様々な熱力学的サイクル

\(P-V\)グラフを用いることで, ある熱機関(サイクル)の熱効率を求めることができた. ここでは, さまざまな熱機関を紹介して各反応過程における各物理量の変化をまとめるので, 辞書的に用いてくれればよい.

さまざまな熱機関が登場するが, どの熱機関についても計算する手順は同じであることにすぐ気づくであろう. それらの議論に慣れれば, 熱力学で\(P-V\)グラフ自体を解析する問題で次に行うべきことが何かの見通しが良くなる.

高校物理では等温変化の熱(もしくは仕事)の変化量を直接計算させることはない. これは等温変化の場合には\({V}^{-1} \)の積分を行われるからであるが, ご存知のとおり簡単な積分であるのでそれらの計算も全て行っている.

等温過程を含むサイクルはカルノーサイクル以降にまとめたので, 興味のある人は計算してみてほしい. 興味がない人もカルノーサイクルまでは是非とも触れておいてもらいたい.

下図に示すような二つの断熱変化と二つの定積変化を組みあわせたサイクルであるオットーサイクルについて考える.

このサイクルの中で断熱変化と定積変化が切り替わる4点をそれぞれ状態A( \(V_1 , T_A\)), 状態B( \(V_2 , T_B\)), 状態C( \(V_2 , T_C\)), 状態D( \(V_1 , T_D\))とする.

状態 \(A\) \( \to\) 状態 \(B\)

断熱変化( \(dQ = 0\))であるので, \[ Q_{A \to B} = \int dQ = 0 \quad . \]

内部エネルギーの増加量は, \[ \begin{aligned} U_{A \to B} &= \int_{T_A}^{T_B} n C_{v} \ dT \\ &= n C_v \left( T_B -T_A \right) \quad . \end{aligned} \]

熱力学第1法則より, 気体が外部へした仕事は \[ \begin{aligned} Q_{A \to B} &= U_{A \to B} + W_{A \to B} \\ 0 &= n C_v \left( T_B -T_A \right) + W_{A \to B} \\ \therefore \ W_{A \to B} &= n C_{v} \left( T_{A} – T_{B} \right) \end{aligned} \]

状態 \(B\) \( \to\) 状態 \(C\)

定積変化( \(dV = 0\))であるので, \[ W_{B \to C} = \int p \ dV = 0 \quad . \]

内部エネルギーの増加量は, \[ \begin{aligned} U_{B\to C} &= \int_{T_B}^{T_C} n C_{v} \ dT \\ &= n C_v \left( T_C -T_B \right) \quad . \end{aligned} \]

熱力学第1法則より, 系が吸収した熱量は, \[ \begin{aligned} Q_{B\to C} &= U_{B\to C} + W_{B\to C} \\ Q_{B\to C} &= n C_v \left( T_C -T_B \right) + 0 \\ \therefore \ Q_{B\to C} &= n C_v \left( T_C -T_B \right) \quad (< 0) \end{aligned} \]

であり, 放熱反応であることがわかる.

状態 \(C\) \( \to\) 状態 \(D\)

断熱変化( \(dQ = 0 \))であるので, \[ Q_{C \to D} = \int dQ = 0 \quad . \]

内部エネルギーの増加量は, \[ \begin{aligned} U_{C \to D} &= \int_{T_C}^{T_D} n C_{v} \ dT \\ &= n C_v \left( T_D -T_C \right) \quad . \end{aligned} \]

熱力学第1法則より, 気体が外部へした仕事は \[ \begin{aligned} Q_{C \to D} &= U_{C \to D} + W_{C \to D} \\ 0 &= n C_v \left( T_D -T_C \right) + W_{C \to D} \\ \therefore \ W_{C \to D} &= n C_{v} \left( T_{C} – T_{D} \right) \end{aligned} \]

状態 \(D\) \( \to\) 状態 \(A\)

定積変化( \(dV =0 \))であるので, \[ W_{D\to A} = \int p \ dV = 0 \quad . \]

内部エネルギーの増加量は, \[ \begin{aligned} U_{D\to A} &= \int_{T_D}^{T_A} n C_{v} \ dT \\ &= n C_v \left( T_A -T_D \right) \quad . \end{aligned} \]

熱力学第1法則より, 吸収した熱量は \[ \begin{aligned} Q_{D\to A} &= U_{D\to A} + W_{D\to A} \\ Q_{D\to A} &= n C_v \left( T_A -T_D \right) + 0 \\ \therefore \ Q_{D\to A} &= n C_v \left( T_A -T_D \right) \quad ( > 0) \end{aligned} \]

であり, 吸熱反応であることがわかる.

オットーサイクルの熱効率

この熱力学サイクル一周の間に吸収した熱量は \(Q_{D \to A}\), 仕事の総量は \(W_{A \to B} + W_{C \to D} \)であるので, 熱効率 \( \eta\)は, \[ \begin{aligned} \eta &= \frac{W_{A \to B} + W_{C \to D}}{Q_{ D \to A}} \\ &= \frac{n C_{v} \left( T_A – T_B \right) + n C_{v} \left( T_C – T_D \right)}{n C_{v} \left( T_A – T_D\right)} \\ &= 1- \frac{T_B -T_C}{T_A-T_D} \end{aligned} \]

である.

