力学的エネルギー保存則

実際問題として, 運動方程式から速度あるいは位置を求めることが必ずできるとは 限らない . というのも, 運動方程式によって得られた加速度が積分の困難な関数となる場合などが考えられるからである. そこで, 運動方程式を事前に数学的に変形しておくことで, 物体の運動を簡単に記述することが考えられた.

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運動エネルギーと仕事
保存力
重力は保存力の一種
位置エネルギー
力学的エネルギー保存則


運動エネルギーと仕事

時刻 \( t=t_1 \) から時刻 \( t=t_2 \) までの間に, 質量 \( m \) , 位置 \( \boldsymbol{r}(t)= \left(x , y , z \right) \) の物体に対して加えられている力を \( \boldsymbol{F} = \left(F_x , F_y , F_z \right) \) とする. この物体の \( x \) 方向の運動方程式は \[ m\frac{d^2x}{d^2t} = F_x \] である. 運動方程式の両辺に \( \displaystyle{ v= \frac{dx}{dt} } \) をかけた後で微小時間 \( dt \) による積分を行なう. \[ \int_{t_1}^{t_2} m\frac{d^2x}{d^2t} \frac{dx}{dt} \ dt= \int_{t_1}^{t_2} F_x \frac{dx}{dt} \ dt \] 左辺について, \[ \begin{aligned} m \int_{t_1}^{t_2} \frac{d^2x}{d^2t} \frac{dx}{dt} \ dt & = m \int_{t_1}^{t_2} \frac{d v }{dt} v \ dt \\ & = m \int_{t_1}^{t_2} v \ dv \\ & = \left[ \frac{1}{2} m v^2 \right]_{\frac{dx}{dt}(t_1)}^{\frac{dx}{dt}(t_2)} \end{aligned} \] となる. ここで途中 \( dt \) による積分が \( d v \) による積分に置き換わったことに注意してほしい. 右辺についても積分を実行すると, \[ \begin{aligned} \int_{t_1}^{t_2} F_x \frac{dx}{dt} \ dt = \int_{x(t_1)}^{x(t_2)} F_x \ dx \end{aligned}\] したがって, 最終的に次式を得る. \[ \frac{1}{2} m { v(t_2)}^2 – \frac{1}{2} m {v(t_1)}^2 = \int_{x(t_1)}^{x(t_2)} F_x \ dx \label{運動エネルギーと仕事のx成分}\] この議論は \( x , y , z \) 成分のそれぞれで成立する.

ここで, 3次元運動について 質量 \( m \) , 速度 \( \displaystyle{ \boldsymbol{v}(t) = \frac{d \boldsymbol{r} (t)}{dt} } \) の物体の 運動エネルギー \( K \) 及び, 力 \( F \)\( \boldsymbol{r}(t_1) \) から \( \boldsymbol{r}(t_2) \) までの間にした 仕事 \( W \) \[ K = \frac{1}{2}m { {\boldsymbol{v}}(t)}^2 \] \[ W(\boldsymbol{r}(t_1)\to \boldsymbol{r}(t_2))= \int_{\boldsymbol{r}(t_1)}^{\boldsymbol{r}(t_2)} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) \ d\boldsymbol{r} \label{Wの定義} \] と定義する. 先ほど計算した運動方程式の時間積分の結果を3次元に拡張すると, \[ K(t_2)- K(t_1)= W(\boldsymbol{r}(t_1)\to \boldsymbol{r}(t_2)) \label{KとW}\] と表すことができる. この式は, 時刻 \( t = t_1 \) から \( t = t_2 \) の間に生じた運動エネルギー \( K \) の変化は, 位置 \( \boldsymbol{r}(t_1) \) から \( \boldsymbol{r}(t_2) \) まで移動する間になされた仕事 \( W \) によって引き起こされた ことを意味している.

