回転座標系の運動方程式

慣性系に対してある軸周りに回転するような非慣性系における運動方程式がどのようにあらわされるのか, その一般論について議論する.

慣性系に対して等加速度直線運動を行うような座標系において現れる慣性力は単純なものであった(慣性力)が, 回転運動している座標系となると議論は幾分複雑になる. ここでは, 回転している座標系であらわれる遠心力, コリオリ力, オイラー力と呼ばれる慣性力の導出を行う.

まずは, 座標系がある軸周りに回転している, ということを表す角速度(ベクトル)を導入する. その後, 回転している系におけるベクトルの微分が角速度と外積とに関係していることを示す. これらの幾分面倒な計算のあと, 慣性系で成立する運動方程式から回転している系における(慣性力込の)運動方程式を導出する.

話を2次元回転座標系に限ったものについては2次元回転座標系でも議論しているので, そちらも参照して欲しい.

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回転座標系における単位ベクトルの時間微分
回転座標系におけるベクトルの時間微分
回転座標系の運動方程式

回転座標系におけるベクトルの時間微分

回転座標系における単位ベクトルの時間微分

回転座標の一般論を始めるにあたり, まずは補助的な定理を導いておこう. すなわち, ある回転軸周りで回転しているベクトルを考え, その時間変化はどのようにあらわされるのかを確認しておくことにする.

原点 \( O \) を通るようなある回転軸と, その軸周りに回転している系 \( S^{\prime} \) を考えよう. そして, この系 \( S^{\prime} \) に属している単位ベクトル \( \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \) の時間変化について考える.

なお, 以下の議論は, \( \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \) のみならず, \( \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \) , \( \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} \) のいずれにも全く同じ議論が成立するので, 代表として \( \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \) についてのみ考えることにする.

系 \( S^{\prime} \) が回転軸周りを単位時間あたり \( \omega\, [\mathrm{rad/s}] \) だけ回転しているとする. この回転方向と同じ向きに右ねじをまわしたときの右ねじの進行方向を向いた, 大きさが \( \omega \) の角速度(ベクトル)を記号 \( \boldsymbol{\omega} \) で定義しよう.

系 \( S^{\prime} \) が回転軸周りを角速度 \( \boldsymbol{\omega} \) で回転することにより, 始点を原点 \( O \) に合わせた \( \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \) の終点 \( P \) は回転軸と垂直な平面内で円運動を行うことになる.

この回転半径 \( \rho \) は, \( \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \) と回転軸との成す角を \( \theta \) とすると, \[\rho = \left| \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \right| \sin{\theta}\notag \] で与えられる.

時刻 \( t \) における \( \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \) を \( \boldsymbol{e}_{x^{\prime}}(t) \) , それから僅かな時間 \( \Delta t \) だけ経過したときの \( \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \) を \( \boldsymbol{e}_{x^{\prime}}(t+\Delta t) \) としよう. これらの向きは一致しているとは限らないが, その大きさは変わらず \[\left| \boldsymbol{e}_{x^{\prime}}(t) \right| = \left| \boldsymbol{e}_{x^{\prime}}(t+\Delta t) \right| = 1\notag \] を満たしている. また, 時間 \( \Delta t \) の間の点 \( P \) の変位を \( \Delta \boldsymbol{e}_{x^{\prime}}\left(t\right) \) とすると, \[\Delta \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} = \boldsymbol{e}_{x^{\prime}}(t+\Delta t) – \boldsymbol{e}_{x^{\prime}}(t) \label{deltaex}\] が成立している.

点 \( P \) は半径が \( \rho \) , 角速度の大きさが \( \omega \) の回転運動を行なっており, \( \Delta t \) が小さければ \( \omega \) は一定であるとみなすことができるので, \( \Delta t \) の間に点 \( P \) が円周上を移動した距離は \[\begin{aligned} \rho \omega \Delta t &= \left| \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \right| \sin{\theta} \omega \Delta t \\ &= \left| \boldsymbol{\omega} \right| \left| \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \right| \sin{\theta} \Delta t \end{aligned}\] である.

