既知の電磁気現象はマクスウェルによって, 4組の方程式 — マクスウェル方程式 — としてまとめられた. ここでは, 電磁気学の基本法則であるマクスウェル方程式の一つ, ガウスの法則について議論する.
ガウスの法則は電荷と電場との間にどのような関係が成立するのかを教えてくれる法則である. しかし, 電荷によって作られる電場を計算する方法というと, まず真っ先にクーロンの法則 \[ \begin{aligned} \vb*{E} &= k_0 \frac{Q}{\abs{r }^3} \vb*{r} \\ \vb*{F} &= q \vb*{E} \end{aligned} \] が思い浮かぶ高校生がほとんどであろう. 確かに, 静的な点電荷の場合にはクーロンの法則で十分である. しかし, 誤解して欲しくないのは, クーロンの法則は基本法則ではなく, ガウスの法則から導出される法則である, ということである.
高校物理においてクーロンの法則がガウスの法則に先行して紹介されることが多いのは次のような理由である.
すなわち, クーロンの法則は万有引力と形式的な類似点が多く, 対応づけることが容易であるので電場や静電気力という電磁気学で登場する概念を, すでに力学で登場した概念と対応づけて紹介することができるのである. したがって, クーロンの法則によって電場の概念を紹介し, より一般的なガウスの法則に結びつけるという流れをとっているからである.
以下ではまず電気力線という概念を紹介し, 電場の理解を直感的に与えてくれる描画方法について議論した後でガウスの法則について紹介し, 幾つかの簡単なしかし重要な適用例を紹介する.
電気力線
電気力線の性質
電場はベクトル場であるので空間内で様々な方向を向いていることが予想される. この電場の様子を直感的に表すために便利な方法として, 電気力線を導入する.
電気力線はベクトル場の一種である電場を連続的に繋げることで作られる仮想的なものである. まずはじめに電気力線の性質を列挙しておこう.
正電荷から出て負電荷へと入射するか, 始点か終点のどちらかが無限遠へ伸びている.
電荷が存在しない場所では途切れたり, 交差したり, 枝分かれをしない.
電気力線上の任意の点での接線方向がその点での電場の方向を表している.
電荷から伸びる電気力線の本数は電荷の大きさに比例する.
電気力線の密度は電場の強さに比例する.
同じ方向を向いている電気力線は反発し合う.
下図には, 最も簡単な例として空間内に正点電荷もしくは負点電荷の単体を置いたときの電気力線の様子を模式的に表した.
空間内に点電荷が単体で置かれた場合にはその対称性から電気力線は放射状にひろがることになる.
空間内に複数の電荷が存在している場合には, 各点電荷の作る電場 \( \vb*{E}_{i} \) を合成した合成電場 \( \displaystyle{\vb*{E} = \sum_{i} \vb*{E}_{i} } \) の電気力線を描くことになる. 電気力線を正確に描く方法はここでは紹介しないが, 幾つかの簡単な例についてはそのイメージをつかんでおいたほうが後の学習に役立つであろう.
空間内の比較的近い場所に正電荷と負電荷を持つ点電荷を配置したとする. 正電荷が作る電場 \( \vb*{E}_{+} \) と負電荷が作る電場 \( \vb*{E}_{-} \) の合成電場 \( \vb*{E}=\vb*{E}_{+} + \vb*{E}_{-} \) を表す電気力線は下図のようになる.
電気力線の性質により, 正電荷から負電荷へと電気力線が伸びている様子がわかる.
また, 正電荷同士を近くに置いた場合の様子は下図のようになる.
この場合, 2つの正電荷の中点付近では電気力線の密度が低くなっていることについて簡単に考察してみよう. 電気力線の密度は電場の大きさに比例していることから, この位置では電場がゼロに近いことを表している. これは各正電荷が作る電場の合成を考えてみると, 電荷の中点付近では電場の打ち消しが生じていることを表している.
このように, 電気力線は電場の様子の直感的な理解を与えてくれる. なお, 電気力線が現実の空間に存在するわけではないので注意してほしい.
電気力線と電場
電荷 \( Q \) を持つ点電荷からは \( N \) 本の電気力線が球状に放出(または吸収)されているとしよう. 電荷から発生する電気力線の本数は電荷の大きさに比例するとしたので, 比例係数をのちの便利のために \( \displaystyle{\frac{1}{\epsilon_0}} \) として, \[ N = \frac{1}{\epsilon_0} \abs{Q } \]とする.