オットーサイクルの熱効率は体積比で表すことができるのでそのことを示しておこう. 準静的断熱変化では理想気体の比熱比を \( \gamma\)とすると, 温度と体積についてのポアソンの関係式 \[ TV^{\gamma -1} = const. \]

が成立することから, \[ \begin{aligned} & T_A V_1^{\gamma -1} = T_B V_2^{\gamma -1 } \\ & T_D V_1^{\gamma -1} = T_C V_2^{\gamma -1 } \\ & \therefore \ \frac{T_A}{T_D} = \frac{T_B}{T_C} = const. \end{aligned} \]

であるので, 定数を \( \alpha\)とすると, \[ \begin{aligned} T_A &= \alpha T_D \\ T_B &= \alpha T_C \quad . \end{aligned} \]

これらを用いると熱効率は, \[ \begin{aligned} \eta &= 1 – \frac{\alpha T_C – T_C}{\alpha T_D – T_D} \\ &= 1 – \frac{T_C}{T_D} \\ \therefore \ \eta &= 1 – \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma -1 } \quad . \end{aligned} \]

下図に示すような二つの断熱変化と二つの定圧変化を組みあわせたサイクルであるブレイトンサイクルについて考える.

このサイクルの中で断熱変化と定圧変化が切り替わる4点をそれぞれ状態A( \(P_1 , T_A\)), 状態B( \(P_2 , T_B\)), 状態C( \(P_2 , T_C\)), 状態D( \(P_1 , T_D\))とする.

状態 \(A\) \( \to\) 状態 \(B\)

断熱変化( \(dQ = 0\))であるので, \[ Q_{A \to B} = \int dQ = 0 \]

内部エネルギーの増加量は, \[ \begin{aligned} U_{A \to B} &= \int_{T_A}^{T_B} n C_{v} \ dT \\ &= n C_v \left( T_B -T_A \right) \quad . \end{aligned} \]

熱力学第1法則より, 気体が外部へした仕事は, \[ \begin{aligned} Q_{A \to B} &= U_{A \to B} + W_{A \to B} \\ 0 &= n C_v \left( T_B -T_A \right) + W_{A \to B} \\ \therefore \ W_{A \to B} &= n C_{v} \left( T_{A} – T_{B} \right) \quad . \end{aligned} \]

状態 \(B\) \( \to\) 状態 \(C\)

定圧変化であるので圧力は常に一定( \(P=P_2\))であり, 気体が外部にした仕事は, \[ \begin{aligned} W_{B \to C} &= \int_{V_B}^{V_C} P_2 \ dV \\ &= P_2 \left( V_C – V_B \right) \quad . \end{aligned} \]

ここで理想気体の状態方程式より, \[ \begin{aligned} & P_2 V_B = nRT_B \ \to \ V_B = \frac{nRT_B}{P_2} \\ & P_2 V_C = nRT_C \ \to \ V_B = \frac{nRT_C}{P_2} \end{aligned} \]

であるので, \[ \therefore \ W_{B \to C} = nR\left( T_C – T_B \right) \quad . \]

内部エネルギーの増加量は, \[ \begin{aligned} U_{B \to C} &= \int_{T_B}^{T_C} n C_{v} \ dT \\ &= n C_{v} \left( T_C – T_B \right) \quad . \end{aligned} \]

熱力学第1法則より, 系が吸収した熱量は, \[ \begin{aligned} Q_{B \to C} &= U_{B \to C} + W_{B \to C} \\ &= n C_{v} \left( T_C – T_B \right) + nR\left( T_C – T_B \right) \\ &= n C_{p} \left( T_C – T_B \right) \quad ( < 0 ) \end{aligned} \]

であり, 放熱反応であることがわかる. ここで, 定圧モル比熱 \(C_{p}=C_{v}+R\)を用いた. なお, 定圧変化の吸熱量の公式を用いて即座に, \[ Q_{B \to C} = n C_{p} \left( T_C – T_B \right) \]

としてよい.

