固定標的との2次元弾性衝突

衝突現象を重心系で考えることにより, 実験室系で得られることと同じ結論を幾何学的に導くことができる.

固定標的との弾性衝突ではぶつかる2物体の質量比に依存した散乱角度の制限が存在する.

実験室系において, 速度 \( \boldsymbol{v}_{1} \) で運動している質量 \( m_{1} \) の質点(物体1)を, 静止している質量 \( m_{2} \) の質点(物体2)に衝突させることを考える. そして, 衝突後の物体1, 物体2の速度がそれぞれ \( \boldsymbol{v}_{1}^{\prime} \) , \( \boldsymbol{v}_{2}^{\prime} \) になったとする.

ただし, 両物体の距離が十分離れていれば物体間に相互作用はなく, 接触するごく短い間にのみ相互作用があったとする. また, 衝突は弾性的であり, 衝突によるエネルギー損失がなかったとしよう.

実験室系において, \( \boldsymbol{v}_{1} \) と \( \boldsymbol{v}_{1}^{\prime} \) のなす角を \( \theta_{1} \) , \( \boldsymbol{v}_{1} \) と \( \boldsymbol{v}_{2}^{\prime} \) のなす角を \( \theta_{2} \) としよう. すると, この問題は \( m_{1} \) , \( m_{2} \) , \( v_{1} \) , \( v_{1}^{\prime} \) , \( v_{2}^{\prime} \) , \( \theta_{1} \) , \( \theta_{2} \) という7つの物理量を含んだ問題となる.

衝突前の物理量 \( m_{1} \) , \( m_{2} \) , \( v_{1} \) の3つがわかっているとしても, 衝突後の各粒子の運動を完全に記述するには4つの物理量 \( v_{1}^{\prime} \) , \( v_{2}^{\prime} \) , \( \theta_{1} \) , \( \theta_{2} \) を決定するために4つの独立な方程式を立式する必要がある.

一方, 我々が使用可能な保存則は運動量保存則力学的エネルギー保存則である. 2次元衝突における運動量保存則では, \( \boldsymbol{v}_{1} \) に平行な方向の運動量保存則と \( \boldsymbol{v}_{1} \) に垂直な方向の運動量保存則の2つの式を立式することができる. そして, 力学的エネルギー保存則をあわせた3つの式を我々は使用可能である[1].

したがって, 衝突後の両物体の運動を完全に記述するには衝突後の物理量のうちの少なくとも一つの値を測定によって確定させておく必要がある. そこで, 以下では物体2の散乱角度 \( \theta_{2} \) の値がわかったとして, \( v_{1}^{\prime} \) , \( v_{2}^{\prime} \) , \( \theta_{1} \) との間に成り立つ関係式を調べるなどすることにしよう.

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固定標的との2次元弾性衝突(実験室系)
固定標的との2次元弾性衝突(重心系)


固定標的との2次元弾性衝突(実験室系)

2物体の2次元弾性衝突を実験室系の立場で解析してみよう.

物体1と物体2とを系とみなせば, 物体1と物体2との衝突では系の全運動量は変化せずに保存する. \[m_{1} \boldsymbol{v}_{1} = m_{1} \boldsymbol{v}_{1}^{\prime} + m_{2} \boldsymbol{v}_{2}^{\prime} \quad . \label{LabMCvec}\] これは次のように, 入射速度 \( \boldsymbol{v}_{1} \) に平行な成分と, \( \boldsymbol{v}_{1} \) に垂直な成分とに分解して書いてもよい. \[\begin{align} m_{1} v_{1} &= m_{1} v_{1}^{\prime} \cos{\theta_{1}} + m_{2} v_{2}^{\prime}\cos{\theta_{2}} \label{LabMC1} \\ 0 &= m_{1} v_{1}^{\prime} \sin{\theta_{1}} – m_{2} v_{2}^{\prime} \sin{\theta_{2}} \label{LabMC2} \end{align}\] ただし, 以下では \( 0 < \theta_{1} < \pi \) とする. この条件と運動量保存則(式\eqref{LabMC2})より \( 0 < \theta_{2} < \pi \) であることが要求される.

物体2の散乱角度 \( \theta_{2} \) については他にも制約がある. というのも, 物体2は物体1との衝突による力積によって運動量を獲得する. したがって, 物体2が運動する方向は物体2が衝突時にうける撃力の方向に制限されるので, \( \theta_{2} \) が \( \frac{\pi}{2} \) を越えることはないとする.

また, 弾性衝突では系の運動エネルギーは変化しないので, 衝突前後の力学的エネルギー保存則として次式が得られる. \[\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2} = \frac{1}{2}m_{1}{v_{1}^{\prime}}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}{v_{2}^{\prime}}^{2} \quad . \label{LabEC}\]

衝突後の散乱方向に対する制限

まずは, 運動量保存則(式\eqref{LabMCvec})とエネルギー保存則(式\eqref{LabEC})を用いて, \( \boldsymbol{v}_{1}^{\prime} \) と \( \boldsymbol{v}_{2}^{\prime} \) のなす角 \( \left( \theta_{1}+\theta_{2} \right) \) について得られる情報を確認しておこう.

