等速度運動と等加速度運動

物体が加速度 \( \boldsymbol{a} \) で等加速度運動しているときの速度 \( \boldsymbol{v} \)と位置 \( \boldsymbol{r} \) は時刻 \( t = t_{0} \) おける初期条件を \( \boldsymbol{r}_{0}=\boldsymbol{r}(t_{0}) \), \( \boldsymbol{v}_{0}=\boldsymbol{v}(t_{0}) \)として次式であたえられる. \[\begin{aligned} \boldsymbol{v} &= \boldsymbol{v}_{0} + \boldsymbol{a} \left( t – t_{0} \right) \notag \\ \boldsymbol{r} &= \boldsymbol{r}_{0} + \boldsymbol{v}_{0} \left( t-t_{0}\right) + \frac{1}{2}\boldsymbol{a} \left( t-t_{0}\right)^{2} \notag \end{aligned}\] また, 時間情報を消去すると次式となる. \[ \left| \boldsymbol{v} \right|^{2} – \left| \boldsymbol{v}_{0} \right|^{2} = 2 \boldsymbol{a} \cdot \left( \boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}_{0} \right) \notag \]

等速度運動は等加速度運動の特別な場合( \( \boldsymbol{a} = \boldsymbol{0} \) )である.

位置・速度・加速度が互いに微分と積分によって結びついているという議論は二つの記事(位置・速度・加速度と微分, 位置・速度・加速度と積分)で行ってきた.

そこでの結論は, 位置を微分することで速度が, 速度を微分することで加速度が定義されるということ, \[\boldsymbol{v} \mathrel{\mathop:}= \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}, \quad \boldsymbol{a} \mathrel{\mathop:}= \frac{d\boldsymbol{v}}{dt} \notag\] 適当な初期条件を与えた上で加速度を積分することで速度を, 速度を積分することで位置を求めることができるということ \[\begin{aligned} \boldsymbol{v} &= \boldsymbol{v}(t_{0}) + \int_{t_{0}}^{t} \boldsymbol{a}\,dt , \notag \\ \boldsymbol{r} &= \boldsymbol{r}(t_{0}) + \int_{t_{0}}^{t} \boldsymbol{v}\,dt \notag \end{aligned}\] であった.

ここでは, 高校物理で頻繁に議論される具体的な運動である等速度運動等加速度運動について上の式を具体的に計算し各運動における公式を導出する.

実際のところ, 等速度運動は等加速度運動の特別な場合として理解されるが, まずは感覚的な理解のしやすさや数学になじんでもらうこと及び物理量とグラフとの対応に対する理解を深めてもらうために等速度運動を議論したあとで等加速度運動の議論へと映ることにする.

また, 下準備として \( f(x)=x^{n} \) の関数の微分・積分公式, 合成関数の微分, 積分実行時のちょっとした工夫について補足的に紹介しておく.

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下準備 : \( x^{n} \) の微分公式
下準備 : 合成関数の微分
下準備 : 初期条件を加味した積分計算
等速度運動
等加速度運動


下準備 : \( x^{n} \) の微分公式

\( n \) を自然数とした \( x^{n} \) について次の微分公式 \[\frac{d}{dx}x^{n} = n x^{n-1} \notag\] が成立する.

また, \( 0 \) 以上の整数 \( n \) に対して \[\int x^{n} \,dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C \quad \left( \text{$C$は任意定数} \right) \notag\] が成立する.

関数 \( y=f(x)=x^{n} \) の導関数を求めよう. ただし, \( n \) は自然数とする. この関数 \( f(x) \) の微分は導関数の定義にしたがって \[\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) – f(x)}{\Delta x} \notag \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^{n} – x^{n}}{\Delta x} \notag \end{aligned}\] を計算すればよい. ここで, 最右辺の分子 \( \left(x+\Delta x\right)^{n}-x^{n} \) について考えてみよう. じつは, \( \left(x + \Delta x\right)^{n} \) の具体的な形を求めることなく \( \frac{dx^{n}}{dx} \) を計算することができる. というのも, 最終的な計算においては \( \Delta x \to 0 \) という計算を行うので, \( \frac{(x+\Delta x)^{n} – x^{n}}{\Delta x} \) の計算結果のうち, \( \Delta x \) を含まない項 \( \Delta x \) の1次以上を含む項とが区別できれば \( \Delta x \) の1次以上を含む項をゼロとすることが出来るからである. \[\left( x + \Delta x\right)^{n} = \underbrace{ \left( x + \Delta x\right) \left( x + \Delta x\right) \cdots \left( x + \Delta x\right) }_{\text{$n$個の$\left( x + \Delta x\right)$の積}} \notag\] を展開した結果えられる \( x^{n} \) の係数とは, \( n \) 個の \( \left( x + \Delta x\right) \) の中から \( n \) 個の \( x \) を選んで掛け合わせたでできる \( 1\cdot x^{n} \) の項の数に等しい. 全ての \( \left( x + \Delta x\right) \) の中から \( x \) だけを選ぶという組み合わせは一つのみであり, \( x^{n} \) の係数は \( 1 \) であることがわかる.

