コーシー分布(ブライト・ウィグナー分布)

コーシー分布の規格化

ここで, コーシー分布を定数 \( N \) を用いて, \[f(x) = N \frac{\alpha}{\alpha^2 + \qty( x – \mu )^2} \notag\] とあらわすことにしよう.

この定数 \( N \) は確率密度関数 \( f(x) \) が満たすべき性質 \[\int_{ – \infty}^{\infty} f(x) \dd{x} =1 \label{pc_nat}\] から定めることができる. この条件を規格化条件という.

いま, \( f(x) \) を式\eqref{pc_nat}に代入すると, \[ \int_{ – \infty}^{\infty} f(x) \dd{x} = \int_{ – \infty}^{\infty} N \frac{\alpha}{\alpha^2 + \qty( x – \mu )^2} \dd{x} \] ここで, \[\begin{aligned} & x – \mu = \alpha \tan{\theta} \\ & \dv{x}{\theta} = \alpha \frac{1}{\cos[2]{\theta}}\end{aligned}\] という置き換えを行うと, \( x \to – \infty \) で \( \theta \to – \frac{\pi}{2} \) , \( x \to \infty \) は \( \theta \to \frac{\pi}{2} \) に相当することから, \[\begin{aligned} &= N \int_{ – \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\alpha}{\alpha^2 \qty( 1 + \tan[2]{\theta} )} \frac{\alpha}{\cos[2]{\theta}}\,\dd{\theta} \\ &= N \qty[ \theta ]_{ – \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= N \pi\end{aligned}\] したがって, \[N= \frac{1}{\pi} \notag \] とすることで, 規格化条件の式\eqref{pc_nat}を満たすことができる.

結局, 規格化されたコーシー分布の確率密度関数は次式で与えられることになる. \[f(x)= \frac{1}{\pi}\frac{\alpha}{\alpha^2 + \qty( x – \mu )^{2}} \quad . \label{c_1} \]

コーシー分布の期待値

コーシー分布 \[f(x)= \frac{1}{\pi}\frac{\alpha}{\alpha^2 + \qty( x – \mu )^{2}} \notag\] の期待値 \( E(X) \) を期待値の定義式 \[\int_{ – \infty}^{\infty} x\,f(x) \dd{x} \] より求めてみよう. 以下では簡単のため, \( \mu=0 \) とする^[1]コーシー分布の期待値はこの置換えの如何に関わらず, 定義することが出来ないことがすぐにわかる.. \[\begin{aligned} E(X) &= \int_{ – \infty}^{\infty} x\,f(x) \dd{x} \\ &= \int_{ – \infty}^{\infty} x \frac{1}{\pi} \frac{\alpha}{\alpha^2+x^2} \dd{x} \\ &= \frac{\alpha}{2\pi} \qty[ \log_{e}{\qty( \alpha^2 + x^2 )} ]_{ – \infty}^{\infty} \\ &= \infty – \infty \end{aligned}\] となり, \( E(X) \) は不定形となり, 値が定まらず, コーシー分布では期待値は定義されない.

期待値が定義されないことは, 冒頭に述べたように, コーシー分布の大きな特徴である. 見た目上は明らかに \( x=\mu \) にピークが有り左右対称であることから期待値も最頻値 \( \mu \) と一致するかと思われるが, 実際には関数の裾の部分がゆるく, 大きく広がっていることに関連している.

コーシー分布の分散, 2次モーメント

コーシー分布は期待値 \( E(X) \) を定義することが出来ないことを述べた. したがって, コーシー分布には一般の確率密度関数から分散 \( V(X) \) を計算する手法 \[ V(X) = E(X^2) – \left\{E(X)\right\}^2\] では分散を定義することができない. そこで, 分散を拡張したような量として \( 2 \) 次モーメントという量を計算してみよう.

一般に, (連続的な)確率密度関数 \( f(x) \) の \( c \) 周りの \( n \) 次モーメントと呼ばれる量を次式で定義する. \[E( \qty( x – c )^{n} ) = \int_{ – \infty}^{\infty} \qty( x – c )^{n} f(x) \dd{x} \] したがって, 通常の確率密度関数の分散とは期待値 \( E(X) \) 周りの \( 2 \) 次モーメントなのである.

コーシー分布に話を戻そう. いま, 期待値は定義されていないので, 原点周りの( \( \mu=0 \) 周り )の \( 2 \) 次モーメントを計算してみよう. \[\begin{aligned} E( \qty( x – 0 )^{2} ) &= \int_{ – \infty}^{\infty} x^2 \frac{1}{\pi}\frac{\alpha}{\alpha^2 + x^2} \dd{x} \\ &= \frac{\alpha}{\pi} \int_{ – \infty}^{\infty} \frac{x^2}{\alpha^2 + x^2} \dd{x} \\ &= \frac{2\alpha}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{\alpha^2 + x^2} \dd{x} \\ &= \frac{2\alpha}{\pi} \int_{0}^{\infty} \left\{1 – \frac{\alpha^2}{\alpha^2 + x^2} \right\} \dd{x} \\ &= \infty\end{aligned}\] となり, この量も発散する.

ブライト・ウィグナー分布

コーシー分布は物理の分野ではブライト・ウィグナー分布と呼ばれている.

例えば, 光や特性X線のスペクトル測定によって得られる強度分布 \( I \) はそのエネルギー \( E \) の関数として次のような形であらわされる. \[I(E) = (\mathrm{const.}) \times \frac{\Gamma/2}{\Gamma^2/4 + \qty( E – E_{0} )^2} \label{bw1}\] これは式\eqref{c_1}において \( \alpha=\frac{\Gamma}{2} \) としたもので, \( \Gamma \) (ガンマ)は共鳴幅といわれ, \( E_{0} \) は共鳴エネルギーという.

式\eqref{bw1}の定数部分を除いた関数は \( E=E_{0} \) で最大値 \[\frac{\Gamma/2}{\Gamma^2/4 + \qty( E_{0} – E_{0} )^2} = \frac{2}{\Gamma} \notag \] をとり, \( E=E_{0}\pm\frac{\Gamma}{2} \) で \[\frac{\Gamma/2}{\Gamma^2/4 + \qty( \qty( E_{0} \pm \frac{\Gamma}{2} ) – E_{0} )^2} = \frac{1}{\Gamma} \notag \] と, 最大値の半分の値となる. このような性質から, \( E=E_{0}\pm\frac{\Gamma}{2} \) における値を半値, \( E_{0} – \frac{\Gamma}{2} \sim E_{0}+\frac{\Gamma}{2} \) の間隔のことを半値幅(FWHM : Full Width at Half-Maximum)といい, \( \Gamma \) を共鳴幅という名前の由来となっている.

式\eqref{bw1}を描いたのが次図である.