状態 \(C\) \( \to\) 状態 \(D\)

断熱変化( \(dQ = 0\))であるので, \[ Q_{C \to D} = \int dQ = 0 \quad . \]

内部エネルギーの増加量は, \[ \begin{aligned} U_{C \to D} &= \int_{T_C}^{T_D} n C_{v} \ dT \\ &= n C_v \left( T_D -T_C \right) \quad . \end{aligned} \]

熱力学第1法則より, 気体が外部へした仕事は, \[ \begin{aligned} Q_{C \to D} &= U_{C \to D} + W_{C \to D} \\ 0 &= n C_v \left( T_D -T_C \right) + W_{C \to D} \\ \therefore \ W_{C \to D} &= n C_{v} \left( T_{C} – T_{D} \right) \quad . \end{aligned} \]

状態 \(D\) \( \to\) 状態 \(A\)

定圧変化であるので圧力は常に一定( \(P=P_1\))であり, 気体が外部にした仕事は, \[ \begin{aligned} W_{D \to A} &= \int_{V_D}^{V_A} P_1 \ dV \\ &= P_1 \left( V_A – V_D \right) \\ &= P_1 \left( \frac{nRT_A}{P_1} – \frac{nRT_D}{P_1} \right) \\ \therefore \ W_{D \to A} &= nR \left( T_A – T_D \right) \quad . \end{aligned} \]

内部エネルギーの増加量は, \[ \begin{aligned} U_{D \to A} &= \int_{T_D}^{T_A} n C_{v}\ dT \\ &= n C_{v} \left( T_A – T_D \right) \quad . \end{aligned} \]

系が吸収した熱量は定圧変化の吸熱量の公式より, \[ Q_{D \to A} = n C_{p} \left( T_A – T_D \right) \quad (> 0) \]

であり, 吸熱反応であることがわかる.

ブレイトンサイクルの熱効率

この熱力学サイクル一周の間に吸収した熱量は \(Q_{D \to A}\), 仕事の総量は \(W_{A \to B} + W_{B \to C} + W_{C \to D} + W_{D \to A}\)であるので, 熱効率 \( \eta\)は, \[ \begin{aligned} \eta &= \frac{ W_{A \to B} + W_{B \to C} + W_{C \to D} + W_{D \to A} }{ Q_{D \to A} } \\ &= \frac{ n C_{v} \left( T_A – T_B \right) + nR\left( T_C – T_B \right) + n C_{v} \left( T_C – T_D \right) + nR\left( T_A – T_D \right) }{ n C_{p} \left( T_A – T_D \right) } \\ &= \frac{ n C_{p} \left( T_C – T_B \right) + n C_{p} \left( T_A – T_D \right) }{ n C_{p} \left( T_A – T_D \right) } \\ &= 1 – \frac{T_B -T_C}{T_A – T_D } \end{aligned} \]

である.

ブレイトンサイクルの熱効率は圧力比で表すことができるのでそのことを示しておこう. 準静的断熱変化では理想気体の比熱比を \( \gamma\)とすると, 温度と圧力についてのポアソンの関係式 \[ T P^{\frac{1 – \gamma}{\gamma} } = const. \]

が成立することから, \[ \begin{aligned} & T_A P_1^{\frac{1 – \gamma}{\gamma} } = T_B P_2^{\frac{1 – \gamma}{\gamma}} \\ \to \ & T_B = T_A \left( \frac{P_1}{P_2} \right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} \\ & T_D P_1^{\frac{1 – \gamma}{\gamma} } = T_C P_2^{\frac{1 – \gamma}{\gamma}} \\ \to \ & T_C = T_D \left( \frac{P_1}{P_2} \right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} \end{aligned} \]

を用いると, \[ \begin{aligned} \eta &= 1 – \frac{T_B – T_C}{T_A – T_D} \\ &= 1 – \frac{T_A \left( \frac{P_1}{P_2} \right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} – T_D \left( \frac{P_1}{P_2} \right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} }{T_A – T_D} \\ \therefore \ \eta &= 1 – \left( \frac{P_1}{P_2} \right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} \quad . \end{aligned} \]

下図に示すような二つの断熱変化と一つの定積変化と一つの定圧変化を組みあわせたサイクルであるディーゼルサイクルについて考える.

このサイクルの中で断熱変化と定積変化及び定圧変化が切り替わる4点をそれぞれ状態A( \(V_A , T_A\)), 状態B( \(V_B , T_B\)), 状態C( \(V_C , T_C\)), 状態D( \(V_D , T_D\))とする.

状態 \(A\) \( \to\) 状態 \(B\)

断熱変化( \(dQ = 0\))であるので, \[ Q_{A \to B} = \int dQ = 0 \quad . \]

内部エネルギーの増加量は, \[ \begin{aligned} U_{A \to B} &= \int_{T_A}^{T_B} n C_{v} \ dT \\ &= n C_{v} \left( T_B – T_A \right) \quad . \end{aligned} \]

熱力学第1法則より, 外部へした仕事は, \[ \begin{aligned} Q_{A \to B } &= U_{A \to B } + W_{A \to B } \\ 0 &= n C_{v} \left( T_B – T_A \right) + W_{A \to B } \\ \therefore \ W_{A \to B } &= n C_{v} \left( T_A – T_B \right) \quad . \end{aligned} \]

状態 \(B\) \( \to\) 状態 \(C\)

定積変化( \(dV = 0\))であるので, \[ W_{B \to C} = \int p \ dV = 0 \quad . \]

内部エネルギーの増加量は, \[ \begin{aligned} U_{B \to C} &= \int_{T_B}^{T_C} n C_{v} \ dT \\ &= n C_{v} \left( T_C – T_B \right) \quad . \end{aligned} \]

熱力学第1法則より, 系が吸収した熱量は, \[ \begin{aligned} Q_{B \to C } &= U_{B \to C } + W_{B \to C } \\ Q_{B \to C } &= n C_{v} \left( T_C – T_B \right) + 0 \\ \therefore \ Q_{B \to C } &= n C_{v} \left( T_C – T_B \right) \quad (<0) \quad. \end{aligned} \]

であり, 放熱反応であることがわかる.

