回転座標系の運動方程式

回転座標系における単位ベクトルの時間微分

回転座標の一般論を始めるにあたり, まずは補助的な定理を導いておこう. すなわち, ある回転軸周りで回転しているベクトルを考え, その時間変化はどのようにあらわされるのかを確認しておくことにする.

原点 \( O \) を通るようなある回転軸と, その軸周りに回転している系 \( S^{\prime} \) を考えよう. そして, この系 \( S^{\prime} \) に属している単位ベクトル \( \vb*{e}_{x^{\prime}} \) の時間変化について考える.

なお, 以下の議論は, \( \vb*{e}_{x^{\prime}} \) のみならず, \( \vb*{e}_{y^{\prime}} \) , \( \vb*{e}_{z^{\prime}} \) のいずれにも全く同じ議論が成立するので, 代表として \( \vb*{e}_{x^{\prime}} \) についてのみ考えることにする.

系 \( S^{\prime} \) が回転軸周りを単位時間あたり \( \omega\, [\mathrm{rad/s}] \) だけ回転しているとする. この回転方向と同じ向きに右ねじをまわしたときの右ねじの進行方向を向いた, 大きさが \( \omega \) の角速度(ベクトル)を記号 \( \vb*{\omega} \) で定義しよう.

系 \( S^{\prime} \) が回転軸周りを角速度 \( \vb*{\omega} \) で回転することにより, 始点を原点 \( O \) に合わせた \( \vb*{e}_{x^{\prime}} \) の終点 \( P \) は回転軸と垂直な平面内で円運動を行うことになる.

この回転半径 \( \rho \) は, \( \vb*{e}_{x^{\prime}} \) と回転軸との成す角を \( \theta \) とすると, \[\rho = \abs{\vb*{e}_{x^{\prime}} } \sin{\theta}\notag \] で与えられる.

時刻 \( t \) における \( \vb*{e}_{x^{\prime}} \) を \( \vb*{e}_{x^{\prime}}(t) \) , それから僅かな時間 \( \Delta t \) だけ経過したときの \( \vb*{e}_{x^{\prime}} \) を \( \vb*{e}_{x^{\prime}}(t+\Delta t) \) としよう. これらの向きは一致しているとは限らないが, その大きさは変わらず \[\abs{\vb*{e}_{x^{\prime}}(t) } = \abs{\vb*{e}_{x^{\prime}}(t+\Delta t) } = 1\notag \] を満たしている. また, 時間 \( \Delta t \) の間の点 \( P \) の変位を \( \Delta \vb*{e}_{x^{\prime}}\qty( t ) \) とすると, \[\Delta \vb*{e}_{x^{\prime}} = \vb*{e}_{x^{\prime}}(t+\Delta t) – \vb*{e}_{x^{\prime}}(t) \label{deltaex}\] が成立している.

点 \( P \) は半径が \( \rho \) , 角速度の大きさが \( \omega \) の回転運動を行なっており, \( \Delta t \) が小さければ \( \omega \) は一定であるとみなすことができるので, \( \Delta t \) の間に点 \( P \) が円周上を移動した距離は \[\begin{aligned} \rho \omega \Delta t &= \abs{\vb*{e}_{x^{\prime}} } \sin{\theta} \omega \Delta t \\ &= \abs{\vb*{\omega} } \abs{\vb*{e}_{x^{\prime}} } \sin{\theta} \Delta t \end{aligned}\] である.