運動エネルギーと仕事

速度 \( \displaystyle{ \boldsymbol{v}(t) = \frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt} } \) の物体が持つ運動エネルギー \[ K = \frac{1}{2}m {\boldsymbol{v}}(t)^2 \]

位置 \( \boldsymbol{r}(t_1) \) から \( \boldsymbol{r}(t_2) \) に力 \( \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) \) を受けながら移動した時になされた仕事 \[ W = \int_{\boldsymbol{r}(t_1)}^{\boldsymbol{r}(t_2)} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) \ d\boldsymbol{r} \]

保存力

仕事 \( W \) が最初の位置座標と最後の位置座標のみで決まり, その経路に関係無いような力を保存力という .

下図に示すように, \( \boldsymbol{r}_{A} \) から \( \boldsymbol{r}_{B} \) まで物体を移動させる時に, 経路 \( C_1 \) の矢印の向きに沿って力が成す仕事を \( W_1 = \int_{C_1} F \ dx \) と表し, 経路 \( C_2 \) の矢印の向きに沿って力が成す仕事を \( W_2 = \int_{C_2} F \ dx \) と表す. 保存力の満たすべき条件とは \( W_1 \)\( W_2 \) が等しいことである. \[ W_1 = W_2 \quad \Longleftrightarrow \quad \int_{C_1} F \ dx = \int_{C_2} F \ dx \] したがって, \( C_1 \) の正の向きと \( C_2 \) の負の向きに沿ってグルっと一周し, 元の位置まで持ってくる間の仕事について次式が成立する. \[ \int_{C_1 – C_2} F \ dx = 0 \label{保存力の条件} \] これはある閉曲線をぐるりと一周した時に保存力がした仕事は \( 0 \) となることを意味している.

高校物理で出会う保存力とは重力, 電気力, バネの弾性力などである. これらの力は, 後に議論するように変位で積分することでポテンシャルエネルギー(位置エネルギー)を定義できる.

重力は保存力の一種

下図に描いたような曲線上を質量 \( m \) の物体が転がる時に重力のする仕事を求める.

重力を受けながらある曲線上を移動する物体

重力はこの経路上のいかなる場所でも \( m\boldsymbol{g} = \left(0, 0, -mg \right) \) である. 一方, 位置 \( \boldsymbol{r} \) から微小変位 \( d\boldsymbol{r} = ( dx , dy , dz ) \) だけ移動したとする. このときの微小な仕事 \( dW \)\[ \begin{aligned}dW &= m\boldsymbol{g} \cdot \ d\boldsymbol{r} = \left(0 , 0, – mg \right)\cdot \left(dx , dy , dz \right) \\ &=-mg \ dz \end{aligned}\] である. したがって, 高さ \( z_B \) の位置 \( \boldsymbol{r}_B \) から高さ位置 \( z_A \)\( \boldsymbol{r}_A \) まで移動する間に重力のする仕事は, \[ W = \int_{\boldsymbol{r}_B}^{\boldsymbol{r}_A} dW = \int_{\boldsymbol{r}_B}^{\boldsymbol{r}_A} m\boldsymbol{g} \cdot \ d\boldsymbol{r} = \int_{z_B}^{z_A} \left(-mg \right)\ dz % \notag \\ = mg(z_B -z_A) \label{重力が保存力の証明} % \notag \\ % \therefore \ W = mg(z_B -z_A)\] である. したがって, 重力のする仕事は途中の経路によらずに始点と終点の高さのみで決まる保存力である.

位置エネルギー (ポテンシャルエネルギー)

