S \underbrace{ \bar{v} }_{ \to \bar{v}_{\infty} = \frac{e E}{k} } \\ &= \frac{ e^2 n }{k} S \underbrace{ E }_{ = \frac{V}{l}} \\ &= \frac{ e^2 n }{k} \frac{S}{l} V \end{aligned} \] \[ \therefore \ V = \frac{ k }{ e^2 n } \frac{l}{S} I \] となり, 電流は電位に比例することがわかる. 導線の物質ごとにきまる定数 \( \displaystyle{ \frac{k}{e^2 n} } \)抵抗率 \[ \rho = \frac{k}{e^2 n} \] と定義して, 導線の形状を含めた値を抵抗 \[ R = \rho \frac{l}{S} \] と定義することで, 最終的にオームの法則 \[ \begin{aligned} & V = \frac{ k }{ e^2 n } \frac{l}{S} I = \rho \frac{l}{S} I = R I \\ \therefore \ & V = RI \end{aligned} \] を導くことができる.

オームの法則の導出

電子の速度に比例した抵抗に関わる抵抗係数を \(k \) とすると, 電子の集団の運動方程式は次式で近似することができる. \[ \frac{d \bar{\boldsymbol{v}} }{dt} =- \frac{k}{m_e} \left( \bar{\boldsymbol{v}} + \frac{e \boldsymbol{E}}{k} \right) \] このとき, 電子の終端速度は \[ \bar{v}_{\infty} = \frac{eE}{k} \quad . \]

電場\(E \)と電位差\(V \)の関係式は \[ V = El \quad \quad . \]

以上の関係式を電流の式 \[ I = e n S \bar{v} \quad \] に代入して, 抵抗率と抵抗を適切に定義することでオームの法則が導かれる. \[ \begin{aligned} I & = enS \bar{v}_{\infty} \\ & = \underbrace{ \frac{e^2n}{k} }_{\frac{1}{\rho} }\frac{S}{l} V \\ & = \underbrace{\frac{1}{\rho} \frac{S}{l}}_{\frac{1}{R}} V \\ \therefore \ & V = R I \quad . \end{aligned} \]

非オーム抵抗

抵抗の温度依存性

オームの法則に従うような抵抗の内部で起きていることを説明するモデルとして, 自由電子の運動が抵抗を構成している陽イオンによって妨げられることを紹介した. このモデルはそれなりに正しいモデルではあるものの, 電子などのミクロな現象を説明するには限界がある. ミクロな世界の物理学である量子力学は大学以降で学ぶことになるが, 少し先取りして面白い結論を一つ紹介しよう.

量子力学によると”原子(陽イオン)の配列が完全に規則的な場合, 自由電子は抵抗を受けない”ということが知られている. では, 自由電子を妨げる要因は何かといえば, ”規則的な原子配列からのズレ(=不規則性)”が導体内部の電子の運動を妨げているのである.

原子配列の不規則性は様々な原因から生じるが, その一つが原子の熱運動である. 気体分子運動論で紹介したように, 物体の温度が高いことはその構成原子の運動が激しいことを表している. これは固体についても成立しており, 温度が高い物体は規則的な原子配列位置の周りで振動等の熱運動を行っており, 原子配列の不規則性を生むことになる.

温度が上昇することで電気抵抗の抵抗値もおおきくなることから, 最も単純には抵抗と温度が比例することが考えられる. そこで, 比例係数を \( \kappa \) とすれば, \[ R = \kappa T \] とおくことができる. ここで \(T \) は絶対温度の値を表す. 絶対温度 \(T \ \mathrm{K} \) とセルシウス温度 \(t \ \mathrm{C^{\circ}} \) の関係は \[ T = 273.15 + t \] であるので, セルシウス温度で表すと \[ R = \kappa \left( 273.15 + t \right) \] となる.