ここで, 一般に, 二つのベクトル \( \boldsymbol{A} \) , \( \boldsymbol{B} \) の外積で定義される量 \( \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} \) の大きさは, \( \boldsymbol{A} \) , \( \boldsymbol{B} \) のなす角を \( \theta \) としたときに \[\left| \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} \right| = \left| A \right| \left| \boldsymbol{B} \right| \sin{\theta}\notag \] で与えられることを考慮すると, \[\begin{aligned} \rho \omega \Delta t &= \left| \boldsymbol{\omega} \right| \left| \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \right| \sin{\theta} \Delta t\\ &= \left| \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \right| \Delta t \end{aligned}\] と書くことができる. ここで, 最右辺の絶対値の中の外積を \( \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \times \boldsymbol{\omega} \) でなく, \( \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \) と書いた理由は, \( \Delta \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \) の向きが \( \boldsymbol{\omega} \) に垂直で, かつ, 円の接線方向(角度の変化方向)に一致させるためである.

以上より, \( \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \) というのはその向き, 大きさまで含めて \[\Delta \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} = \left( \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \right) \Delta t \label{deltae}\] と書くことが出来る.

式\eqref{deltaex}に式\eqref{deltae}を代入すると, \[\begin{aligned} & \left( \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \right) \Delta t = \boldsymbol{e}_{x^{\prime}}(t+\Delta t) – \boldsymbol{e}_{x^{\prime}}(t) \\ \therefore \ & \frac{\boldsymbol{e}_{x^{\prime}}(t+\Delta t) – \boldsymbol{e}_{x^{\prime}}(t)}{\Delta t} = \left( \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \right) \end{aligned}\] となる. あとは \( \Delta t \to 0 \) の極限を考え, 微分の定義式を用いれば, 次式が成立していることがわかる. \[\begin{aligned} & \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\boldsymbol{e}_{x^{\prime}}(t+\Delta t) – \boldsymbol{e}_{x^{\prime}}(t)}{\Delta t} = \left( \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \right) \\ & \to \ \frac{d\boldsymbol{e}_{x^{\prime}}}{dt} = \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \quad . \end{aligned}\] この議論は \( \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \) , \( \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} \) についても同様に成立し, 回転している座標系の単位ベクトルと角速度ベクトル \( \boldsymbol{\omega} \) とは次式のような関係が成立していることがわかる. \[\begin{align} \frac{d\boldsymbol{e}_{x^{\prime}}}{dt} &= \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \label{divex} \\ \frac{d\boldsymbol{e}_{y^{\prime}}}{dt} &= \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \label{divey} \\ \frac{d\boldsymbol{e}_{z^{\prime}}}{dt} &= \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} \label{divez} \end{align}\]

回転座標系におけるベクトルの時間微分

慣性系 \( S \) に対して角速度(ベクトル) \( \boldsymbol{\omega} \) で回転しているような座標系 \( S^{\prime} \) に属する, 時間的に変動しているようなベクトル \( \boldsymbol{A}^{\prime} \) の時間微分がどのようになるのかを調べておこう.

いま, 系 \( S^{\prime} \) における互いに直交した3次元単位ベクトルを \( \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \) , \( \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \) , \( \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} \) とし, ベクトル \( A^{\prime} \) の各方向成分を \( A_{x^{\prime}} \) , \( A_{y^{\prime}} \) , \( A_{z^{\prime}} \) とすれば, \[\boldsymbol{A}^{\prime} = A_{x^{\prime}} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} + A_{y^{\prime}} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} + A_{z^{\prime}} \boldsymbol{e}_{z^{\prime}}\notag \] と表すことができ, \( \boldsymbol{A}^{\prime} \) の各成分 \( A_{x^{\prime}} \) , \( A_{y^{\prime}} \) , \( A_{z^{\prime}} \) は時間的に変化する量だとする.