位置エネルギー \( U(x) \) とは 高さ \( x \) の位置 \( \boldsymbol{r} \) から原点 \( O \) へ移動する間に重力のする仕事である[1]. 先ほどの重力のする仕事の式において \( z_B = h , z_A = 0 \) とすれば, 原点 \( O \) に対して高さ \( h \) の位置エネルギー \( U(h) \) が求めることができる. \[ U(h)= mg\left(h -0 \right)= mgh\] 次に, 高さ \( x_1 \) の位置 \( \boldsymbol{r}(t_1) \) に対する高さ \( x_2 \) の位置 \( \boldsymbol{r}(t_2) \) の位置エネルギー \( U(\boldsymbol{r}(t_2); \boldsymbol{r}(t_1)) \) は, \[ \begin{aligned} & U(\boldsymbol{r}(t_2), \boldsymbol{r}(t_1)) = W_{\mbox{重力}}(\boldsymbol{r}(t_2)\to \boldsymbol{r}(t_1)) \\ &= \int_{\boldsymbol{r}(t_2)}^{\boldsymbol{r}(t_1)} \left(-m\boldsymbol{g} \right)\cdot d\boldsymbol{r} \\ &= \int_{\boldsymbol{r}(t_2)}^{0} \left(-m\boldsymbol{g} \right)\cdot d\boldsymbol{r} + \int_{0}^{\boldsymbol{r}(t_1)} \left(-m\boldsymbol{g} \right)\cdot d\boldsymbol{r} \\ & = \int_{\boldsymbol{r}(t_2)}^{0} \left(-m\boldsymbol{g} \right)\cdot d\boldsymbol{r} – \int_{\boldsymbol{r}(t_1)}^{0} \left(-m\boldsymbol{g} \right)\cdot d\boldsymbol{r} \\ &= mgx_2 – mgx_1 \\ & = U(\boldsymbol{r}(t_2))- U(\boldsymbol{r}(t_1)) \end{aligned}\] \[ \therefore \ U(\boldsymbol{r}(t_2), \boldsymbol{r}(t_1)) = U(\boldsymbol{r}(t_2))- U(\boldsymbol{r}(t_1)) \label{2点間の位置エネルギー}\] である. したがって, 2点間の位置エネルギーはそれぞれの点の位置エネルギーの差に等しい .

保存力と重力

仕事が最初の位置座標と最後の位置座標のみで決まり, その経路に関係無いような力を保存力という.

重力による仕事 \( W_{重力} \) は途中の経路によらずに始点と終点の高さのみで決まる \( \Rightarrow \) 重力は保存力の一種である.

基準点から高さ \( h \) の位置の重力による位置エネルギー \( U \)とは, \( h \) から基準点までに重力のする仕事 \( W_{重力} \) であり, \[ U = W_{重力} = mgh \]

高さ \( h_1 \) に対する高さ \( h_2 \) の重力による位置エネルギー \[ U = W_{重力} = mg \left( h_2 -h_1 \right) \]

力学的エネルギー保存則

本章の締めくくりに力学的エネルギー保存則を導こう.

