位置・速度・加速度

この記事は内容を刷新し, 次の三つのページでより深く取り扱っています.
(2016年09月29日)

位置・速度・加速度と微分
位置・速度・加速度と積分
等速度運動と等加速度運動


まずは物体の位置速度を記述する運動学から始めよう.

運動学では時間毎に変化する位置, 速度, 加速度という三つの量を取り扱う.

“位置”や”速度”がどんな物理量なのかは日常的感覚があるだろう. しかし, “加速度”はなかなか日常的感覚と結びついていない人が多いようである. 以下では”位置と速度の関係“と”“速度と加速度の関係“が全く同じであることを示す[1].

位置や速度の関係を微分および積分と絡めて解説するが, 微積分という数学の言葉を借りるだけでその数式が表す意味が日常と乖離(かいり)したものではなく全く同じものであるということは常に意識しておいてほしい.

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位置・速度・加速度と微分
位置・速度・加速度と積分
等加速度直線運動


位置・速度・加速度と微分

速度は位置を, 加速度は速度を時間で微分することで得られることを示す. 微分について触れたことがない人はまずは微分法のページで簡単に微分を学んでいただきたい.

位置

物体の位置は座標原点から”どの方向“に”どれだけ離れているか“で指定できるので, ベクトルを用いて説明することになる.

なお, 『高校物理の備忘録』ではベクトルを太字を使って表す. 例えば, \( \vec{a} \)\( \boldsymbol{a} \) と表すことにする[2].

3次元空間内に置かれたある物体の位置ベクトル \( \boldsymbol{r}(t) \)\( \boldsymbol{r}(t)=\left(x, y, z\right) \) とする. ここで, \( \boldsymbol{r}(t) \) は位置ベクトル \( \boldsymbol{r} \) が時間の関数であることを意味している.

位置 \( \boldsymbol{r} \) は3次元直交座標系の単位ベクトル \( \boldsymbol{e}_{x}=(1, 0, 0) \) , \( \boldsymbol{e}_{y}=(0, 1, 0) \) , \( \boldsymbol{e}_{z}=(0, 0, 1) \) を使って次のように表すことができる. \[ \begin{aligned} \boldsymbol{r}(t) &= \left(x, y, z \right) \\ &= x \boldsymbol{e}_{x} + y \boldsymbol{e}_y + z\boldsymbol{e}_z \end{aligned} \]

速度

以下では簡単のため, 位置 \( \boldsymbol{r} \)\( x \) 成分について考える.

ある時刻 \( t = t_1 \) に位置 \( x(t_1) \) にいた物体が, 短い時間 \( \Delta t \) の間に \( x(t_1+\Delta t) \) へ移動したとする. その間の位置の変化の割合, すなわち時刻 \( t_1 \) と時刻 \( \left(t_1+\Delta t \right) \) の間の平均の速度 \( \overline{v_x} \)\[ \begin{aligned} \overline{v_x} & = \frac{x(t_1 + \Delta t)- x(t_1)}{ \left(t_1 + \Delta t \right)- t_1} \\ & = \frac{x(t_1 + \Delta t)- x(t)}{ \Delta t} \label{平均の速度} \end{aligned} \] となる.

次に, \( \Delta t \) が限りなく小さい極限を考える. なお, 極限についてはこのページを参照してほしい.

\( \Delta t \) が限りなくゼロに近づくとき, \[ v_x(t_1) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t_1 + \Delta t)- x(t_1)}{\Delta t} \label{瞬間の速度} \] を時刻 \( t_1 \) における瞬間の速度という. 通常, 速度といえば瞬間の速度を表す. そして, 瞬間の速度の引数 \( t_1 \)\( t \) に置き換えれば任意の時刻の速度 \( v_x(t) \) となる.

\( x \) 方向の速度 \( v_x \) を微分の定義式[3]と見比べると, 速度 \( v_x \) は位置 \( x(t) \) を時間 \( t \) で微分することで得られることがわかる. すなわち, \[ \begin{aligned} v_{x}(t) &= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t + \Delta t)- x(t)}{\Delta t} \\ & = \frac{d x(t) }{ d t} \end{aligned} \] が成立する.

以上の議論は \( \boldsymbol{r} \) の各成分について独立に成立し, 位置 \( \boldsymbol{r} \) が時間の関数 \( \boldsymbol{r} ≒\boldsymbol{r} (t) \) で与えられた場合の物体の速度 \( \boldsymbol{v}(t) \)\[ \begin{aligned} \boldsymbol{v}(t) &= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\boldsymbol{r}(t + \Delta t)- \boldsymbol{r}(t)}{\Delta t} \\ & = \frac{d \boldsymbol{r} (t) }{ d t} \end{aligned} \label{位置の微分の定義} \] と表すことができる.