状態 \(C\) \( \to\) 状態 \(D\)

断熱変化( \(dQ = 0\))であるので, \[ Q_{C \to D} = \int dQ = 0 \quad . \]

内部エネルギーの増加量は, \[ \begin{aligned} U_{C \to D} &= \int_{T_C}^{T_D} n C_{v} \ dT \\ &= n C_{v} \left( T_D – T_C \right) \quad . \end{aligned} \]

熱力学第1法則より, 外部へした仕事は, \[ \begin{aligned} Q_{C \to D } &= U_{C \to D } + W_{C \to D } \\ 0 &= n C_{v} \left( T_D – T_C \right) + W_{C \to D } \\ \therefore \ W_{C \to D } &= n C_{v} \left( T_C – T_D \right) \quad . \end{aligned} \]

状態 \(D\) \( \to\) 状態 \(A\)

定積変化( \(dV = 0\))であるので圧力を \(P\)とすると, 外部にした仕事は \[ \begin{aligned} W_{D \to A } &= \int_{V_D}^{V_A} P \ dV \\ &= P \left( V_A – V_D\right) \\ &= nR \left( T_A – T_D \right) \quad . \end{aligned} \]

内部エネルギーの増加量は, \[ \begin{aligned} U_{D \to A} &= \int_{T_D}^{T_A} n C_{v} \ dT \\ &= n C_{v} \left( T_A – T_D \right) \quad . \end{aligned} \]

熱力学第1法則より, 系が吸収した熱量は, \[ \begin{aligned} Q_{D \to A } &= U_{D \to A } + W_{D \to A } \\ Q_{D \to A } &= n C_{v} \left( T_A – T_D \right) + nR \left( T_A – T_D \right) \\ &= n C_{p} \left( T_A – T_D \right) \quad ( > 0 ) \end{aligned} \]

であり, 吸熱反応であることがわかる.

ディーゼルサイクルの熱効率

この熱力学サイクル一周の間に吸収した熱量は \(Q_{D \to A}\), 仕事の総量は \(W_{A \to B} + W_{C \to D } + W_{D \to A }\)であるので, 熱効率 \( \eta\)\[ \begin{aligned} \eta &= \frac{ W_{A \to B} + W_{C \to D } + W_{D \to A }}{ Q_{ D \to A}}\\ &= \frac{n C_{v} \left( T_A – T_B\right) + n C_{v} \left( T_C – T_D \right) + nR \left( T_A – T_D\right) }{ n C_{p} \left( T_A – T_D \right) } \\ &= \frac{n C_{p} \left( T_A – T_D\right) + n C_{v} \left( T_C – T_B \right) }{ n C_{p} \left( T_A – T_D \right) } \\ &= 1 + \frac{C_{v}}{C_{p}} \frac{ T_C – T_B }{T_A – T_D} \\ &= 1 – \frac{1}{\gamma} \frac{ T_C – T_B }{T_D – T_A} \end{aligned} \]

となる.

ディーゼルサイクルの熱効率は体積のみの関数として表すことができるのでそのことを示しておこう. 温度と体積に関するマイヤーの関係式 \[ \begin{aligned} & T_A V_A^{\gamma -1 } = T_B V_B^{\gamma -1 } \ \to \ T_B = T_A \left( \frac{V_A}{V_B} \right)^{\gamma -1 } \\ & T_C V_C^{\gamma -1 } = T_D V_D^{\gamma -1 } \ \to \ T_C = T_D \left( \frac{V_D}{V_C} \right)^{\gamma -1 } \end{aligned} \]

および定圧変化のもとで温度と体積に成り立つ式 \[ \begin{aligned} \frac{ nRT_D}{V_D} &= \frac{ nRT_A}{V_A} \\ \to \ \frac{T_A}{T_D} &= \frac{V_A}{V_D} \end{aligned} \]

を組み合わせて \[ \begin{aligned} \frac{T_B}{T_C} &= \frac{ T_A \left( \frac{V_A}{V_B} \right)^{\gamma -1 } }{ T_D \left( \frac{V_D}{V_C} \right)^{\gamma -1 } } \\ &= \frac{V_A}{V_D} \left( \frac{V_A}{V_D} \right)^{\gamma -1 } \left( \frac{V_C}{V_B} \right)^{\gamma -1} \\ &= \left( \frac{V_A}{V_D} \right)^{\gamma } \end{aligned} \]

という関係式が成立することを用いると, \[ \begin{aligned} \eta &= 1 – \frac{1}{\gamma} \frac{ T_C – T_B }{T_D – T_A} \\ &= 1 – \frac{1}{\gamma} \frac{T_C}{T_D} \frac{ \left( 1 – \frac{T_B}{T_C} \right) }{\left( 1 – \frac{T_A}{T_D} \right) } \\ &= 1 – \frac{1}{\gamma} \left( \frac{V_D}{V_C} \right)^{\gamma -1 } \frac{ 1 – \left( \frac{V_A}{V_D} \right)^{\gamma} }{1 – \left( \frac{V_A}{V_D} \right) } \quad . \end{aligned} \]

下図に示すような二つの断熱変化と二つの等温変化を組みあわせたサイクルであるカルノーサイクルについて考える.