\( \boldsymbol{F} \) を保存力 \( \boldsymbol{F}_{\substack{保存力}} \) と非保存力 \( \boldsymbol{F}_{\substack{非保存力}} \) に分ける. \( \boldsymbol{F} \) を仕事の定義式に代入すると, \[ \begin{aligned} W & = \int_{\boldsymbol{r}(t_1)}^{\boldsymbol{r}(t_2)} \boldsymbol{F} \ d\boldsymbol{r} \\ & = \int_{\boldsymbol{r}(t_1)}^{\boldsymbol{r}(t_2)} \left\{ \boldsymbol{F}_{\substack{保存力}} + \boldsymbol{F}_{\substack{非保存力}} \right\} \ d\boldsymbol{r} \notag \\ & = \int_{\boldsymbol{r}(t_1)}^{\boldsymbol{r}(t_2)} \boldsymbol{F}_{\substack{保存力}} \ d\boldsymbol{r} + \int_{\boldsymbol{r}(t_1)}^{\boldsymbol{r}(t_2)} \boldsymbol{F}_{\substack{非保存力}} \ d\boldsymbol{r} \notag \\ & = W_{\substack{保存力}}(\boldsymbol{r}(t_1)\to \boldsymbol{r}(t_2))+ W_{\substack{非保存力}}(\boldsymbol{r}(t_1)\to \boldsymbol{r}(t_2))\notag \\ & =- W_{\substack{保存力}}(\boldsymbol{r}(t_2)\to \boldsymbol{r}(t_1))+ W_{\substack{非保存力}}(\boldsymbol{r}(t_1)\to \boldsymbol{r}(t_2)) \\ & =- U_{\substack{保存力}}(\boldsymbol{r}(t_2); \boldsymbol{r}(t_1))+ W_{\substack{非保存力}}(\boldsymbol{r}(t_1)\to \boldsymbol{r}(t_2)) \end{aligned}\] ここで物体に作用している保存力が重力のみであるとすると, \[ \begin{aligned} &K(t_2)- K(t_1)+ U_{\substack{重力}}(\boldsymbol{r}(t_2);\boldsymbol{r}(t_1)) \\ & =- W_{\substack{重力}}(\boldsymbol{r}(t_2)\to \boldsymbol{r}(t_1)) + W_{\substack{非保存力}}(\boldsymbol{r}(t_1)\to \boldsymbol{r}(t_2))\\ &=- U_{\substack{重力}}(\boldsymbol{r}(t_2); \boldsymbol{r}(t_1))+ W_{\substack{非保存力}}(\boldsymbol{r}(t_1)\to \boldsymbol{r}(t_2)) \end{aligned}\] ここで, \( W_{\substack{重力}}(\boldsymbol{r}(t_2)\to \boldsymbol{r}(t_1)) \)\( \boldsymbol{r}_1 \) に対する \( \boldsymbol{r}_2 \) の位置エネルギー \( )U_{\substack{重力}}(\boldsymbol{r}(t_2); \boldsymbol{r}(t_1)) \) であることを用いた. 整理すると, \[ \begin{aligned} & K(t_2)- K(t_1) \\ &=- U_{\substack{保存力}}(\boldsymbol{r}(t_2); \boldsymbol{r}(t_1))+ W_{\substack{非保存力}}(\boldsymbol{r}(t_1)\to \boldsymbol{r}(t_2)) \\ & =- U_{\substack{重力}}(\boldsymbol{r}(t_2); \boldsymbol{r}(t_1))+ W_{\substack{非保存力}}(\boldsymbol{r}(t_1)\to \boldsymbol{r}(t_2)) \\ & =- \left\{ U(\boldsymbol{r}(t_2)) – U(\boldsymbol{r}(t_1)) \right\}+ W_{\substack{非保存力}}(\boldsymbol{r}(t_1)\to \boldsymbol{r}(t_2)) \end{aligned}\] \[ \left[ K(t_2)+ U(\boldsymbol{r}(t_2))\right] – \left[ K(t_1)+ U(\boldsymbol{r}(t_1))\right] = W_{\substack{非保存力}}(\boldsymbol{r}(t_1)\to \boldsymbol{r}(t_2))\] となる. 時刻 \( t \) において位置 \( \boldsymbol{r} \) に存在する物体の 力学的エネルギー \( E(t) \)\[ E(t)= K(t)+ U(\boldsymbol{r}(t))\] と定義すると, \[ E(t_2)- E(t_1)= W_{\substack{非保存力}}(\boldsymbol{r}(t_1)\to \boldsymbol{r}(t_2)) \label{力学的エネルギー保存則}\] となる. この式は力学的エネルギーの変化分は重力以外の力が仕事によって引き起こされることを意味する. 力学的エネルギー保存則とは, 保存力以外の力が仕事をしない時, 力学的エネルギーは保存する ことである.

力学的エネルギー保存則

力学的エネルギー : \[ E = K +U \] 物体が運動する間に保存力以外の力が仕事をしなければ力学的エネルギーは保存する.

始状態の力学的エネルギーを \( E_1 \) , 終状態の力学的エネルギーを \( E_2 \) とする. 物体が運動する間に保存力以外の力が仕事 \( W \) をおこなえば力学的エネルギーは運動の前後で変化し, 次式が成立する. \[ E_2 – E_1 = W \]

最終更新日
1次元における保存力とエネルギー保存則 重心



補足    (↵ 本文へ)
  1. 別の言い方をすれば, 位置エネルギー \( U (x) \) とは原点 \( O \) から高さ \( x \) の位置 \( r \) へ移動する間に重力のする仕事の逆符号の値である.

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