\(t = 0 \ \mathrm{C^{\circ}} \) の時の抵抗値を \(R_{0} \) とすると, \[ R_{0} = 273.15 \kappa \ \Leftrightarrow \ \kappa = \frac{ R_{0} }{273.15} \] であり, \(R \)\(R_{0} \) で表し, 抵抗の温度係数 \( \alpha \)\[ \begin{aligned} \alpha &= \frac{1}{273.15} \\ & \approx 3.66 \times 10^{-3} \ { \mathrm{C^{\circ}} }^{-1} \end{aligned} \] とすると, 抵抗は最終的に次式で表すことができる. \[ \begin{aligned} R &= R_{0} \left( 1 + \frac{1}{273.15} t \right) \\ \to \ R &= R_{0} \left( 1 + \alpha t \right) \end{aligned} \] ただし, 抵抗の温度係数 \( \alpha \) は厳密に \( \displaystyle{\frac{1}{273.15}} \) というわけではない. 原子配列の不規則性は熱運動だけでなく, 原子が欠けているなどの要因からも現れるので, 実際にどうなっているかは実験によってのみ知ることができる.

以上の議論より, 抵抗の値 \(R \ \mathrm{\Omega} \) が温度 \(t \ \mathrm{C^{\circ}} \) (あるいは \(T \ \mathrm{K} \) )の関数であり, \(R = R(t) \) であるので, \[ V = R(t) I \] と表すことができる. 抵抗が一定の値を持たず, 電流 \(I \) を縦軸, 電圧 \(V \) を横軸にして描いた \(I-V \) 図が直線になっていないという意味で, 非線形抵抗などと呼ばれる.

特性曲線

非線形抵抗は様々な例が知られており, 抵抗値が電流や電圧の値によって変化する場合も含まれる. 抵抗が電流や電圧の関数である場合には, 電圧が電流に比例せず, \[ V \propto I \] を満たさないことになる. これは, 電圧が電流の大きさに比例するというオームの法則を満たさない抵抗なので, 非オーム抵抗などと呼ばれる[5].

非線形抵抗の詳細については高校物理の電磁気では扱われない. そのかわりに, 非線形抵抗に流れる電流 \(I \) とかけられた電圧 \(V \)\(I-V \) 図に描いた( \(I-V \) )特性曲線が問題に与えられることになる(下図参照).

高校物理では, 非線形回路に流れる電流 \(I \) と電圧 \(V \) の2つが未知数として, 特性曲線が既に得られたものとしてグラフが与えられる. 特性曲線は電流と電圧の対応関係を与える図であるので未知数を消去するための式が1つ与えられたことに等しい. 未知数2つを消去するために, 電流と電圧についての関係式が残り1つ必要となる. それはキルヒホッフの法則と呼ばれ, 回路について成立する法則で求めることができ, 別にページを設けて紹介することにする.

特性曲線と回路について成立する関係式 \[ a I + b V = c \quad (\mbox{$a,b,c$は定数}) \] がわかれば, 回路の式を電流について整理して \[ I =-\frac{b}{a}V + \frac{c}{a} \] として, 特性曲線に一緒に書き込めばその交点が非線形抵抗の実際の電流と電圧を知ることができる.

オームの法則に従わない抵抗

抵抗の温度係数を \( \alpha \), \(t = 0 \ \mathrm{C^{\circ}} \) のときの抵抗値を \(R_{0} \) とすると, \[ R = R_{0} \left( 1 + \alpha t \right) \]

次式を満たさないような抵抗を非オーム抵抗という. \[ V \propto I \quad . \]

特性曲線はオームの法則に対応する曲線であり, キルヒホッフの法則と併用することで非オーム抵抗に流れる電流と電位差を知ることができる.

最終更新日
電流 キルヒホッフの法則



補足    (↵ 本文へ)
  1. 実際には電子の集団運動が \( \phi_{B} \) から \( \phi_{A} \) に向かって移動している.

  2. この場合の衝突とは力学的な衝突を意味するものではなく, 互いの電気力による反発が主であり, 散乱という.