以下ではカルノーサイクルの計算のみを行うが, カルノーサイクルはエントロピーという物理量の導入につながる重要な熱機関である.

このサイクルの中で断熱変化と等温変化が切り替わる4点をそれぞれ状態A( \(T_1 , V_A\)), 状態B( \(T_1 , V_B\)), 状態C( \(T_2 , V_C\)), 状態D( \(T_2 , V_D\))とする.

状態 \(A\) \( \to\) 状態 \(B\)

等温変化( \(dT = 0\))であるので, 内部エネルギーの増加量は, \[ U_{A \to B} = \int n C_{v} \ dT = 0 \quad . \]

気体が外部へした仕事は \[ \begin{aligned} W_{A \to B} &= \int p \ dV \\ &= \int_{V_A}^{V_B} \frac{nRT_1}{V} \ dV \\ \therefore \ W_{A \to B} &= nRT_1 \log{ \left( \frac{V_B}{V_A} \right) } \quad . \end{aligned} \]

熱力学第1法則より, 系が吸収した熱量は, \[ \begin{aligned} Q_{A \to B} &= U_{A \to B} + W_{A \to B} \\ Q_{A \to B} &= 0 + nRT_1 \log{ \left( \frac{V_B}{V_A} \right) } \\ \therefore \ Q_{A \to B} &= W_{A \to B} = nRT_1 \log{ \left( \frac{V_B}{V_A} \right) } \quad (>0) \end{aligned} \]

であり, 吸熱反応であることがわかる.

状態 \(B\) \( \to\) 状態 \(C\)

断熱変化( \(dQ = 0\))であるので, \[ Q_{B \to C} = \int \ dQ = 0 \quad . \]

内部エネルギーの増加量は, \[ \begin{aligned} U_{B \to C} &= \int_{T_1}^{T_2} n C_{v} \ dT \\ &= n C_{v} \left( T_2 – T_1 \right) \quad . \end{aligned} \]

熱力学第1法則より, 気体が外部へした仕事は, \[ \begin{aligned} Q_{B \to C} &= U_{B \to C} + W_{B \to C} \\ 0 &= n C_{v} \left( T_2 – T_1 \right) + W_{B \to C} \\ \therefore \ W_{B \to C} &= n C_{v} \left( T_1 – T_2 \right) \quad . \end{aligned} \]

状態 \(C\) \( \to\) 状態 \(D\)

等温変化( \(dT = 0\))であるので, 内部エネルギーの増加量は, \[ U_{C \to D} = \int n C_{v}\ dT = 0 \quad . \]

気体が外部へした仕事は \[ \begin{aligned} W_{C \to D} &= \int p \ dV \\ &= \int_{V_C}^{V_D} \frac{nRT_2}{V} \ dV \\ \therefore \ W_{C \to D} &= nRT_2 \log{ \frac{V_D}{V_C} } \quad . \end{aligned} \]

熱力学第1法則より, 系が吸収した熱量は, \[ \begin{aligned} Q_{C \to D} &= U_{C \to D} + W_{C \to D} \\ Q_{C \to D} &= 0 + nRT_2 \log{ \frac{V_D}{V_C} } \\ \therefore \ Q_{C \to D} &= W_{C \to D} =nRT_2 \log{ \frac{V_D}{V_C} } \quad (<0) \end{aligned} \]

であり, 放熱反応であることがわかる.

状態 \(D\) \( \to\) 状態 \(A\)

断熱変化( \(dQ = 0\))であるので, \[ Q_{D \to A} = \int \ dQ = 0 \quad . \]

内部エネルギーの増加量は, \[ \begin{aligned} U_{D \to A} &= \int_{T_2}^{T_1} n C_{v} \ dT \\ \therefore \ U_{D \to A} &= n C_{v} \left( T_1 – T_2 \right) \quad . \end{aligned} \]

熱力学第1法則より, 系が外部へした仕事は, \[ \begin{aligned} Q_{D \to A} &= U_{D \to A} + W_{D \to A} \\ 0 &= n C_{v} \left( T_1 – T_2 \right) + W_{D \to A} \\ \therefore \ W_{D \to A} &= n C_{v} \left( T_2 – T_1 \right) \quad . \end{aligned} \]

仕事 \(W_{D \to A}\)\(W_{B \to C}\)との間には \[ \begin{aligned} & W_{D \to A} =-W_{B \to C} \\ \Leftrightarrow \ & W_{B \to C} + W_{D \to A} = 0 \end{aligned} \]

が成立していることに注意してほしい. どちらも断熱変化であるので吸熱量が \(0\)であることに加えて, 各変化による温度の変化の大きさが \( \left| T_1 – T_2\right|\)の逆向き変化であるので, 2つの過程の仕事は互いに打ち消しあうのである. したがって, 熱効率の計算においてもこれら二つの仕事の総和はゼロであるとして考慮しなくても良い.