同様に, \( x^{n-1}\cdot \Delta x \) が登場する項の数は, \( n \) 個の \( \left( x + \Delta x\right) \) の中から \( x \) を \( n-1 \) 個, \( \Delta x \) を1個選ぶ組み合わせの数に等しい. すなわち, \( \Delta x \) をどの括弧から取ってくるかという場合の数に等しく, それは \( n \) 通りであるので \( x^{n-1}\cdot \Delta x \) の係数は \( n \) であることがわかる.

他の \( x^{n-k}\cdot \Delta k \ \left( k = 0 , 1, \cdots , n\right) \) の係数も同様にして決定できるのだが, この時点で \[\begin{aligned} \left( x + \Delta x \right)^{n} – x^{n} &= \left\{ x^{n} + n x^{n-1} \Delta x + \left( \text{$\Delta x $の2次以上を含んだ項} \right) \right\} – x^{n} \notag \\ &= n x^{n-1} \Delta x + \left( \text{$\Delta x $の2次以上を含んだ項} \right) \notag \end{aligned}\] であることがわかるので, \[\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^{n} – x^{n}}{\Delta x} \notag \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\left\{ n x^{n-1} \Delta x + \left(\text{$\Delta x $の2次以上を含んだ項}\right) \right\}}{\Delta x} \notag \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \left\{ n x^{n-1} + \left(\text{$\Delta x $の1次以上を含んだ項}\right) \right\} \notag \\ &= n x^{n-1} \notag \end{aligned}\] となる[1].

以上より, 自然数 \( n \) について \( f(x)=x^{n} \) について次の微分公式 \[\frac{d}{dx}x^{n} = n x^{n-1} \label{xndiffform}\] が得られた.

積分計算は式\eqref{xndiffform}の逆をたどれば良い. すなわち, \( 0 \) 以上の整数 \( n \) に対して \[\int x^{n} \,dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C \quad \left( \text{$C$は任意定数} \right) \notag\] が成立する.

下準備 : 合成関数の微分

関数 \( y=f(x) \) , \( x=g(t) \) がそれぞれ \( x \) , \( t \) で微分可能な関数であるとき \( f(g(t)) \) を合成関数という. そして合成関数の微分について \[\frac{df(g(t))}{dt} = \frac{df(x)}{dx} \frac{dg(t)}{dt} \notag\] が成立する.

ある関数 \( y=f(x) \) , \( x=g(t) \) がそれぞれ \( x \) , \( t \) で微分可能な関数であろうとしよう. このとき, \( y= f(g(t)) \) を合成関数などという. ここで問題となるのは合成関数 \( y=f(g(t)) \) の導関数 \( \frac{dy}{dt} \) はどのように書くことが出来るのかということである. このことをある程度直感的な方法で議論しよう.

まず, 合成関数 \( y=f(g(t)) \) は, \( t \) の値によって \( x=g(t) \) が定まり, その \( x \) によって \( y=f(x)=f(g(t)) \) が定まるという構造をしていることに着目しよう. この事情は \( y \) の微小な変化量についても同様に成立し, \( t \) の微小変化 \( \Delta t \) によって \( x \) の微小変化 \( \Delta x \) が定まり, その \( \Delta x \) によって微小変化 \( \Delta y \) が定まるという構造となっている. さらに, 各微小変化が非常に小さいときには比 \( \frac{\Delta x}{\Delta t} \) や \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \) というのはそれぞれある点での微分係数に一致する定数とみなすことができるので, 比 \( \frac{\Delta y}{\Delta t} \) について \[\frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{\Delta y}{\Delta x}\frac{\Delta x}{\Delta t} \notag\] が成立すると考えることができる.

上式において各微変化を無限小とする極限をとることで合成関数 \( y=f(x)=f(g(t)) \) の導関数 \( \frac{dy}{dt} \) について \[\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dt} \notag\] という公式が成立することになる.