式\eqref{LabMCvec}の両辺を2乗した式 \[m_{1}^{2} v_{1}^{2} = m_{1}^{2} {v_{1}^{\prime}}^{2} + m_{2}^{2} {v_{2}^{\prime}}^{2} + 2 m_{1} m_{2} \boldsymbol{v}_{1}^{\prime} \cdot \boldsymbol{v}_{2}^{\prime} \notag\] と, 式\eqref{LabEC}の両辺に \( 2m_{1} \) を乗じた式 \[m_{1}^{2}v_{1}^{2} = m_{1}^{2}{v_{1}^{\prime}}^{2} + m_{1}m_{2}{v_{2}^{\prime}}^{2} \notag\] との差をとることで, 次式を得る. \[\boldsymbol{v}_{1}^{\prime} \cdot \boldsymbol{v}_{2}^{\prime} = \frac{1}{2} \left( 1 – \frac{m_{2}}{m_{1}} \right) {v_{2}^{\prime}}^{2} \quad . \notag\] したがって, \( m_{1} \) と \( m_{2} \) の大小関係に応じて \( \boldsymbol{v}_{1}^{\prime} \cdot \boldsymbol{v}_{2}^{\prime} \) の符号が決定されることになる.

\( m_{1} > m_{2} \) のとき

\( m_{1} > m_{2} \) のとき, つまり, 固定された標的の質量の値よりも大きな質量を持つ物体を衝突させたときは \( \boldsymbol{v}_{1}^{\prime} \cdot \boldsymbol{v}_{2}^{\prime} > 0 \) となる. これは \( \boldsymbol{v}_{1}^{\prime} \) と \( \boldsymbol{v}_{2}^{\prime} \) の成す角が鋭角であることを意味している.

このとき, \( 0< \theta_{1} < \pi \) , \( 0 < \theta_{2} < \frac{\pi}{2} \) の \( \theta_{1} \) , \( \theta_{2} \) について \( 0 < \theta_{1} + \theta_{2} < \frac{\pi}{2} \) が成立するので, 衝突後の物体は両方とも前方方向に向けて運動することになる.

\( m_{1} = m_{2} \) のとき

\( m_{1} = m_{2} \) のとき, つまり, 固定された標的と同じ質量を持つ物体を衝突させたときは \( \boldsymbol{v}_{1}^{\prime} \cdot \boldsymbol{v}_{2}^{\prime} = 0 \) となる. これは \( \boldsymbol{v}_{1}^{\prime} \) と \( \boldsymbol{v}_{2}^{\prime} \) の成す角が直交していることを意味している.

このとき, \( 0< \theta_{1} < \pi \) , \( 0 < \theta_{2} < \frac{\pi}{2} \) の \( \theta_{1} \) , \( \theta_{2} \) について \( \theta_{1} + \theta_{2} = \frac{\pi}{2} \) が成立するので, 衝突後の物体は両方とも前方方向に向かって, 互いに直交する向きへと運動することになる.

\( m_{1} < m_{2} \) のとき

\( m_{1} < m_{2} \) のとき, つまり, 固定された標的の質量よりも小さな質量を持つ物体を衝突させたときは \( \boldsymbol{v}_{1}^{\prime} \cdot \boldsymbol{v}_{2}^{\prime} < 0 \) となる. これは \( \boldsymbol{v}_{1}^{\prime} \) と \( \boldsymbol{v}_{2}^{\prime} \) の成す角が鈍角となることを意味している.


引き続き, 物体1の散乱角度 \( \theta_{1} \) の制限について議論しよう.

運動量保存則の式\eqref{LabMCvec}において, \( m_{1}\boldsymbol{v}_{1}^{\prime} \) を左辺に移行してから両辺を2乗して得られる式 \[m_{1}^{2}v_{1}^{2} + m_{1}^{2}{v_{1}^{\prime}}^{2} – 2 m_{1}^{2}v_{1}v_{1}^{\prime}\cos{\theta_{1}} = m_{2}^{2}{v_{2}^{\prime}}^{2} \notag\] と, エネルギー保存則の式\eqref{LabEC}に \( 2m_{2} \) を乗じた式 \[m_{1}m_{2}v_{1}^{2} = m_{1}m_{2}{v_{1}^{\prime}}^{2} + m_{2}^{2}{v_{2}^{\prime}}^{2} \notag\] との差をとると, 次式を得る. \[\left( m_{1} + m_{2} \right) {v_{1}^{\prime}}^{2} – 2 m_{1} v_{1} \cos{\theta_{1}} \cdot v_{1}^{\prime} + \left( m_{1} – m_{2} \right) v_{1}^{2} = 0 \quad . \notag\] この式を \( v_{1}^{\prime} \) についての2次方程式とみなし, \( v_{1}^{\prime} \) が実数解を持つような範囲を求めよう.