ここで, 一般に, 二つのベクトル \( \vb*{A} \) , \( \vb*{B} \) の外積で定義される量 \( \vb*{A} \times \vb*{B} \) の大きさは, \( \vb*{A} \) , \( \vb*{B} \) のなす角を \( \theta \) としたときに \[\abs{\vb*{A} \times \vb*{B} } = \abs{A } \abs{\vb*{B} } \sin{\theta}\notag \] で与えられることを考慮すると, \[\begin{aligned} \rho \omega \Delta t &= \abs{\vb*{\omega} } \abs{\vb*{e}_{x^{\prime}} } \sin{\theta} \Delta t\\ &= \abs{\vb*{\omega} \times \vb*{e}_{x^{\prime}} } \Delta t \end{aligned}\] と書くことができる. ここで, 最右辺の絶対値の中の外積を \( \vb*{e}_{x^{\prime}} \times \vb*{\omega} \) でなく, \( \vb*{\omega} \times \vb*{e}_{x^{\prime}} \) と書いた理由は, \( \Delta \vb*{e}_{x^{\prime}} \) の向きが \( \vb*{\omega} \) に垂直で, かつ, 円の接線方向(角度の変化方向)に一致させるためである.

以上より, \( \vb*{e}_{x^{\prime}} \) というのはその向き, 大きさまで含めて \[\Delta \vb*{e}_{x^{\prime}} = \qty( \vb*{\omega} \times \vb*{e}_{x^{\prime}} ) \Delta t \label{deltae}\] と書くことが出来る.

式\eqref{deltaex}に式\eqref{deltae}を代入すると, \[\begin{aligned} & \qty( \vb*{\omega} \times \vb*{e}_{x^{\prime}} ) \Delta t = \vb*{e}_{x^{\prime}}(t+\Delta t) – \vb*{e}_{x^{\prime}}(t) \\ \therefore \ & \frac{\vb*{e}_{x^{\prime}}(t+\Delta t) – \vb*{e}_{x^{\prime}}(t)}{\Delta t} = \qty( \vb*{\omega} \times \vb*{e}_{x^{\prime}} ) \end{aligned}\] となる. あとは \( \Delta t \to 0 \) の極限を考え, 微分の定義式を用いれば, 次式が成立していることがわかる. \[\begin{aligned} & \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vb*{e}_{x^{\prime}}(t+\Delta t) – \vb*{e}_{x^{\prime}}(t)}{\Delta t} = \qty( \vb*{\omega} \times \vb*{e}_{x^{\prime}} ) \\ & \to \ \dv{\vb*{e}_{x^{\prime}}}{t} = \vb*{\omega} \times \vb*{e}_{x^{\prime}} \quad . \end{aligned}\] この議論は \( \vb*{e}_{y^{\prime}} \) , \( \vb*{e}_{z^{\prime}} \) についても同様に成立し, 回転している座標系の単位ベクトルと角速度ベクトル \( \vb*{\omega} \) とは次式のような関係が成立していることがわかる. \[\begin{align} \dv{\vb*{e}_{x^{\prime}}}{t} &= \vb*{\omega} \times \vb*{e}_{x^{\prime}} \label{divex} \\ \dv{\vb*{e}_{y^{\prime}}}{t} &= \vb*{\omega} \times \vb*{e}_{y^{\prime}} \label{divey} \\ \dv{\vb*{e}_{z^{\prime}}}{t} &= \vb*{\omega} \times \vb*{e}_{z^{\prime}} \label{divez} \end{align}\]

回転座標系におけるベクトルの時間微分

慣性系 \( S \) に対して角速度(ベクトル) \( \vb*{\omega} \) で回転しているような座標系 \( S^{\prime} \) に属する, 時間的に変動しているようなベクトル \( \vb*{A}^{\prime} \) の時間微分がどのようになるのかを調べておこう.

いま, 系 \( S^{\prime} \) における互いに直交した3次元単位ベクトルを \( \vb*{e}_{x^{\prime}} \) , \( \vb*{e}_{y^{\prime}} \) , \( \vb*{e}_{z^{\prime}} \) とし, ベクトル \( A^{\prime} \) の各方向成分を \( A_{x^{\prime}} \) , \( A_{y^{\prime}} \) , \( A_{z^{\prime}} \) とすれば, \[\vb*{A}^{\prime} = A_{x^{\prime}} \vb*{e}_{x^{\prime}} + A_{y^{\prime}} \vb*{e}_{y^{\prime}} + A_{z^{\prime}} \vb*{e}_{z^{\prime}}\notag \] と表すことができ, \( \vb*{A}^{\prime} \) の各成分 \( A_{x^{\prime}} \) , \( A_{y^{\prime}} \) , \( A_{z^{\prime}} \) は時間的に変化する量だとする.