物理学ではある物理量を時間で微分することが頻繁にあるので, 時間の微分を表す記号 \( \frac{d}{dt} \) を毎回書くのではなく, \( \cdot \) “(ドット)を物理量の上につけることで時間の微分を表す記法も用いられる. \[ \boldsymbol{v}(t)= \frac{d \boldsymbol{r}(t)}{ d t} = \dot{\boldsymbol{r}}(t) \label{位置の微分} \]

加速度

前述のとおり, “速度と加速度の関係”は”位置と速度の関係”と全く同じである. つまり, 加速度は速度を微分して得られる量であり, 速度の変化具合を表していることを議論する.

ある時刻 \( t \) で速度 \( \boldsymbol{v}(t) \) の物体が限りなく短い時間 \( \Delta t \) だけ経過し, 速度が \( \boldsymbol{v}(t+\Delta t) \) へ変化したとする. その変化の割合を加速度と言い, 次式で定義される. \[ \begin{aligned} \boldsymbol{a}(t) &= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\boldsymbol{v}(t + \Delta t)- \boldsymbol{v}(t)}{\Delta t} \\ &= \frac{d \boldsymbol{v} }{ dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{d \boldsymbol{r} }{ dt} \right) = \frac{d^2 \boldsymbol{r} }{ dt^2} \label{速度の微分の定義} \end{aligned} \]

ドットを使った記法では, 時間の2階微分を表すために “\( \ddot{ } \) ”(ツードット)が用いられる. \[ \boldsymbol{a}(t) = \frac{d \boldsymbol{v}(t)}{ d t} = \frac{d^2 \boldsymbol{r}(t)}{ d t^2} = \ddot{\boldsymbol{r}}(t) \quad . \label{速度の微分} \]

位置・速度・加速度と微分

物体の位置 \( \boldsymbol{r} \) が時間 \( t \) の関数 \( \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t) \) であるとき, 速度 \( \boldsymbol{v} \) は位置の時間微分で, 加速度 \( \boldsymbol{a} \) は速度の時間微分(=位置の2階時間微分)で求めることができる. \[ \begin{aligned} \boldsymbol{v} &= \frac{d \boldsymbol{r}}{dt} \\ \boldsymbol{a} &= \frac{d \boldsymbol{v}}{dt} = \frac{d^2 \boldsymbol{r}}{dt^2} \end{aligned} \]

物理量の時間微分を記号” \( \dot{ } \) “(ドット)で, 時間の2階微分を記号” \( \ddot{ } \) “(ツードット)で表す場合もある. \[ \begin{aligned} \boldsymbol{v} &= \dot{\boldsymbol{r}} \\ \boldsymbol{a} &= \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{r}} \end{aligned} \quad .\]

位置・速度・加速度と積分

これまでみてきたように,

  • 速度は位置の時間微分
  • 加速度は速度の時間微分
あった.

一方, 積分法を学んでもらえばわかるように微分と積分は逆演算のような関係にある. したがって,

  • 速度の時間積分は位置
  • 加速度の時間積分は速度
ということになる.

以下では簡単のために, 時刻 \( t=t_1 \) から \( t=t_2 \) までの1次元運動について考える.

加速度の時間積分

\( x \) 方向の加速度 \( a_x \) の積分を行うと, \[ \int_{t_1}^{t_2} a_x \ dt =\int_{t_1}^{t_2} \dot{ v }_x \ dt = \int_{t_1}^{t_2} \frac{d v_x}{dt} \ dt \]ここで, \( {v_x}_{1} = v_x(t_1), \quad {v_x}_{2} = v_x(t_2) \) とすると, \[ \begin{aligned} \int_{t_1}^{t_2} a_x \ dt & =\int_{t_1}^{t_2} \frac{d v_x}{dt} \ dt = \int_{{v_x}_{1}}^{{v_x}_{2}} \ d {v_x} \\ &= {v_x}_{2} – {v_x}_{1} \end{aligned} \] ただし途中で置換積分の考え方を用いた.

したがって, \( v_{x}(t_2) \)\( v_{x}(t_1) \) に対して \( t_1 \sim t_2 \) の間の加速度を時間で積分した量 \( \displaystyle{ \int_{t_1}^{t_2} a_x \ dt } \) を加える事でもとまり, 次式で表すことができる. \[ v_x(t_2) = v_x(t_1)+ \int_{t_1}^{t_2} a_x\ dt \]

速度の時間積分

加速度を時間積分することである時間内での速度の変化量を求めることが出来たのと同様に, 速度を積分することである時間内での位置の変化量を求めることが出来る. \[ \int_{t_1}^{t_2} v_x \ dt = \int_{t_1}^{t_2} \dot{x}(t)\ dt = \int_{t_1}^{t_2} \frac{dx}{dt} \ dt \] ここで, \( x_{1} = x(t_1), \quad x_{2} = x(t_2) \) とすると, \[ \begin{aligned} \int_{t_1}^{t_2} v_x \ dt &= \int_{t_{1} }^{t_{2}} \frac{dx}{dt}\ dt = \int_{x_{1} }^{x_{2}} \ dx \\ &= x_2 – x_1 \end{aligned} \]