上述の内容は, \( y \) を \( t \) で微分したものを表すライプニッツ表記 \( \frac{dy}{dt} \) を形式的な分数とみなして形式的な式変形 \[\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dt} \frac{dx}{dx} = \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dt} \notag\] を行なったと考えてもよい.

少し大仰な説明を行なったが, 実際の計算は非常に単純である. たとえば, \[y = \left( t^{2} +1 \right)^{3} \notag\] は \[\begin{cases} y(x) = x^{3} \notag \\ x(t) = t^{2}+1 \notag \end{cases} \notag\] の合成関数とみなすことができるので, \[\begin{aligned} \frac{dy}{dt} &= \underbrace{ \frac{d}{dt}\left( t^{2}+1 \right)}_{\frac{dx(t)}{dt}} \cdot \underbrace{ 3 \left( t^{2}+1 \right)^{2} }_{\frac{dy(x)}{dx}=3x^{2}} \notag \\ &= 6 t \left( t^{2}+1 \right)^{2} \notag \end{aligned}\] といった具合に計算可能である. これが正しいことは, \( y=\left( t^{2} +1 \right)^{3} \) を展開して微分することで確かめることができる.

上記の議論はより一般化することができる. \( k \) を \( k = 1 , 2, \cdots , n-1 \) として, 関数 \( x_{k}=x_{k}(x_{k+1}) \) , \( x_{n}=x_{n(t)} \) の入れ子状となった合成関数 \( y=f(x_{1}(x_{2}(\cdots x_{n}(t)))) \) の導関数 \( \frac{dy}{dt} \) は形式的に \[\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx_{1}} \frac{dx_{1}}{dx_{2}} \cdots \frac{dx_{n-1}}{dx_{n}} \frac{dx_{n}}{dt} \notag\] と変形することができる.

下準備 : 初期条件を加味した積分計算

定数 \( a \) に対する(不定)積分 \( \int a\,dt \) は \( a \) の原始関数に対して \( t=t_{0} \) における初期条件を与えることを意識して \[\int a \,dt = a (t-t_{0}) + C_{1} \quad \left( \text{$C_{1}$は積分定数}\right) \label{intkuhuu1}\] とする. この妥当性は右辺を \( t \) を微分すると \( a \) に一致することから確かめられる.

式\eqref{intkuhuu1}をさらに積分すると, \[\int \left\{ a (t-t_{0}) + C_{1} \right\} \,dt = \frac{1}{2} a (t-t_{0})^{2} + C_{1}\left( t-t_{0} \right) + C_{2} \quad \left( \text{$C_{2}$は積分定数}\right) \label{intkuhuu2}\] となる. この妥当性は式\eqref{intkuhuu2}の右辺を微分すると式\eqref{intkuhuu1}に一致することから確かめられる.

物理において良くもちいることになる積分の実行方法について紹介しておこう.

まず, 変数 \( t \) の関数 \( v(t) \) について, \( \frac{dv}{dt} \) が \( a \) という定数で与えられているとする. そして \( \frac{dv}{dt}=a \) を(不定)積分して \( v(t) \) を求めると, \[v(t) = \int \frac{dv}{dt}\,dt = \int a\,dt = a t + C \notag\] となる. ここで, \( C \) は積分定数である.

つづいて, \( t=t_{0} \) で \( v(t_{0}) \) が \( v_{0} \) という値であったという条件を与えると, \[v_{0} = at_{0} + C \ \iff \ C = v_{0} – at_{0} \notag\] と積分定数 \( C \) の値を定めることができ, 元の \( v(t) \) の式に積分定数 \( C \) を代入すると, \[v(t) = v_{0} + a \left( t – t_{0} \right) \notag\] と積分定数を含まない形で書くことができる. ここで与えた条件 \( t=t_{0} \) で \( v(t_{0})=v_{0} \) であるは積分定数の値を固定するために与えた条件であり, 初期条件と呼ばれる.

このような \( t=t_{0} \) における初期条件を適用することを念頭に, \( \frac{dv}{dt}=a \) を(不定)積分の書き方について考え直してみると, \[v(t) = C + a \left( t – t_{0} \right) \notag\] と初めから書いてしまったほうが都合がよいことがわかるであろう[2]. このように変数 \( t \) を \( \left( t – t_{0} \right) \) といった具合に初期条件を与える \( t_{0} \) とセットにしておくことで, \( v(t_{0})=v_{0} \) という初期条件を適用したときに \[v(t_{0}) = v_{0} = C + a\left( t_{0} – t_{0}\right) \notag\] といった具合に \( C=v_{0} \) を即座に求めることができ, \( v(t) \) が \[v(t) = v_{0} + a \left( t – t_{0} \right) \notag\] で与えられることが見抜きやすくなる.