この点電荷を中心として, 半径 \( r \) の適当な球面 \( S \) での電気力線の(面)密度について考えよう. 球面 \( S \) の面積は \( 4 \pi r^2 \) であるので, 電気力線の(面)密度は \[ \frac{N}{4 \pi r^2} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\abs{Q }}{r^2} \]である.
一方, 電気力線の密度は電場に比例するとしていたが, 電荷から距離 \( r \) だけ離れた球面 \( S \) の各点における電場の大きさは \[ E = k_0 \frac{\abs{Q }}{r^2} \]である.
そこで, 電場の大きさが \( E \) であるときの電気力線が単位面積当たり \( E \) 本であると定義する. すなわち, \[ \begin{aligned} E &= \frac{N}{4 \pi r^2} \\ \Leftrightarrow \ k_0 \frac{\abs{Q }}{r^2} &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\abs{Q }}{r^2} \end{aligned} \]である. この約束事によって, 両者の比例係数の間には \[ k_0 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \]という関係式が成り立つ. \( k_0 \) を(真空中の)クーロン定数とよんだが, \( \epsilon_0 \) を(真空中の)誘電率という.
この誘電率という値は電荷をおく空間(媒質)毎に実験的に決められる比例係数であり, 真空中以外では異なる値をとる. ある媒質中における誘電率が \( \epsilon \) であるとき, 真空中の誘電率との比 \[ \epsilon_{r} = \frac{\epsilon}{\epsilon_0} \notag \] を比誘電率という.
電気力線
電気力線 :ベクトル場である電場の様子の直感的理解を与える手法. 電気力線の密度が電場の強弱に相当する. 真空中に置かれた電荷 \( Q \) の点電荷からは \[ \begin{aligned} N &= \frac{1}{\epsilon_{0}} \abs{Q } \\ &= 4 \pi k_0 \abs{Q } \end{aligned} \] 本の電気力線が伸びている. ここで, \( \epsilon_{0} \) は(真空中の)誘電率である. 真空中以外では \( \epsilon_{0} \) を媒質毎に決まる誘電率 \( \epsilon \) に置き換え, 比誘電率を次式で定義する. \[ \epsilon_{r} = \frac{\epsilon}{\epsilon_0} \notag \]
ガウスの法則
ガウスの法則を説明する前段階として, 下図に示すような微小な面積 \( \dd{S} \) を持つ曲面を考える. 曲面とはいうものの, この面は微小であり曲がりが無視できる平面として扱う. そして, この曲面に対して垂直な方向を向いた単位ベクトルを \( \vb*{n} \) とする.
このような面を電場 \( \vb*{E} \) が貫いている時, 電場を分解して面に対して垂直な電場の成分を求めることができる. そして, 面に対して垂直な電場を \( \vb*{E}_n \) とすると, \[ \vb*{E}_{n} = \qty( \vb*{E} \cdot \vb*{n} ) \vb*{n} \]と表すことができる[1]なお, \( \vb*{n} \) の向きは二通りの選び方があることに気づいた人もいるであろう. … Continue reading.
微小面積 \( \dd{S} \) 上の各点にはそれを垂直に貫く電場 \( \vb*{E}_n \) が存在しているわけだが, \( \vb*{E}_n \) の大きさ \( E_n \) は電気力線の密度を表していたこと思い出すと, この面を垂直に貫く電気力線の本数 \( \dd{N} \) は \[ \dd{N} = E_n \cdot \dd{S} \]と表すことができる.
以上の操作はある微小な面積について行ったが, 微小な面積をもつ平面をつなぎ合わせてある閉曲面 \( S \) を作ったとする. この曲面 \( S \) を垂直に貫く電気力線の本数 \( N \) は \[ \begin{aligned} N &= \int \dd{N}\\ &= \int_{S} E_n \dd{S}\end{aligned} \]と表すことができる. ここで, \( \int_{S} \) は積分を閉曲面 \( S \) の領域全てに適用することを意味する.
いよいよ本題である. ガウスの法則とは, ある閉じた曲面を垂直に貫く電気力線の本数はその曲面の内部に存在する電荷の総量 \( Q \) に比例し, \( Q/\epsilon \) に等しいことであり, 数式で表すと次式のようになる \[ \begin{aligned} & \int_{S} \vb*{E} \cdot \vb*{n} \dd{S}= \frac{Q}{\epsilon }\\ &\qty( \int_{S} E_n \dd{S}= \frac{Q}{\epsilon } ) \ . \end{aligned} \]
当然, \( \vb*{E} \) や \( \vb*{n} \) は位置毎に異なることに注意してほしい.