  3. この微分方程式は, 適切な式変形を行った後で時間積分を行うことで \( \bar{\boldsymbol{v}} \) について整理することができる. \[ \begin{aligned} & \frac{d \bar{\boldsymbol{v}} }{dt} =- \frac{k}{m_e} \left( \bar{\boldsymbol{v}} + \frac{e \boldsymbol{E}}{k} \right) \\ \to \ & \frac{1}{ \bar{\boldsymbol{v}} + \frac{e \boldsymbol{E}}{k} }\frac{d \bar{\boldsymbol{v}} }{dt} =- \frac{k}{m_e} \\ \to \ & \int \frac{1}{ \bar{\boldsymbol{v}} + \frac{e \boldsymbol{E}}{k} } \underbrace{\frac{d \bar{\boldsymbol{v}} }{dt} \ dt}_{d \bar{\boldsymbol{v}}} =- \int \frac{k}{m_e} \ dt \\ \to \ & \log{ \left| \bar{\boldsymbol{v}} + \frac{e \boldsymbol{E}}{k} \right| }=- \frac{k}{m_e}t + C' \quad (\mbox{$C'$は積分定数}) \\ \to \ & \bar{\boldsymbol{v}} + \frac{e \boldsymbol{E}}{k} = C e^{ – \frac{k}{m_e} t} \quad (\mbox{$C = \pm e^{C'}$は定数}) \end{aligned} \] ここで, 電場をかける前の電子の平均移動速度がゼロであったとすると, \[ \begin{aligned} \boldsymbol{0} + \frac{e \boldsymbol{E}}{k} = C e^{ – \frac{k}{m_e} \cdot 0} \\ \therefore \ C = \frac{e \boldsymbol{E}}{k} \end{aligned} \] と定数 \(C \) を決定することができ, 最終的に次式を得る. \[ \bar{\boldsymbol{v}} = \frac{ -e \boldsymbol{E}}{k} \left( 1 – e^{ – \frac{k}{m_e} t} \right) \quad . \]

  4. この場合の”十分な時間”を表す量として, 緩和時間 \( \tau \) (タウ)というものを考える.

    電子の平均の速さ \[ \begin{aligned} v = \frac{eE}{k} \left( 1 – e^{ – \frac{k}{m_{e}}t } \right) \end{aligned} \] において, 最終的な電子群の平均速さを \( \displaystyle{ v_{\infty} = \frac{eE}{k} } \) とおいて式変形を行い, \[ \begin{aligned} & v = v_{\infty} \left( 1 – e^{ – \frac{k}{m_{e}}t} \right) \\ \to \ & \ v_{\infty } – v = v_{\infty} e^{ – \frac{k}{m_{e}}t} \end{aligned} \] と表せば, ある時刻 \(t \) における速さ \(v \)\(v_{\infty} \) との差(左辺)が時間が経つごとに指数関数的に減少していく(右辺)ことがわかる. ここで緩和時間 \( \tau \)\[ \tau = \frac{m_{e}}{k} \] と定義すれば, \[ \begin{aligned} v_{\infty} – v = v_{\infty}e^{ – \frac{t}{\tau} } \end{aligned} \] と表すことができる. 電子に大きさ \(E \) の電場がかけられてから緩和時間 \( \tau \) だけ経過した時の速さ \(v \) は最終的な速さ \(v_{\infty} \) に対して \[ v_{\infty} – v = v_{\infty}e^{ – \frac{tau}{\tau} } = \frac{1}{e} v_{\infty} \] であり, \(v_{\infty} – v \)\(v_{\infty} \)\(1/e \) 倍になるのに必要な時間が緩和時間である.

    この緩和時間が観測するために必要な時間よりも十分に短ければ, 観測時にはすでに電子の集団は定常的な速さで動いており, 我々にとっては電流がすぐに定常的になるように観測される. この緩和時間は物質や実験室の温度などによって異なる値を持つが通常は \(1 \ \mathrm{s} \) よりも十分に短い緩和時間である.

  5. 非オーム抵抗の代表例として電球などが知られている大学以上の物理学では光を発する物体の放熱量とその温度の関係式(ステファン・ボルツマンの法則)などを扱うことになる. .

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