フェルマーの原理

高校物理の教科書では, 反射の法則やスネルの法則 \[ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} n_{\mathrm{I}} \sin{\theta_{\mathrm{I}} } &= n_{\mathrm{II}} \sin{\theta_{\mathrm{II}} } \\ n_{\mathrm{I}} \lambda_{\mathrm{I}} &= n_{\mathrm{II}} \lambda_{\mathrm{II}} \\ n_{\mathrm{I}} v_{\mathrm{I}} &= n_{\mathrm{II}} v_{\mathrm{II}} \end{aligned} \right. \label{snelllaw} \end{equation} \] を導くにあたって, ホイヘンスの原理を前提としているが, この章ではこの事実を別の視点から導出することを試みる.

ここで新しく導入するフェルマーの原理とは, 2点を結ぶ光が進む道のりはその光学距離[1]を極小にするという原理である.

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反射の法則 : フェルマーの原理
スネルの法則 : フェルマーの原理
最小作用の原理


反射の法則 : フェルマーの原理

図のように, \( y>0 \) の領域は屈折率 \( n_{\mathrm{I}} \) で満たされており, \( x \) 軸上には鏡が置かれている. したがって, \( y<0 \) の領域は鏡像を表しており, \( \left(L,-b\right) \) は \( \left(L,b\right) \) の鏡像である. このとき, \( \left( 0,a \right) \) から出発し, 鏡で反射した後で \( \left(L,b\right) \) に到達する光がどんな経路を通るのかについて考える.

したがって, 光の経路の長さは \( \left( 0, a \right) \to \left( x, 0 \right) \to \left( L, b \right) \) は \( \left( 0, a \right) \to \left( x, 0 \right) \to \left( L, -b \right) \) と等しい.

このとき, 光学的距離の和 \( l \) は \[ l = n_{\mathrm{I}} \sqrt{ a^2 + x^2 } + n_{\mathrm{I}} \sqrt{ b^2 + \left( L-x\right)^2 }\]である. \( l \) を \( x \) だけの関数とみなし, \( l \) を極小にするような \( x \) を求めるようとすると, \[ \begin{aligned} \frac{d l}{d x } &= \frac{d}{dx} \left\{ n_{\mathrm{I}} \left( a^2 + x^2 \right)^{ \frac{1}{2} } + n_{\mathrm{I}} \left( b^2 + \left( L-x\right)^2 \right)^{\frac{1}{2}} \right\} \notag \\ &= n_{\mathrm{I}} \frac{1}{2} \frac{ \left( a^2 + x^2 \right)^{\prime} }{ \sqrt{ a^2 + x^2 } } + n_{\mathrm{I}} \frac{1}{2} \frac{\left\{ \left( L-x\right)^2 \right\}^{\prime}}{ \sqrt{ b^2 + \left(L-x\right)^2 } } \notag \\ &= n_{\mathrm{I}} \frac{x}{ \sqrt{ a^2 + x^2 } } – n_{\mathrm{I}} \frac{L -x }{ \sqrt{ b^2 + \left( L-x\right)^2 } } \notag \\ &= n_{\mathrm{I}} \sin{ \theta_{ \mathrm{1} } } -n_{\mathrm{I}} \sin{ \theta_{ \mathrm{2} } } =0 \notag \end{aligned} \] \[ \begin{equation} \begin{aligned} \therefore \ \sin{ \theta_{ \mathrm{1} } } & = \sin{ \theta_{ \mathrm{2} } } \\ \quad \theta_{ \mathrm{1} } & = \theta_{ \mathrm{2} } \end{aligned} \label{minref} \end{equation} \] 式\eqref{minref}は反射の法則そのものである. また, 式\eqref{minref}によって同じ媒質中における2点の光学距離の最短経路は直線であることもわかる[2].

スネルの法則 : フェルマーの原理

図のように, \( y>0 \) の領域は屈折率 \( n_{\mathrm{I}} \) , \( y<0 \) の領域は屈折率 \( n_{\mathrm{II}} \) という物質に満たされており, 光の経路が \( \left( 0, a \right) \to \left( x, 0 \right) \to \left( L, b \right) \) という経路であるとする.

このとき光学的距離 \( l \) は \[ l = n_{\mathrm{I}} \sqrt{ a^2 + x^2 } + n_{\mathrm{II}} \sqrt{ b^2 + \left( L-x\right)^2 }\]である. \( l \) を \( x \) だけの関数とみなし, \( l \) を極小にするような \( x \) を求めるようとすると, \[ \begin{aligned} \frac{d l}{d x } &= \frac{d}{dx} \left\{ n_{\mathrm{I}} \left( a^2 + x^2 \right)^{ \frac{1}{2} } + n_{\mathrm{II}} \left( b^2 + \left( L-x\right)^2 \right)^{\frac{1}{2}} \right\} \notag \\ &= n_{\mathrm{I}} \frac{1}{2} \frac{\left( a^2 + x^2 \right)^{\prime} }{\sqrt{ a^2 + x^2 } }+ n_{\mathrm{II}} \frac{1}{2} \frac{ \left\{ \left( L-x\right)^2 \right\}^{\prime} }{ \sqrt{ b^2 + \left( L-x\right)^2 } } \notag \\ &= n_{\mathrm{I}} \frac{x}{ \sqrt{ a^2 + x^2 } } – n_{\mathrm{II}} \frac{L -x }{ \sqrt{ b^2 + \left( L-x\right)^2 } } \notag \\ &= n_{\mathrm{I}} \sin{ \theta_{ \mathrm{I} } } -n_{\mathrm{II}} \sin{ \theta_{ \mathrm{II} } } =0 \notag \end{aligned} \] \[ \therefore \ n_{\mathrm{I}} \sin{ \theta_{ \mathrm{I} } } = n_{\mathrm{II}} \sin{ \theta_{ \mathrm{II} } } \label{minsnell} \]式\eqref{minsnell}はスネルの法則(式\eqref{snelllaw})そのものである.

最小作用の原理

物体や光は”始点から中点を通過して終点に移動する”はずであるのに, フェルマーの原理は”始点と終点を決めると中点が決まる”構造になっているのに気付いただろうか.

「光が進む距離を最短にする」というフェルマーの原理の信念は最小作用の原理と呼ばれる考え方に一般化することができる. 大学以上の物理ではこの最小作用の原理を利用して, 運動方程式を導くという大仕事を解析力学という分野で学ぶことになる.

この話題は著名な物理学者ファインマンも学生時代に魅力された話題のよう[3]で, この理屈を推し進めることで素粒子の振る舞いを予測するために大変有益な経路積分と言われる理論にまで発展させた.

スネルの法則(屈折の法則) アッベの不変量



補足    (↵ 本文へ)
  1. 屈折率

    \( n \) の物質の中での光の速度 \( c^{\prime} \) は \( c^{\prime}=\frac{c}{n} \) であり, 距離 \( L \) を進むのに要する時間 \( t \) は \( t=\frac{L}{c^{\prime}}=\frac{Ln}{c}=\frac{L^{\prime}}{c} \) である. ここで実際の距離 \( L \) と屈折率との積 \( L^{\prime}=Ln \) を光学距離という.

  2. これは経験則から当然だと思われるだろうが, 経験則による常識を改めて数式の上で語ることで理解を深める事も物理の大切な役割である.

  3. ファインマン物理学〈3〉電磁気学

    ファインマン,宮島 龍興

    岩波書店 ( 1986-01-08 )

    の巻末より.

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