この \( v(t) \) がさらに \( x(t) \) の導関数 \( v=\frac{dx}{dt} \) であり, \( x \) を知りたいならば \( \left( t – t_{0}\right) \) をセットにしたまま積分を実行すればよい. \[\begin{aligned} x(t) &= \int_{t_{0}}^{t} v(t)\,dt \notag \\ &= \int_{t_{0}}^{t} \left\{ v_{0} + a \left( t – t_{0} \right) \right\} \,dt \notag \\ &= C + v_{0}\left( t- t_{0} \right) + \frac{1}{2}a\left( t-t_{0}\right)^{2} \notag \end{aligned}\] この \( x(t) \) にも \( t=t_{0} \) で \( x(t_{0})=x_{0} \) であったという初期条件を与えることで, 任意定数 \( C=x_{0} \) であることが明らかであり \[x(t) = x_{0} + v_{0}\left( t- t_{0} \right) + \frac{1}{2}a\left( t-t_{0}\right)^{2} \notag\] とすぐさま書くことができるようになる. なお, \( x(t) \) を(合成関数の微分公式を用いて)微分すると \( \frac{dx}{dt}=v_{0} + a \left( t – t_{0} \right) \) を満たしていることはすぐに確かめられる.

等速度運動

等速度運動

等速度運動とは速度 \( \boldsymbol{v}=\left( v_{x}, v_{y}, v_{z} \right) \) が時間によらず, 常に一定であるような運動のことである. この等速度運動を行っている物体の位置 \( \boldsymbol{r}=\left( x, y, z \right) \) がどのように記述されるのかについて議論しよう.

点 \( P \) が時刻 \( t=t_{0} \) に位置 \( \boldsymbol{r}_{0}=\boldsymbol{r}(t_{0})=\left( x_{0}, y_{0}, z_{0} \right) \) に存在し, 点 \( P \) は速度 \( \boldsymbol{v} \) の等速度運動を行っているとする. このとき, 時刻 \( t \) における点 \( P \) の位置 \( \boldsymbol{r} \) と加速度 \( \boldsymbol{a} \) は \[\begin{aligned} \boldsymbol{r} &= \boldsymbol{r}_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \boldsymbol{v}\,dt \notag \\ \boldsymbol{a} &= \frac{d\boldsymbol{v}}{dt} \notag \end{aligned}\] で与えられる.

まずは, (ほぼ自明なことであるが)等速度運動の加速度を求めておこう. 加速度は速度の導関数なので, \[\frac{d\boldsymbol{v}}{dt} = \left( \frac{dv_{x}}{dt}, \frac{dv_{y}}{dt}, \frac{dv_{z}}{dt} \right) = \boldsymbol{0} \notag\] となり, 等速度運動における加速度(ベクトル)はゼロベクトルである. 逆に, 加速度(ベクトル)がゼロベクトル \( \boldsymbol{0} \) で与えられる場合, 速度 \( \boldsymbol{v} \) は \[\boldsymbol{v} = \boldsymbol{v}(t_{0}) + \int_{t_{0}}^{t}\boldsymbol{a}\,dt = \boldsymbol{v}(t_{0}) \notag\] と, 初速度 \( \boldsymbol{v}(t_{0}) \) を保ち続ける運動 – 等速度運動 – を行うことがわかる.

つぎに, 位置 \( \boldsymbol{r}(t)=\left( x, y, z \right) \) を求めよう. 位置は速度の積分 \[\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \boldsymbol{v}\,dt \notag\] で与えられるので, このうちの \( x \) 成分のみに注目して積分を実行すると, \[\begin{aligned} x &= x_{0} + \int_{t_{0}}^{t} v_{x} \,dt \notag \\ &= x_{0} + v_{x} \left( t – t_{0} \right) \notag \end{aligned}\] と書くことができる.

上述の議論は \( x \) , \( y \) , \( z \) の各成分について成立するので, 速度 \( \boldsymbol{v} \) の等速度運動を行う物体の位置をベクトルとしてまとめて書くと, \[\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_{0} + \boldsymbol{v} \left( t – t_{0} \right) \notag\] と書くことができる. この式の第2項 \( \boldsymbol{v}\left(t-t_{0}\right) \) は速度 \( \boldsymbol{v} \) と同じ向きを向いたベクトルであり, 等速度運動する点 \( P \) は運動中に向きを変えることがない直線運動となることがわかる.

等速度運動とグラフ

ここでは, 等速度運動の \( x \) 成分に注目して議論しよう.