カルノーサイクルの熱効率

このサイクル1周の間に吸収する熱量は \(Q_{A \to B}\)であり, 仕事量の総和は \(W_{A \to B } +W_{B \to C } +W_{C \to D } +W_{D \to A }\)であるので, 熱効率 \( \eta\)は, \[ \begin{aligned} \eta &= \frac{ W_{A \to B } +W_{B \to C } +W_{C \to D } +W_{D \to A } }{Q_{A \to B}} \\ &= \frac{ Q_{A \to B } +Q_{C \to D } }{Q_{A \to B}} \\ &= 1 + \frac{ Q_{C \to D } }{Q_{A \to B}} \\ &= 1 + \frac{ T_2 \log{ \frac{V_D}{V_C} } }{ T_1 \log{ \frac{V_B}{V_A} } } \end{aligned} \]

ここで準静的断熱変化において成立するポアソンの関係式より, 比熱比 \( \displaystyle{ \gamma = \frac{C_p}{C_v}}\)を用いると, \[ \begin{aligned} T_1 V_B^{\gamma -1} &= T_2 V_C^{\gamma -1} = const. \\ T_1 V_A^{\gamma -1} &= T_2 V_D^{\gamma -1} = const. \\ \to \ \frac{V_B}{V_A} &= \frac{V_C}{V_D} \end{aligned} \]

が成立することから, \[ \begin{aligned} \eta &= 1 + \frac{ T_2 \log{ \frac{V_D}{V_C} } }{ T_1 \log{ \frac{V_B}{V_A} } }\\ &= 1 + \frac{ – T_2 \log{ \frac{V_B}{V_A} } }{ T_1 \log{ \frac{V_B}{V_A} } } \\ \therefore \ \eta &= 1 – \frac{T_2}{T_1} \quad . \end{aligned} \]

下図に示すような二つの等温変化と二つの定積変化を組みあわせたサイクルであるスターリングサイクルについて考える.

このサイクルの中で等温変化と定積変化が切り替わる4点をそれぞれ状態A( \(V_1 , T_1\)), 状態B( \(V_2 , T_1\)), 状態C( \(V_2 , T_2\)), 状態D( \(V_1 , T_2\))とする.

状態 \(A\) \( \to\) 状態 \(B\)

等温変化( \(dT = 0 \))であるので, 内部エネルギーの増加量は, \[ U_{A \to B} = \int n C_{v} \ dT = 0 \quad . \]

気体が外部へした仕事は \[ \begin{aligned} W_{ A \to B} &= \int p \ dV \\ &= nRT_1 \int_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V} \ dV \\ & = nRT_1 \log{ \left( \frac{V_2}{V_1} \right)} \quad . \end{aligned} \]

熱力学第1法則より, 系が吸収した熱量は, \[ \begin{aligned} Q_{ A \to B} &= U_{ A \to B} + W_{ A \to B} \\ Q_{ A \to B} &= 0 + nRT_1 \log{ \left( \frac{V_2}{V_1} \right)} \\ \therefore \ Q_{ A \to B} &= nRT_1 \log{ \left( \frac{V_2}{V_1} \right)} \quad ( > 0) \quad . \end{aligned} \]

状態 \(B\) \( \to\) 状態 \(C\)

定積変化( \(dV = 0\))であるので, 気体が外部へした仕事は \[ W_{B \to C} = \int p \ dV = 0 \quad . \]

内部エネルギーの増加量は, \[ \begin{aligned} U_{B \to C} &= \int_{T_1}^{T_2} n C_{v} \ dT \\ &= n C_{v} \left( T_2 – T_1 \right) \quad . \end{aligned} \]

熱力学第1法則より, 系が吸収した熱量は, \[ \begin{aligned} Q_{B \to C} &= U_{B \to C} + W_{B \to C} \\ Q_{B \to C} &= n C_{v} \left( T_2 – T_1 \right) + 0 \\ \therefore \ Q_{B \to C} &= n C_{v} \left( T_2 – T_1 \right) \quad (<0) \quad . \end{aligned} \]

であるので, 放熱反応であることがわかる.