大学程度の初等電磁気学ではガウスの法則がどんな形をした曲面でも成り立つことなどを一般的に証明するが, まずはいくつかの簡単な図形についてのみ議論することとする.
ガウスの法則
ガウスの法則 : マクスウェル方程式の一つ.誘電率 \( \epsilon \) の媒質中において, ある閉曲面を垂直に貫く電気力線の本数はその閉曲面の内部に存在する電荷の総量 \( Q \) に比例し, \( \displaystyle{\frac{Q}{\epsilon} } \) に等しい. ガウスの法則を適用する閉曲 \( S \) 面上の微小領域(面積 \( \dd{S} \) )に対して垂直な単位ベクトルを \( \vb*{n} \) , その位置での電場を \( \vb*{E} \) とすると, ガウスの法則は次式で表される. \[ \int_{S}\vb*{E} \cdot \vb*{n} \dd{S}= \frac{Q}{\epsilon } \] ここで, \( \int_{S} \) は積分を閉曲面 \( S \) の領域全てに適用することを意味する.
以下では媒質を真空とし, 誘電率は \( \epsilon_{0} \) を用いる.
ガウスの法則：点電荷
点電荷(電荷 \( Q \) )を中心とした半径 \( r \) の球面(曲面) \( S \) にガウスの法則を適用することで, この球面上での電場の大きさを導出することを考えよう.
このような球面上での電場の大きさはすでにクーロンの法則で与えたが, クーロンの法則をいったん忘れて以下の議論に付き合ってほしい. というのも, 冒頭に紹介したように, クーロンの法則は静電場をつくっている点電荷に対してガウスの法則を適用した結果として得られる法則なのである.
まず曲面 \( S \) を垂直に貫く電気力線の本数 \( \displaystyle{\int_{S}\vb*{E} \cdot \vb*{n} \dd{S}} \) を求めよう. 点電荷から発生する電気力線は放射状に伸びるので, 曲面 \( S \) のあらゆる箇所で電気力線(電場)は面に垂直に入射するので, 面に垂直なベクトル \( \vb*{n} \) とは常に平行であるので, \[ \vb*{E} \cdot \vb*{n} = E \]となる. したがって, 閉曲面の内側から外側へ向かって面を垂直に貫く電気力線は \[ \int_{S}\vb*{E} \cdot \vb*{n} \dd{S}= E \int_{S}\dd{S}\]である[2]単位ベクトル \( n \) は内側から外側へ向かう向きとしている. さらに, \( \displaystyle{\int_{S}\dd{S}} \) はガウスの法則を適用している曲面の面積を意味しているので, \[ \begin{aligned} & \int_{S}\dd{S}= 4 \pi r^2 \\ & \therefore \ \int_{S}\vb*{E} \cdot \vb*{n} \dd{S}= E\ 4 \pi r^2 \end{aligned} \]である. ガウスの法則を適用すると, \[ \begin{aligned} & \int_{S}\vb*{E} \cdot \vb*{n} \dd{S}= \frac{Q}{\epsilon_0} \\ & E\ 4 \pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0} \\ & \therefore \ E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 }\frac{Q}{r^2} \end{aligned} \]このようにして, ガウスの法則を適用することである曲面上における電場を求めることができた. この結果は, クーロンの法則で与えた点電荷による電場そのものである.
ガウスの法則：帯電球
半径 \( a \) の球の内部に電荷 \( Q \) が体積密度 \( \rho \) で一様に分布しているような帯電球が作る電場について考える.
帯電球の外部
球と中心が同じ半径 \( r>a \) についての球の球面 \( S \) についてガウスの法則を適用する.
この場合, 点電荷の場合と同じく電気力線がガウスの法則を適用する球面に垂直に入射するので, 球の外部での電場を \( \vb*{E}_{\mathrm{out}} \) としてガウスの法則を適用すると, \[ \begin{aligned} \int_{S}\vb*{E}_{\mathrm{out}} \cdot \vb*{n} \dd{S}&= E_{\mathrm{out}} \cdot 4\pi r^2 \\ &= \frac{Q}{\epsilon_0} \notag \\ \end{aligned} \] \[ \therefore \ E_{\mathrm{out}} (r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{Q}{r^2} \]であり, 点電荷の場合と同じ結果となる.
帯電球の内部
次に, 帯電球の半径よりも小さな半径 \( r<a \) を持つ球面 \( S \) についてガウスの法則を適用する.