位置 \( x \) の時刻 \( t_{1} \) から \( t_{2} \) の間の変位は \( x \) 方向の速度を \( v \) として \[x(t_{2}) – x(t_{1}) = \int_{t_{1}}^{t_{2}}v\,dt \notag\] で与えられるのであった, ここで \( v \) が時間によらずに一定な等速運動であったとすると, \[\int_{t_{1}}^{t_{2}}v\,dt = v\left( t_{2} -t_{1}\right) \notag\] であり, 変位は \[x(t_{2}) – x(t_{1}) = v \left( t_{2} – t_{1} \right) \notag\] となる.

また, \( \int_{t_{1}}^{t_{2}}v\,dt \) は \( v \) – \( t \) グラフの符号付き面積を意味するものであったので, \( v \) – \( t \) グラフを描いて \( t_{1} \) から \( t_{2} \) で囲まれる領域の面積から変位 \( x(t_{2}) – x(t_{1}) \) を求めることもできる.

下図には等速度運動の( \( x \) 成分の) \( v \) – \( t \) グラフを描いた. 図より, 変位は \[x(t_{2}) – x(t_{1}) = v \cdot \left( t_{2} – t_{1} \right) \notag\] であり, 先に積分計算で求めた結果と一致している.

等速度運動のまとめ

等速度運動についてわかったことをまとめると, \( t=t_{0} \) における初期位置を \( \boldsymbol{r}_{0} \) , 初速度を \( \boldsymbol{v}_{0} \) としたときの位置 \( \boldsymbol{r} \) , 速度 \( \boldsymbol{v}=\frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \) , 加速度 \( \boldsymbol{a}=\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}=\frac{d^{2}\boldsymbol{r}}{dt^{2}} \) は次式で与えられる. \[\begin{aligned} \frac{d^{2}\boldsymbol{r}}{dt^{2}} &= \frac{d\boldsymbol{v}}{dt} = \boldsymbol{a} = \boldsymbol{0} \notag \\ \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} &= \boldsymbol{v} = \boldsymbol{v}_{0} \notag \\ \boldsymbol{r} &= \boldsymbol{v}_{0} \left( t – t_{0} \right) + \boldsymbol{r}_{0} \notag \end{aligned}\] また, 下図には \( x \) 成分だけに注目し, \( t_{0}=0 \) とした \( a \) – \( t \) グラフ, \( v \) – \( t \) グラフ, \( x \) – \( t \) グラフをそれぞれ描いた. これらのグラフを見たときに, その符号付き面積(=積分)や曲線の傾き(=微分)がどんな物理量をあらわしているのかはよく把握しておいてほしいし, \( x \) , \( v \) , \( a \) の微積関係がわかっている諸君にとってはそれは明らかなことであろう.

等加速度運動

等加速度運動

等速度運動で計算の要領を得ていると思うので, 続いては加速度 \( \boldsymbol{a}=\left(a_{x}, a_{y}, a_{z}\right) \) が時間によらず一定であるような等加速度運動について議論しよう.

時刻 \( t_{0} \) における速度が \( \boldsymbol{v}_0 = \boldsymbol{v}(t_{0}) = \left( {v_{0}}_{x}, {v_{0}}_{y}, {v_{0}}_{z}\right) \) であるとすると, 時刻 \( t \) における速度 \( \boldsymbol{v}=\left( v_{x}, v_{y}, v_{z} \right) \) は \[\begin{aligned} \boldsymbol{v} &= \boldsymbol{v}_{0} + \int_{t_{0}}^{t}\boldsymbol{a}\,dt \notag \\ &= \boldsymbol{v}_{0} + \boldsymbol{a} \left( t – t_{0} \right) \notag \\ \iff \ & \left\{ \begin{aligned} v_{x} &= {{v}_{0}}_{x} + a_{x} \left( t – t_{0} \right) \notag \\ v_{y} &= {{v}_{0}}_{y} + a_{y} \left( t – t_{0} \right) \notag \\ v_{z} &= {{v}_{0}}_{z} + a_{z} \left( t – t_{0} \right) \notag \end{aligned} \right. \end{aligned}\] で与えられる.

速度 \( \boldsymbol{v}(t) \) がわかったので, 更に積分計算を行うことによって時刻 \( t \) における位置 \( \boldsymbol{r} \) を知ることができる.