ベクトル \( \vb*{A}^{\prime} \) の時間微分 \( \dv{\vb*{A}^{\prime}}{t} \) は, 成分及び単位ベクトルの両方が時間的に変化することを考慮して, \[\begin{aligned} \dv{\vb*{A}^{\prime}}{t} &= \dv{t} \qty( A_{x^{\prime}} \vb*{e}_{x^{\prime}} + A_{y}^{\prime} \vb*{e}_{y^{\prime}} + A_{z}^{\prime} \vb*{e}_{z^{\prime}} ) \\ &= \dv{A_{x^{\prime}}}{t} \vb*{e}_{x^{\prime}} + A_{x^{\prime}} \dv{ \vb*{e}_{x^{\prime}}}{t} \\ &+ \dv{A_{y^{\prime}}}{t} \vb*{e}_{y^{\prime}} + A_{y^{\prime}} \dv{ \vb*{e}_{y^{\prime}}}{t} \\ &+ \dv{A_{z^{\prime}}}{t} \vb*{e}_{z^{\prime}} + A_{z^{\prime}} \dv{ \vb*{e}_{z^{\prime}}}{t} \\ &= \qty( \dv{A_{x^{\prime}}}{t} \vb*{e}_{x^{\prime}} + \dv{A_{y^{\prime}}}{t} \vb*{e}_{y^{\prime}} + \dv{A_{z^{\prime}}}{t} \vb*{e}_{z^{\prime}} ) \\ &+ \qty( A_{x^{\prime}} \dv{ \vb*{e}_{x^{\prime}}}{t} + A_{y^{\prime}} \dv{ \vb*{e}_{y^{\prime}}}{t} + A_{z^{\prime}} \dv{ \vb*{e}_{z^{\prime}}}{t} ) \end{aligned}\]

ここで, 最右辺第二項に対して単位ベクトルの時間微分(式\eqref{divex} \( \sim \) 式\eqref{divez})を用いると, \[\begin{aligned} & \qty( A_{x^{\prime}} \dv{ \vb*{e}_{x^{\prime}}}{t} + A_{y^{\prime}} \dv{ \vb*{e}_{y^{\prime}}}{t} + A_{z^{\prime}} \dv{ \vb*{e}_{z^{\prime}}}{t} ) \\ &= \left\{A_{x^{\prime}} \qty( \vb*{\omega} \times \vb*{e}_{x^{\prime}} ) + A_{y^{\prime}} \qty( \vb*{\omega} \times \vb*{e}_{y^{\prime}} ) + A_{z^{\prime}} \qty( \vb*{\omega} \times \vb*{e}_{z^{\prime}} ) \right\} \notag \\ & = \vb*{\omega} \times \qty( A_{x^{\prime}} \vb*{e}_{x^{\prime}} + A_{y^{\prime}} \vb*{e}_{y^{\prime}} + A_{z^{\prime}} \vb*{e}_{z^{\prime}} ) \\ & = \vb*{\omega} \times \vb*{A}^{\prime} \end{aligned}\] となるので, 系 \( S^{\prime} \) に属するベクトル \( \vb*{A} \) の時間微分について, \[\begin{equation} \begin{aligned} \dv{\vb*{A}^{\prime}}{t} &= \qty( \dv{A_{x^{\prime}}}{t} \vb*{e}_{x^{\prime}} + \dv{A_{y^{\prime}}}{t} \vb*{e}_{y^{\prime}} + \dv{A_{z^{\prime}}}{t} \vb*{e}_{z^{\prime}} ) \\ & + \vb*{\omega} \times \vb*{A}^{\prime} \end{aligned} \label{divSprime} \end{equation} \] が成立する.