状態 \(C\) \( \to\) 状態 \(D\)

等温変化( \(dT = 0 \))であるので, 内部エネルギーの増加量は, \[ U_{C \to D} = \int n C_{v} \ dT = 0 \quad . \]

気体が外部へした仕事は \[ \begin{aligned} W_{ C \to D} &= \int_{V_2}^{V_1} p \ dV \\ &= nRT_2 \int_{V_2}{V_1} \frac{1}{V} \ dV \\ & = nRT_2 \log{ \left( \frac{V_1}{V_2} \right)} \quad . \end{aligned} \]

熱力学第1法則より, 系が吸収した熱量は, \[ \begin{aligned} Q_{ C \to D} &= U_{ C \to D} + W_{ C \to D} \\ Q_{ C \to D} &= 0 + nRT_2 \log{ \left( \frac{V_1}{V_2} \right)} \\ \therefore \ Q_{ C \to D} &= nRT_2 \log{ \left( \frac{V_2}{V_1} \right)} \quad ( < 0) \quad . \end{aligned} \]

であり, 放熱反応であることがわかる.

状態 \(D\) \( \to\) 状態 \(A\)

定積変化( \(dV = 0\))であるので, 気体が外部へした仕事は, \[ W_{D \to A} = \int p \ dV = 0 \quad . \]

内部エネルギーの増加量は, \[ \begin{aligned} U_{D \to A} &= \int_{T_2}^{T_1} n C_{v} \ dT \\ &= n C_{v} \left( T_1 – T_2 \right) \quad . \end{aligned} \]

熱力学第1法則より, 系が吸収した熱量は, \[ \begin{aligned} Q_{D \to A} &= U_{D \to A} + W_{D \to A} \\ Q_{D \to A} &= n C_{v} \left( T_1 – T_2 \right) + 0 \\ \therefore \ Q_{D \to A} &= n C_{v} \left( T_1 – T_2 \right) \quad (>0) \quad . \end{aligned} \]

であり, 吸熱反応であることがわかる.

スターリングサイクルの熱効率

この熱力学サイクルで一周の間に吸収した熱量は \(Q_{A \to B} + Q_{C \to D}\), 仕事の総量は \(W_{A \to B}+ W_{C \to D}\)であるので, 熱効率 \( \eta\)\[ \begin{aligned} \eta &= \frac{ W_{A \to B} + W_{C \to D} }{ Q_{A \to B} + Q_{D \to A} } \\ &= \frac{ nRT_1 \log{\left( \frac{V_2}{V_1}\right)} + nRT_2 \log{\left( \frac{V_1}{V_2}\right)} }{ nRT_1 \log{\left( \frac{V_2}{V_1} \right)}+ n C_{v} \left( T_1 – T_2 \right) } \\ &= \frac{ \log{\left( \frac{V_2}{V_1}\right)} – \frac{T_2}{T_1} \log{\left( \frac{V_2}{V_1}\right)} }{ \log{\left( \frac{V_2}{V_1} \right)}+ \frac{C_{v}}{R} \left( 1 – \frac{T_1}{T_2} \right) } \\ &= \frac{ \left( 1 – \frac{T_2}{T_1} \right) \log{\left( \frac{V_2}{V_1}\right)} }{ \log{\left( \frac{V_2}{V_1} \right)}+ \frac{1}{\gamma -1} \left( 1 – \frac{T_1}{T_2} \right) } \quad . \end{aligned} \]

ここで最後の式変形には \[ \begin{aligned} & \gamma = \frac{C_{v} + R}{C_{v}} = 1 + \frac{R}{C_{v}} \\ \therefore \ &\frac{C_{v}}{R} = \frac{1}{ \gamma -1} \end{aligned} \]

を用いた.

二つの等温変化と二つの定圧変化を組みあわせたサイクル, エリクソンサイクルについて考える.

このサイクルの中で等温変化と定圧変化が切り替わる4点をそれぞれ状態A( \(P_1 , T_1\)), 状態B( \(P_2 , T_1\)), 状態C( \(P_2 , T_2\)), 状態D( \(P_1 , T_2\))とする.

状態 \(A\) \( \to\) 状態 \(B\)

等温変化( \(dT = 0\))であるので, 内部エネルギーの増加量は, \[ U_{A \to B} = \int nC_{v} \ dT = 0 \quad . \]

気体が外部へする仕事は, \[ \begin{aligned} W_{A \to B} &= \int_{V_A}^{V_B} p \ dV \\ &= nRT_1 \int_{V_A}^{V_B} \frac{1}{V} \ dV \\ &= nRT_1 \log{ \left( \frac{V_B}{V_A} \right) } \\ &= nRT_1 \log{ \left( \frac{P_1}{P_2} \right) } \quad . \end{aligned} \]

熱力学第1法則より, 気体が外部へした仕事は \[ \begin{aligned} Q_{A \to B} &= U_{A \to B} + W_{A \to B} \\ Q_{A \to B} &= 0 + nRT_1 \log{ \left( \frac{P_1}{P_2} \right) } \\ \therefore \ Q_{A \to B} &= nRT_1 \log{ \left( \frac{P_1}{P_2} \right) } \quad (>0) \quad . \end{aligned} \]

であり, 吸熱反応であることがわかる.