時刻 \( t_{0} \) における位置が \( \boldsymbol{r}_0 = \boldsymbol{r}(t_{0}) = \left( x_{0} , y_{0} , z_{0} \right) \) であるとすると, 時刻 \( t \) における位置 \( \boldsymbol{r}=\left( x, y, z \right) \) は \[\begin{aligned} \boldsymbol{r} &= \boldsymbol{r}_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \boldsymbol{v}\,dt \notag \\ &= \boldsymbol{r}_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \left\{ \boldsymbol{v}_{0} + \boldsymbol{a} \left( t – t_{0} \right) \right\} \,dt \notag \end{aligned}\] で与えられる. このうちの \( x \) 成分に注目して積分を実行すると \[\begin{aligned} x &= x_{0} + \int_{t_{0}}^{t} v_{x} \,dt \notag \\ &= x_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \left\{ {{v}_{0}}_{x} + a_{x} \left( t – t_{0} \right) \right\} \,dt \notag \\ &= x_{0} + {v_{0}}_{x}\left(t-t_{0}\right) + \frac{1}{2} a_{x} \left( t-t_{0}\right)^{2} \notag \end{aligned}\] となる.

上述の議論は \( x \) , \( y \) , \( z \) の各成分について成立するので, 物体が加速度 \( \boldsymbol{a} \) で等加速度運動しているときの速度(ベクトル)と位置(ベクトル)はまとめて, \[\begin{aligned} \boldsymbol{v} &= \boldsymbol{v}_{0} + \boldsymbol{a} \left( t – t_{0} \right) \notag \\ \boldsymbol{r} &= \boldsymbol{r}_{0} + \boldsymbol{v}_{0} \left( t-t_{0}\right) + \frac{1}{2} \boldsymbol{a} \left( t-t_{0}\right)^{2} \notag \end{aligned}\] と書くことができる.

等加速度運動とグラフ

等加速度運動の \( x \) 成分に注目して議論しよう.

速度 \( v \) の時刻 \( t_{1} \) から \( t_{2} \) の間の変化量は \( x \) 方向の加速度を \( a \) として \[v(t_{2}) – v(t_{1}) = \int_{t_{1}}^{t_{2}}a\,dt \notag\] で与えられるのであった, ここで \( a \) が時間によらずに一定な等加速度運動であったとすると, \[\int_{t_{1}}^{t_{2}}a\,dt = a\left( t_{2} -t_{1}\right) \notag\] であり, 速度の変化は \[v(t_{2}) – v(t_{1}) = a \left( t_{2} – t_{1} \right) \notag\] となる. このときの \( a \) – \( t \) グラフを下図に描いた.

\( a \) – \( t \) グラフの時刻 \( t_{1} \) から \( t_{2} \) の間の符号付き面積は速度の変化量を表すので \( a \) – \( t \) グラフを描いた上で面積をもとめると, 先と同様に \[v(t_{2}) – v(t_{1}) = a \cdot \left( t_{2} – t_{1} \right) \notag\] となることがわかる.

続いては, 等加速度運動の \( v \) – \( t \) グラフについて考えてみよう. 等加速度運動の場合には速度の時間変化が一定であるので, \( v \) – \( t \) グラフの曲線は傾きが常に一定の直線で与えられる. 下図には, 時刻 \( t=t_{1} \) における速度を \( v_{1}=v(t_{1}) \) とした速度 \[v = v_{1} + a \left( t – t_{1}\right) \notag\] を描いた.

このグラフにおいて, 時刻 \( t_{1} \) から \( t_{2} \) の間の面積は, \( v(t_{1}) \) を上底, \( v(t_{2}) \) を下底, \( \left(t_{2}-t_{1}\right) \) を高さとみなした台形の面積をもとめることになるので, \[\begin{aligned} & \frac{1}{2}\left\{ v(t_{1}) + v(t_{2}) \right\} \cdot \left( t_{2} – t_{1} \right) \notag \\ &= \frac{1}{2} \left\{ 2 v_{1} + a \left( t_{2} – t_{1} \right) \right\} \cdot \left( t_{2} – t_{1} \right) \notag \\ &= a \left( t_{2} – t_{1} \right)^{2} + v_{1} \left( t_{2}-t_{1} \right) \notag \end{aligned}\] となり, これが時刻 \( t_{1} \) から \( t_{2} \) の間の変位 \( x(t_{2})-x(t_{1}) \) となる.

もちろん, \( v \) – \( t \) グラフの面積は積分を用いて計算してもよく, \[\begin{aligned} \int_{t_{1}}^{t_{2}}v(t)\,dt &= \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left\{ v_{1} + a\left( t – t_{1} \right) \right\}\,dt \notag \\ &= \frac{1}{2}a\left(t_{2} – t_{1}\right)^{2} + v_{1}\left( t_{2}-t_{1}\right) \notag \end{aligned}\] としても変位 \( x(t_{2}) – x(t_{1}) \) を求めることができる.