先程と同様に, 電気力線がガウスの法則を適用する球面に垂直に入射する. また, 半径 \( r \) の内部に存在する電荷の総量 \( Q_{\mathrm{in}} \) は体積密度 \( \rho \) を用いて, \[ \begin{aligned} Q_{\mathrm{in}} = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 \end{aligned} \]とあらわされるので, 球の内部での電場を \( \vb*{E}_{\mathrm{in}} \) としてガウスの法則を適用すると, \[ \begin{aligned} \int_{S}\vb*{E}_{\mathrm{in}} \cdot \vb*{n} \dd{S}&=E_{\mathrm{in}} \cdot 4\pi r^2 \\ \frac{Q_{\mathrm{in}}}{\epsilon_0} &= \frac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3}{\epsilon_0} \end{aligned} \] \[ \therefore \quad E_{\mathrm{in}} (r) = \frac{\rho r}{3 \epsilon_0} \]となる.
以上より, 球の外部と球の内部での電場の振る舞いが異なることがわかる. ただし, 曲面上では値が一致していることは注意してほしい. \[ \begin{aligned} & \ \left\{\begin{array}{l} E_{\mathrm{out}}(a) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{Q}{a^2} \\ E_{\mathrm{in}} (a) = \frac{\rho a}{3 \epsilon_0} \\ Q = \frac{4}{3}\pi a^3 \end{array} \right. \\ & \to \ E_{\mathrm{in}}(a) = E_{\mathrm{out}}(a) \end{aligned} \]
ガウスの法則：平板
下図に示すような, 十分に大きく面密度 \( \rho \) (ロー)で電荷が一様に分布しているような平板がつくる電場を考えよう.
この平板からは電荷分布の対称性により, 電気力線が上下方向に向かって垂直伸びることがわかっている. 互いに平行な電気力線は反発しあって膨らむ性質があるので, 平板から遠く離れた位置や平板の境界付近では電気力線が歪むことが想定される. しかし, まずは平板の中央付近で電気力線の歪みが無視できるほどの領域について考えることにする.
図に示したように, 平板に対して(面)対称的な位置に頂点を持つ直方体についてガウスの法則を適用することにしよう. この直方体の上面と下面の面積を \( A \) とすると, 直方体によって囲まれた領域の内部には \[ Q = \rho A \]の電荷が存在していることになる. また, 直方体の側面は電気力線に対しても平行であるので, 直方体の側面を貫く電気力線は存在しない( \( \vb*{E} \cdot \vb*{n} = 0 \) ). したがって, ガウスの法則を適用すると直方体の上下面(面積 \( 2A \) )を貫く成分のみが結果として残るので, 上面と下面における電場の大きさを \( E \) として, \[ \begin{aligned} \int_{S}\vb*{E} \cdot \vb*{n} \dd{S}& = \underbrace{\qty( EA + EA )}_{\text{上面}+\text{下面}} \\ & = 2EA \\ \frac{Q }{\epsilon_0} &= \frac{\rho A }{\epsilon_0} \end{aligned} \] \[ \therefore \quad E = \frac{\rho}{2\epsilon_0} \quad . \]以上の議論より, 平板の極近傍で電気力線が上下方向に歪みなく伸びている領域では一様な電場が作られていることがわかる.
ガウスの法則：無限に長い直線
無限に長い直線が単位長さあたりに \( \lambda \) (ラムダ)の電荷量をもっているとする(電荷の線密度が \( \lambda \) ). このような直線から発生する電気力線は帯電している線に垂直な方向に伸びている[3]電場はベクトルなので直線に沿った上下方向の電場は打ち消し合い, 直線に対して垂直な成分だけが残る.. この直線によって作られる電場を調べるために図に示すような高さ \( h \) で半径 \( r \) の円柱についてガウスの法則を適用することを考える.
この円柱の内部に存在する電荷 \( Q \) は \[ Q = h \lambda \]である.
この円柱についてガウスの法則を考えたとき, 円柱の上下面は電気力線とは垂直であり, この面上では \[ \vb*{E} \cdot \vb*{n} = 0 \]が成立する. したがって, 最終的にのこるのは円柱の側面の部分のみであり, \[ \begin{aligned} \int_{S}\vb*{E} \cdot \vb*{n} \dd{S}&= E \cdot \underbrace{\qty( 2 \pi r h ) }_{\text{側面積}} \\ \frac{Q }{\epsilon_0} &= \frac{\lambda h }{\epsilon_0} \end{aligned} \] \[ \therefore \ E = \frac{1}{2 \pi \epsilon_0 } \frac{\lambda}{r} \]