質点系の運動方程式

重心

後述するように, 系の運動を代表する特別な点として重心がある.

系の全質量 \( M \) を \[M \coloneqq \sum_{i=1}^{N} m_{i} \notag\] で定義すると, 系の重心 \( \vb*{r}_{G} \) は次式で定義される. \[\vb*{r}_{G} \coloneqq \frac{1}{M}\sum_{i=1}^{N}m_{i}\vb*{r}_{i} \ \iff \ M \vb*{r}_{G} = \sum_{i=1}^{N}m_{i}\vb*{r}_{i} \quad . \label{nbprG}\]

質点の運動方程式

系に属する \( i \) 番目の質点が同じ系に属する \( j\ ( \neq i) \) 番目の質点から受ける力を \( \vb*{f}_{ij} \) とする. 作用反作用の法則により, \( i \) 番目の質点が \( j \) 番目の質点から受ける力 \( \vb*{f}_{ij} \) と \( j \) 番目の質点が \( i \) 番目の質点から受ける力 \( \vb*{f}_{ji} \) との間に次式が成立している. \[\vb*{f}_{ij} = – \vb*{f}_{ji} \quad \qty( i \neq j ) \quad . \notag\] このような, 系内部の物体が互いに及ぼし合う力を内力といい, \( i \) 番目の質点が受ける内力の合力は \( \displaystyle{\sum_{j\neq i}^{N} \vb*{f}_{ij} } \) で与えられる. ここで, 記号 \( \displaystyle{\sum_{j\neq i}^{N} } \) は, \( j =1 , 2, \cdots , N \) の総和計算を, \( j = i \) のみを除いた範囲で行うことを意味している.

そして, \( i \) 番目の質点が系の外部から受ける外力(の合力)を \( \vb*{F}_{i} \) とすると, \( i \) 番目の質点の運動方程式は次式で与えられる. \[m_{i} \dv[2]{\vb*{r}_{i}}{t} = \vb*{F}_{i} + \sum_{j\neq i}^{N}\vb*{f}_{ij} \quad . \label{nbpeomi}\]

質点系の運動方程式

質点系に属する各質点に対して成立する運動方程式(式\eqref{nbpeomi})が得られたので, 今度はそれらを全て合わせたときにどんな結論が得られるのかに興味を移そう.

\( i \) 番目の質点に対する運動方程式\eqref{nbpeomi}を \( i=1 \) から \( N \) まで和を取ると, \[\sum_{i=1}^{N} m_{i} \dv[2]{\vb*{r}_{i}}{t} = \sum_{i=1}^{N} \dv{\vb*{p}_{i}}{t} = \sum_{i=1}^{N} \vb*{F}_{i} + \sum_{i=1}^{N} \sum_{j\neq i}^{N} \vb*{f}_{ij} \label{nbpeomsum}\] となる. 以下では式\eqref{nbpeomsum}の各項をできる限り整理しよう.

まず, 式\eqref{nbpeomsum}の左辺と式\eqref{nbprG}の第2式右辺が似通っていることに注目し, 式\eqref{nbprG}の2階導関数を求めると \[\begin{aligned} & \dv[2]{}{t} \qty( M \vb*{r}_{G} ) = \dv[2]{}{t} \qty( \sum_{i=1}^{N} m_{i} \vb*{r}_{i} ) \notag \\ \to \ & M \dv[2]{\vb*{r}_{G}}{t} = \sum_{i=1}^{N} m_{i} \dv[2]{\vb*{r}_{i}}{t} \notag \end{aligned}\] であるので, 式\eqref{nbpeomsum}は \[M \dv[2]{\vb*{r}_{G}}{t} = \sum_{i=1}^{N} \vb*{F}_{i} + \sum_{i=1}^{N} \sum_{j\neq i}^{N}\vb*{f}_{ij} \label{nbpeomsum2}\] と書き換えることができる.

次に, 式\eqref{nbpeomsum2}の右辺第2項について考える. この項は \[\sum_{i=1}^{N} \sum_{j\neq i}^{N}\vb*{f}_{ij} = \sum_{i=1}^{N} \qty( \sum_{j < i}^{N}\vb*{f}_{ij} + \sum_{j > i}^{N}\vb*{f}_{ij} ) \notag\] と書くことができる. ここで, 記号 \( \displaystyle{\sum_{j< i}^{N} } \) は \( j =1 , 2, \cdots , N \) の総和計算を, \( j \) が \( i \) 未満の範囲で行うことを意味し, 記号 \( \displaystyle{\sum_{j> i}^{N} } \) は \( j =1 , 2, \cdots , N \) の総和計算を, \( j \) が \( i \) より大きな範囲で行うことを意味する.

途中, 作用反作用の法則 \( \vb*{f}_{ij} = – \vb*{f}_{ji} \) を用いると, \[\begin{aligned} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j\neq i}^{N}\vb*{f}_{ij} &= \sum_{i=1}^{N} \qty( \sum_{j < i}^{N}\vb*{f}_{ij} + \sum_{j > i}^{N}\vb*{f}_{ij} ) \notag \\ &= \sum_{i=1}^{N} \sum_{j < i}^{N}\vb*{f}_{ij} – \sum_{i=1}^{N} \sum_{j > i}^{N}\vb*{f}_{ji} \notag \\ &= \sum_{i=1}^{N} \sum_{j < i}^{N}\vb*{f}_{ij} – \sum_{j=1}^{N} \sum_{i > j}^{N}\vb*{f}_{ij} \notag \\ &= \sum_{i=1}^{N} \sum_{j < i}^{N}\vb*{f}_{ij} – \sum_{i=1}^{N} \sum_{j > i}^{N}\vb*{f}_{ij} \notag \\ &= \vb*{0} \notag \end{aligned}\] となり, 内力は互いに打ち消し合うことがわかる^[1]最後から2番目の等式変形に躓いたひともいるであろうから補足しておく. \( \displaystyle{\sum_{j=1}^{N} \sum_{i > j}^{N} } \) という総和計算は結局のところ, … Continue reading^[2]この証明は他にも幾つかの証明方法がある. その別証を与えておこう. 非常にシンプルなものとしては, 次のような証明がある. \[\begin{aligned} … Continue reading.

さらに, 質点系に働く全外力 \( \vb*{F}_{\mathrm{ext}} \) を \[\vb*{F}_{\mathrm{ext}} \coloneqq \sum_{i=1}^{N}\vb*{F}_{i} \notag\] と書くことにすると, 式\eqref{nbpeomsum2}は次式のように書くことができる. \[M \dv[2]{\vb*{r}_{G}}{t} = \vb*{F}_{\mathrm{ext}} \quad . \label{nbpeomsum3}\] この式\eqref{nbpeomsum3}は, 系の重心 \( \vb*{r}_{G} \) の運動は, 系の全質量 \( M \) が系の重心 \( \vb*{r}_{G} \) に集中した質点に全外力 \( \vb*{F}_\mathrm{ext} \) が働いているときの運動方程式を解くことで理解できるということを主張している.

質点系の運動量