等加速度運動の速度と変位の関係式

等加速度運動の \( x \) 成分に注目して議論しよう.

等加速度 \( a \) で運動している物体の時刻 \( t_{0} \) における初期位置を \( x_{0} \) , 初速度を \( v_{0} \) とすると, \[\begin{align} a &= \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = \frac{dv}{dt} \label{xvaeq1} \\ v &= \frac{dx}{dt} = a\left(t-t_{0}\right) + v_{0} \label{xvaeq2} \\ x &= \frac{1}{2}a\left(t-t_{0}\right)^{2} + v_{0}\left(t-t_{0}\right) + x_{0} \label{xvaeq3} \end{align}\] が成立する. これらは全て時間の関数として書き表すことで物体の運動を記述しているが, ときにはある位置に存在するときの速度を知ることが目的となりえる. 実はこのような場面は高校物理で頻出である. そこで, 式\eqref{xvaeq2}と式\eqref{xvaeq3}を組み合わせて時刻 \( t \) を消去した形にまとめておき, 位置と速度の関係がみえるように式変形を行なっておこう.

先に結論を記しておくと, \[v^{2}-v_{0}^{2} = 2a\left( x – x_{0} \right) \notag\] が成立することになる. 以下にはこの証明方法を二つ紹介しておく.

一つ目の方法は式\eqref{xvaeq2}と式\eqref{xvaeq3}を連立方程式とみなすものであり, 二つ目の方法は式\eqref{xvaeq1}に対して合成関数の微分の考え方をもちいることで導出するものである. 二つ目の方法は後に議論するエネルギーの概念にもつながる論法なので, 是非とも身につけておいてほしい.

式\eqref{xvaeq3}より, \[t-t_{0} = \frac{v-v_{0}}{a} \notag\] であり, 式\eqref{xvaeq2}に代入すると, \[\begin{aligned} &x = \frac{1}{2}a\left( \frac{v-v_{0}}{a} \right)^{2} + v_{0} \left( \frac{v-v_{0}}{a} \right) + x_{0} \notag \\ & \to x – x_{0} = \frac{ v^{2}-v_{0}^{2} }{2a} \notag \\ & \therefore v^{2}-v_{0}^{2} = 2a\left( x – x_{0} \right) \notag \end{aligned}\] が成立することになる.

時間 \( t \) の関数 \( f(t) \) について, 合成関数の微分をもちいると, \[\frac{d}{dt} \left( f(t) \right)^{2} = 2 f \cdot \frac{df}{dt} \notag\] が成立する. この関係式を用いて方法1で導いたものと同じ公式を得ることができる.

さて, 等加速度運動の加速度は式\eqref{xvaeq1}より, \[\frac{dv}{dt} = a \notag\] と書くことができる. ここでこの式の両変に \( v=\frac{dx}{dt} \) を乗じ, 先に得られた合成関数の公式を用いながら式変形を行うと, \[\begin{aligned} & \frac{dv}{dt} \cdot v = a \cdot \frac{dx}{dt} \notag \\ & \to \ \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} v^{2} \right)= \frac{d}{dt} \left( a x\right) \notag \\ & \to \ \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2}v^{2} – a x\right) =0 \notag \end{aligned}\] したがって, 等加速度運動においては量 \( \left( \frac{1}{2}v^{2} – a x \right) \) は時間によらずに一定となる. \[\frac{1}{2}v^{2} – a x = \mathrm{const.} \quad . \notag\] 時間によらないということは, 初速度 \( v_{0} \) や初期位置 \( x_{0} \) がわかっている時刻 \( t_{0} \) のときから変化していないということなので, あらゆる時刻において \[\begin{aligned} & \frac{1}{2}v_{0}^{2} – a x_{0} = \frac{1}{2}v^{2} – a x \notag \\ & \to \ v^{2}-v_{0}^{2} = 2a\left( x – x_{0} \right) \notag \end{aligned}\] が得られる.