したがって, \( x(t_2) \)\( x(t_1) \) に対して \( t_1 \sim t_2 \) の間の速度を時間で積分した量 \( \displaystyle{ \int_{t_1}^{t_2} v_x \ dt } \) を加える事でもとまり, 次式で表すことができる. \[ x(t_2)= x(t_1)+ \int_{t_1}^{t_2} v_x(t)\ dt \]

以上の議論を \( y \) 成分および \( z \) 成分についても適用して結論をまとめると, 位置・速度・加速は次のような関係にあることがわかる. \[ \begin{aligned} \boldsymbol{v}(t_2) &= \boldsymbol{v}(t_1)+ \int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{a}(t)\ dt \\ \boldsymbol{r}(t_2) &= \boldsymbol{r}(t_1)+ \int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{v}(t)\ dt \end{aligned} \] 一つ目の式は時刻 \( t=t_1 \sim t_2 \) の速度の変化は, その間の加速度によって引き起こされたことを意味しており, 二つ目の式は時刻 \( t=t_1 \sim t_2 \) の位置の変化は, その間の速度によって引き起こされたことを表している.

位置・速度・加速度と積分

時刻\( t=t_1 \sim t_2 \) の運動の変化について次式の積分関係が成立する.
速度 : \[ \boldsymbol{v}(t_2) = \boldsymbol{v}(t_1)+ \int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{a}(t)\ dt \] 位置 : \[ \boldsymbol{r}(t_2) = \boldsymbol{r}(t_1)+ \int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{v}(t)\ dt \]

等加速度直線運動

高校物理でよく仮定されるように, 時間 \( t=t_0 \sim T \) の間, 加速度が時間によらずに一定の値 \( a(t)= a \) であるような1次元の運動について考えてみよう. \[ \begin{aligned} \boldsymbol{r} &= \left(x, 0, 0\right)\notag \\ \boldsymbol{v} &= \left(v, 0, 0\right)\notag \\ \boldsymbol{a} &= \left(a, 0, 0\right)\notag \end{aligned} \]

そして, \( t=t_0 \) における初速度を \( v_0 = v(t_0) \) , 初期位置を \( x_0 = x(t_0) \) とする. まずは加速度を時間で積分することにより速度を求めることとする. \[ \begin{aligned} v(T) &= \int_{t_0}^{T} a \ dt + v_0 \\ & = \left[ a t \right]_{t_0}^{T} + v_0 \\ & = a(T – t_0)+ v_0 \end{aligned} \] 次に速度を時間で積分することで位置を求めることができる. \[ \begin{aligned} x(T) &= \int_{t_0}^{T} v(x) \ dt + x_0 \\ & = \int_{t_0}^{T} \left(a \left(t – t_0 \right)+ v_0 \right)\ dt + x_0 \\ &= \frac{1}{2}a\left(T – t_0 \right)^2 + v_0\left(T – t_0 \right)+ x_0 \quad . \end{aligned} \]

以上の議論をまとめると, 等加速度運動における速度と位置として, \[ \begin{aligned} v(t) &= a (t – t_0 ) + v_0 \\ x(t) &= \frac{1}{2}a (t -t_0)^2 + v_0 (t-t_0) + x_0 \end{aligned} \] という公式を得たことになる(時間を表す変数 \( T \)\( t \) に置き換えている). ここで, \( t_0 =0 \) とすれば, \[ \begin{aligned} v(t) &= a t + v_0 \\ x(t) &= \frac{1}{2}a t^2 + v_0 t + x_0 \end{aligned} \] となる.

この式は高校物理の教科書に載っている等加速度運動の公式そのものである. ただし, 高校物理の教科書では初期位置 \( x_0 \) は ( なぜか ) \( x_0=0 \) として書かれておらず, \( x \) が座標なのか, 変位(初期座標からの変化分)なのか判断がつきにくくなっている. \( x(t) \) は座標であり, \( \displaystyle{ \left( x(t)-x_0 \right) } \) が変位であるので誤解しないようにしていただきたい.

等加速度直線運動の公式

時刻 \( t=t_0 \) から時刻 \( t \) までの間の等加速度直線運動について次式が成立する. \[ \begin{aligned} \boldsymbol{v}(t) &= \boldsymbol{a} (t – t_0 ) + \boldsymbol{v}_0 \\ \boldsymbol{x}(t) &= \frac{1}{2} \boldsymbol{a} (t -t_0)^2 + \boldsymbol{v}_0 (t-t_0) + \boldsymbol{x}_0 \end{aligned} \] ただし, \( \boldsymbol{x}_0 \) および \( \boldsymbol{v}_0 \) はそれぞれ時刻 \( t=t_0 \) での位置(ベクトル)と初速度(ベクトル)を表している.

最終更新日
直交座標系 運動の3法則



補足    (↵ 本文へ)
  1. ここでいう”関係が同じ”ということは数学的な構造が同じという意味である.

  2. この表記方法は理学の書籍などでは一般的に用いられる. 特に物理学では文字の上に矢印以外の別の記号を書く機会も増えるのでこのような表記方法をとる.

  3. 関数 \( f(x) \) の導関数 \( f'(x) \) は次式で定義される. \[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{\Delta x} \] この操作を微分するというのであった.

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