状態 \(B\) \( \to\) 状態 \(C\)

定圧変化であるので圧力 \(P\)は常に \(P=P_2\)で一定であり, 気体が外部にした仕事は, \[ \begin{aligned} W_{B \to C} &= \int_{V_B}^{V_C} P_2 \ dV \\ &= P_2 \left( V_C – V_B \right) \\ &= nR\left( T_2 – T_1 \right) \quad . \end{aligned} \]

内部エネルギーの増加量は, \[ \begin{aligned} U_{B \to C} &= \int_{T_1}^{T_2} n C_{v}\ dT \\ &= n C_{v} \left( T_2 – T_1 \right) \quad . \end{aligned} \]

系が吸収した熱量は定圧変化の吸熱量の公式より, \[ Q_{B \to C} = n C_{p} \left( T_2 – T_1 \right) \quad ( < 0 ) \quad . \]

であり, 放熱反応であることがわかる.

状態 \(C\) \( \to\) 状態 \(D\)

等温変化( \(dT=0\))であるので, 内部エネルギーの増加量は, \[ U_{C \to D} = \int nC_{v} \ dT = 0 \quad . \]

気体が外部へした仕事は, \[ \begin{aligned} W_{C \to D} &= \int_{V_C}^{V_D} p \ dV \\ &= nRT_2 \int_{V_C}^{V_D} \frac{1}{V} \ dV \\ &= nRT_2 \log{ \left( \frac{V_D}{V_C} \right) } \\ &= nRT_2 \log{ \left( \frac{P_2}{P_1} \right) } \end{aligned} \]

熱力学第1法則より, 系が吸収した熱量は, \[ \begin{aligned} Q_{C \to D} &= U_{C \to D} + W_{C \to D} \\ Q_{C \to D} &= 0 + nRT_2 \log{ \left( \frac{P_2}{P_1} \right) }\\ \therefore \ Q_{C \to D} &= nRT_2 \log{ \left( \frac{P_2}{P_1} \right) } \quad (<0) \quad . \end{aligned} \]

であり, 放熱反応であることがわかる.

状態 \(D\) \( \to\) 状態 \(A\)

定圧変化であるので圧力 \(P\)は常に \(P=P_1\)で一定であり, 気体が外部にした仕事は \[ \begin{aligned} W_{D \to A} &= \int_{V_D}^{V_A} P_1 \ dV \\ &= P_1 \left( V_A – V_D \right) \\ &= P_1 \left( \frac{nRT_1}{P_1} – \frac{nRT_2}{P_1} \right) \\ &= nR \left( T_1 – T_2 \right) \quad . \end{aligned} \]

内部エネルギーの増加量は, \[ \begin{aligned} U_{D \to A} &= \int_{T_2}^{T_1} n C_{v}\ dT \\ &= n C_{v} \left( T_1 – T_2 \right) \quad . \end{aligned} \]

系が吸収した熱量は定圧変化の吸熱量の公式より, \[ Q_{D \to A} = n C_{p} \left( T_1 – T_2 \right) \quad (> 0) \quad . \]

であり, 吸熱反応であることがわかる.

エリクソンサイクルの熱効率

この熱力学サイクル一周の間に吸収した熱量は \(Q_{A \to B} + Q_{D \to A}\), 仕事の総量は \(W_{A \to B} + W_{B \to C} + W_{C \to D} + W_{D \to A}\)であるので, 熱効率 \( \eta\)は, \[ \begin{aligned} \eta &= \frac{ W_{ A \to B } + W_{ B \to C } + W_{ C \to D } + W_{ D \to A } }{Q_{ A \to B } + Q_{D \to A }} \\ &= \frac{ nRT_1 \log{ \left( \frac{P_1}{P_2} \right)} + n R \left( T_2 – T_1 \right) + nRT_2 \log{ \left( \frac{P_2}{P_1} \right)} + n R \left( T_1 – T_2 \right) }{ nRT_1 \log{ \left( \frac{P_1}{P_2} \right)} + n C_{p} \left( T_1 – T_2 \right) } \\ &= \frac{ \log{ \left( \frac{P_1}{P_2} \right)} + \frac{T_2}{T_1} \log{ \left( \frac{P_2}{P_1} \right)} }{ \log{ \left( \frac{P_1}{P_2} \right)} + \frac{ C_{p} }{ R } \left( 1 – \frac{T_2}{T_1} \right) } \\ &= \frac{ \left( 1 – \frac{T_2}{T_1} \right) \log{ \left( \frac{P_1}{P_2} \right)} }{ \log{ \left( \frac{P_1}{P_2} \right)} + \frac{ \gamma }{ \gamma -1 } \left( 1 – \frac{T_2}{T_1} \right) } \quad . \end{aligned} \]

ここで最後の式変形には \[ \begin{aligned} \frac{C_p}{R} &= \gamma \frac{C_v}{R} \\ &= \frac{\gamma}{ \gamma -1} \end{aligned} \]

を用いた.

最終更新日
熱力学的サイクルと熱効率 ファン・デル・ワールスの状態方程式

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