なお, 上の公式は3次元全ての方向について成立するので, \( \boldsymbol{r}=\left( x, y, z \right) \) , \( \boldsymbol{r}_{0}=\left( x_{0}, y_{0}, z_{0} \right) \) , \( \boldsymbol{v}=\left( v_{x}, v_{y}, v_{z} \right) \) , \( \boldsymbol{v}_{0}=\left( {v_{0}}_{x}, {v_{0}}_{y}, {v_{0}}_{z} \right) \) , \( \boldsymbol{a}=\left( a_{x}, a_{y}, a_{z} \right) \) とすると, \[\begin{aligned} {v_{x}}^{2}-{v_{0}}_{x}^{2} = 2a_{x}\left( x – x_{0} \right) \notag \\ {v_{y}}^{2}-{v_{0}}_{y}^{2} = 2a_{y}\left( y – y_{0} \right) \notag \\ {v_{z}}^{2}-{v_{0}}_{z}^{2} = 2a_{z}\left( z – z_{0} \right) \notag \end{aligned}\] が成立し, 全てを足し合わせると, \[\begin{aligned} &\left\{ {v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2} + {v_{z}}^{2} \right\} – \left\{ {v_{0}}_{x}^{2} + {v_{0}}_{y}^{2} + {v_{0}}_{z}^{2} \right\} = 2 \left\{ a_{x}\left( x – x_{0} \right) + a_{y}\left( y – y_{0} \right) + a_{z}\left( z – z_{0} \right) \right\} \notag \\ & \left| \boldsymbol{v} \right|^{2} – \left| \boldsymbol{v}_{0} \right|^{2} = 2 \boldsymbol{a} \cdot \left( \boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}_{0} \right) \notag \end{aligned}\] といった具合にまとめることができる.

等加速度運動のまとめ

等加速度運動について分かったことをまとめておこう.

時刻 \( t=t_{0} \) における初期位置を \( \boldsymbol{r}_{0} \) , 初速度を \( \boldsymbol{v}_{0} \) としたときの位置 \( \boldsymbol{r} \) , 速度 \( \boldsymbol{v}=\frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \) , 加速度 \( \boldsymbol{a}=\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}=\frac{d^{2}\boldsymbol{r}}{dt^{2}} \) は次式で与えられる. \[\begin{aligned} \frac{d\boldsymbol{r}^{2}}{dt^{2}} &= \frac{d\boldsymbol{v}}{dt}= \boldsymbol{a} \notag \\ \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} &= \boldsymbol{v} = \boldsymbol{a}\left( t – t_{0} \right) + \boldsymbol{v}_{0} \notag \\ \boldsymbol{r} & = \frac{1}{2}\boldsymbol{a}\left(t-t_{0}\right)^{2} + \boldsymbol{v}_{0} \left( t- t_{0} \right) + \boldsymbol{r} \notag \end{aligned}\] また, 時間に特に注目しないときには上式から時間を消去した式 \[\left| \boldsymbol{v} \right|^{2} – \left| \boldsymbol{v}_{0} \right|^{2} = 2 \boldsymbol{a} \cdot \left( \boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}_{0} \right) \notag\] が成立する.

下図には \( x \) 成分だけに注目し, \( t_{0}=0 \) とした \( a \) – \( t \) グラフ, \( v \) – \( t \) グラフ, \( x \) – \( t \) グラフをそれぞれれ描いた. 定数の加速度を積分した結果, 速度は時間の1次関数に, 速度を積分した位置は時間の2次関数となっていることを確かめて欲しい.

最終更新日
位置・速度・加速度と積分 運動の3法則



補足    (↵ 本文へ)
  1. もちろん, 二項定理を知っている諸君にとっては \[\begin{aligned} & \left( x + \Delta x\right)^{n} – x^{n} = \sum_{k=0} {}_{n}C_{k}x^{n-k}\left(\Delta x\right)^{k} – x^{n} \notag \\ & \qquad = x^{n} + \sum_{k=1} {}_{n}C_{k}x^{n-k}\left(\Delta x\right)^{k} – x^{n} \notag \\ & \qquad = \sum_{k=1} {}_{n}C_{k}x^{n-k}\left(\Delta x\right)^{k} \notag \end{aligned}\] より, \[\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sum_{k=1} {}_{n}C_{k}x^{n-k}\left(\Delta x\right)^{k}}{\Delta x} \notag \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{k=1} {}_{n}C_{k}x^{n-k}\left(\Delta x\right)^{k-1}\notag \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \left\{ n x^{n-1} + \sum_{k=2} {}_{n}C_{k} x^{n-k}\left(\Delta x\right)^{k-1} \right\}\notag \\ &=nx^{n-1} \notag \end{aligned}\] であるから, 微分公式 \[\frac{d}{dx}x^{n} =nx^{n-1} \notag\] としてよい.

  2. この \( v(t) \) を単純に微分するか, 合成関数の微分をもちいると \( \frac{dv}{dt}=a \) を満たしていることは明らかである.

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