ベクトル \( \boldsymbol{A}^{\prime} \) の時間微分 \( \frac{d\boldsymbol{A}^{\prime}}{dt} \) は, 成分及び単位ベクトルの両方が時間的に変化することを考慮して, \[\begin{aligned} \frac{d\boldsymbol{A}^{\prime}}{dt} &= \frac{d}{dt} \left( A_{x^{\prime}} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} + A_{y}^{\prime} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} + A_{z}^{\prime} \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} \right) \\ &= \frac{dA_{x^{\prime}}}{dt} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} + A_{x^{\prime}} \frac{d \boldsymbol{e}_{x^{\prime}}}{dt} \\ &+ \frac{dA_{y^{\prime}}}{dt} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} + A_{y^{\prime}} \frac{d \boldsymbol{e}_{y^{\prime}}}{dt} \\ &+ \frac{dA_{z^{\prime}}}{dt} \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} + A_{z^{\prime}} \frac{d \boldsymbol{e}_{z^{\prime}}}{dt} \\ &= \left( \frac{dA_{x^{\prime}}}{dt} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} + \frac{dA_{y^{\prime}}}{dt} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} + \frac{dA_{z^{\prime}}}{dt} \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} \right) \\ &+ \left( A_{x^{\prime}} \frac{d \boldsymbol{e}_{x^{\prime}}}{dt} + A_{y^{\prime}} \frac{d \boldsymbol{e}_{y^{\prime}}}{dt} + A_{z^{\prime}} \frac{d \boldsymbol{e}_{z^{\prime}}}{dt} \right) \end{aligned}\]

ここで, 最右辺第二項に対して単位ベクトルの時間微分(式\eqref{divex} \( \sim \) 式\eqref{divez})を用いると, \[\begin{aligned} & \left( A_{x^{\prime}} \frac{d \boldsymbol{e}_{x^{\prime}}}{dt} + A_{y^{\prime}} \frac{d \boldsymbol{e}_{y^{\prime}}}{dt} + A_{z^{\prime}} \frac{d \boldsymbol{e}_{z^{\prime}}}{dt} \right) \\ &= \left\{ A_{x^{\prime}} \left( \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \right) + A_{y^{\prime}} \left( \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \right) + A_{z^{\prime}} \left( \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} \right) \right\} \notag \\ & = \boldsymbol{\omega} \times \left( A_{x^{\prime}} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} + A_{y^{\prime}} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} + A_{z^{\prime}} \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} \right) \\ & = \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{A}^{\prime} \end{aligned}\] となるので, 系 \( S^{\prime} \) に属するベクトル \( \boldsymbol{A} \) の時間微分について, \[\begin{equation} \begin{aligned} \frac{d\boldsymbol{A}^{\prime}}{dt} &= \left( \frac{dA_{x^{\prime}}}{dt} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} + \frac{dA_{y^{\prime}}}{dt} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} + \frac{dA_{z^{\prime}}}{dt} \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} \right) \\ & + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{A}^{\prime} \end{aligned} \label{divSprime} \end{equation} \] が成立する.

回転座標系の運動方程式

慣性系 \( S \) で観測した質量 \( m \) の物体の位置 \( \boldsymbol{r} \) を \[\boldsymbol{r} = x \boldsymbol{e}_{x} + y \boldsymbol{e}_{y} + z \boldsymbol{e}_{z} \quad , \notag \] 慣性系と原点を共有し, 角速度 \( \omega \) で回転しているような座標系 \( S^{\prime} \) で観測した物体の位置 \( \boldsymbol{r}^{\prime} \) を \[\boldsymbol{r}^{\prime} = x^{\prime} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} + y^{\prime} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} + z^{\prime} \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} \quad , \notag \] また, \( S^{\prime} \) で観測した物体の速度 \( \boldsymbol{v}^{\prime} \) と加速度 \( \boldsymbol{a}^{\prime} \) を次のように定義しておこう. \[\begin{align} \boldsymbol{v}^{\prime} & \mathrel{\mathop:}= \frac{dx^{\prime}}{dt} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} + \frac{dy^{\prime}}{dt} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} + \frac{dz^{\prime}}{dt} \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} \label{vprime} \\ \boldsymbol{a}^{\prime} & \mathrel{\mathop:}= \frac{d^{2}x^{\prime}}{dt^{2}} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} + \frac{d^{2}y^{\prime}}{dt^{2}} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} + \frac{d^{2}z^{\prime}}{dt^{2}} \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} \quad . \label{apri} \\ &= \frac{dv_{x^{\prime}}}{dt} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} + \frac{dv_{y^{\prime}}}{dt} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} + \frac{dv_{z^{\prime}}}{dt} \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} \end{align}\] ここで, \( \boldsymbol{r} \) と \( \boldsymbol{r}^{\prime} \) は同じ位置を示しているので, \[\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}^{\prime}\notag \] が成立することに注意して欲しい.

物体に働く物理的な実体を持った合力を \( \boldsymbol{F} \) とすると, 慣性系では運動の法則により, 運動方程式 \[\frac{d^{2}\boldsymbol{r}}{dt^2} = \boldsymbol{F} \label{eomS} \] が成立する. この運動方程式\eqref{eomS}を \( \boldsymbol{r}^{\prime} \) を用いて記述した時にどうなっているかがわかれば座標系の回転に伴って生じる慣性力を知ることができる.

位置 \( \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}^{\prime} \) の時間微分は \( \boldsymbol{r}^{\prime} \) が系 \( S^{\prime} \) に属しているので, 回転座標系におけるベクトルの微分について成立する式\eqref{divSprime}及び \( \boldsymbol{v}^{\prime} \) (式\eqref{vprime})を用いると \[\begin{aligned} \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} &=\frac{d\boldsymbol{r}^{\prime}}{dt} \\ &= \left( \frac{dx^{\prime}}{dt} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} + \frac{dy^{\prime}}{dt} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} + \frac{dz^{\prime}}{dt} \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} \right) \\ &+ \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}^{\prime} \\ & = \boldsymbol{v}^{\prime} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}^{\prime} \end{aligned}\] \[\therefore \ \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} = \boldsymbol{v}^{\prime} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}^{\prime} \label{divrSprime}\]

位置 \( \boldsymbol{r}^{\prime} \) の2階時間微分は, 回転座標系におけるベクトルの微分について成立する式\eqref{divSprime}及び \( \boldsymbol{a}^{\prime} \) (式\eqref{divrSprime}) \[\begin{aligned} \frac{d^{2}\boldsymbol{r}}{dt^{2}} &=\frac{d}{dt} \left( \boldsymbol{v}^{\prime} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}^{\prime} \right) \\ &=\frac{d\boldsymbol{v}^{\prime}}{dt} + \left( \frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} \times \boldsymbol{r}^{\prime} + \boldsymbol{\omega} \times \frac{d\boldsymbol{r}^{\prime}}{dt} \right) \\ &= \left\{ \left( \frac{dv_{x^{\prime}}}{dt} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} + \frac{dv_{y^{\prime}}}{dt} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} + \frac{dv_{z^{\prime}}}{dt} \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} \right) + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}^{\prime} \right\} \\ &+ \frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} \times \boldsymbol{r}^{\prime} + \boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{v}^{\prime} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}^{\prime} \right) \\ &= \boldsymbol{a}^{\prime} + 2 \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}^{\prime} + \frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} \times \boldsymbol{r}^{\prime} + \boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}^{\prime} \right) \end{aligned}\] \[\frac{d^{2}\boldsymbol{r}^{\prime}}{dt^{2}} = \boldsymbol{a}^{\prime} + \boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}^{\prime} \right) + 2 \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}^{\prime} + \frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} \times \boldsymbol{r}^{\prime} \quad . \label{ddivrSprime}\]

以上で得られた式\eqref{ddivrSprime}を運動方程式\eqref{eomS}に代入することで, \[\begin{aligned} & m\frac{d\boldsymbol{r}^{2}}{dt^{2}} = \boldsymbol{F} \\ & \to m \left\{ \boldsymbol{a}^{\prime} + \boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}^{\prime} \right) + 2 \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}^{\prime} + \frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} \times \boldsymbol{r}^{\prime} \right\} = \boldsymbol{F} \\ & \to m \boldsymbol{a}^{\prime} = \boldsymbol{F} – \boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}^{\prime} \right) – 2 m\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}^{\prime} – m\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} \times \boldsymbol{r}^{\prime} \end{aligned}\] が成立する. 右辺第一項は物体に働く物理的実体を持つ力の合力, 第二項は角速度 \( \boldsymbol{\omega} \) に対して常に垂直に働く遠心力, 第三項は系 \( S^{\prime} \) で観測した時に速度を持つような物体に働くコリオリ力, 第四項は系 \( S^{\prime} \) の角速度が一定でない場合に働くオイラー力として知られている.

これらの遠心力, コリオリ力, オイラー力は座標系 \( S^{\prime} \) が慣性系に対して(回転)運動していることによってあらわれる慣性力である.

最終更新日
2次元回転座標系

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