\( v_{1}^{\prime} \) が実数解を持つには上式の判別式が \( 0 \) 以上である必要があるので, \[\begin{aligned} & \left( m_{1} v_{1} \cos{\theta_{1}} \right)^{2} – \left( m_{1} + m_{2} \right)\left( m_{1} – m_{2} \right)v_{1}^{2} \ge 0 \notag \\ & \to \ \left( \frac{m_{2}}{m_{1}} \right)^{2} \ge 1- \cos^{2}{\theta_{1}} = \sin^{2}{\theta_{1}} \notag \\ & \therefore \ 0 < \sin{\theta_{1}} \le \frac{m_{2}}{m_{1}} \notag \end{aligned}\] したがって, \( m_{1} \ge m_{2} \) の場合には, \[0 < \sin{\theta_{1}} \le \frac{m_{2}}{m_{1}} \notag\] となり, 等号成立条件は \( m_{1} = m_{2} \) である. これは, 散乱角度がある範囲に制限されており, \( \theta_{1} \) の最大値が \( m_{1} \) と \( m_{2} \) の質量比で決まることを意味している.

また, \( m_{1} < m_{2} \) の場合には, \[0 < \sin{\theta_{1}} \le 1 \notag\] となる. これは, \( \theta_{1} \) が \( 0 \) から \( \pi \) までの全ての角度への散乱が可能であることを意味している.

諸関係式の導出

\( \theta_{1} \) の決定

\( \theta_{2} \) の値がわかっているとき, \( \theta_{1} \) は次式で与えられる. \[ \tan{\theta_{1}} = \frac{ m_{2}\sin{\left(2\theta_{2}\right)}}{ m_{1} – m_{2}\cos{\left( 2\theta_{2}\right)}} \quad . \label{LabTan2} \]

\( \boldsymbol{v}_{1} \) に平行な方向の運動量保存則(式\eqref{LabMC2})より, 次式が成立する. \[v_{2}^{\prime} = \frac{m_{1}}{m_{2}}\frac{\sin{\theta_{1}}}{\sin{\theta_{2}}} v_{1}^{\prime} \quad . \notag\] この \( v_{2}^{\prime} \) を \( \boldsymbol{v}_{1} \) に垂直な方向の運動量保存則(式\eqref{LabMC1})に代入すると, \[\begin{aligned} m_{1}v_{1} &= m_{1} v_{1}^{\prime}\cos{\theta_{1}} + m_{1}v_{1}^{\prime} \frac{\sin{\theta_{1}}}{\tan{\theta_{2}}} \notag \\ \to \ v_{1} &= \left( \cos{\theta_{1}} + \frac{\sin{\theta_{1}}}{\tan{\theta_{2}}} \right) v_{1}^{\prime} \notag \end{aligned}\] となる. \( v_{1} \) と \( v_{2}^{\prime} \) を \( v_{1}^{\prime} \) で表すことができたので, 力学的エネルギー保存則(式\eqref{LabEC})より, \[\begin{aligned} & \frac{1}{2}m_{1} \left( \cos{\theta_{1}} + \frac{\sin{\theta_{1}}}{\tan{\theta_{2}}} \right)^{2} {v_{1}^{\prime}}^{2} = \frac{1}{2}m_{1}{v_{1}^{\prime}}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\frac{m_{1}^{2}}{m_{2}^{2}}\frac{\sin^{2}{\theta_{1}}}{\sin^{2}{\theta_{2}}}{v_{1}^{\prime}}^{2} \notag \\ & \to \ \left( \cos{\theta_{1}} + \frac{\sin{\theta_{1}}}{\tan{\theta_{2}}} \right)^{2} = 1 + \frac{m_{1}}{m_{2}}\frac{\sin^{2}{\theta_{1}}}{\sin^{2}{\theta_{2}}} \notag \\ & \to \ \left( 1 + \frac{\tan{\theta_{1}}}{\tan{\theta_{2}}} \right)^{2} = \frac{1}{\cos^{2}{\theta_{1}}} + \frac{m_{1}}{m_{2}}\frac{\tan^{2}{\theta_{1}}}{\sin^{2}{\theta_{2}}} \notag \\ & \to \ 1 + 2\frac{\tan{\theta_{1}}}{\tan{\theta_{2}}} + \frac{\tan^{2}{\theta_{1}}}{\tan^{2}{\theta_{2}}} = \frac{1}{\cos^{2}{\theta_{1}}} + \frac{m_{1}}{m_{2}}\frac{\tan^{2}{\theta_{1}}}{\sin^{2}{\theta_{2}}} \notag \\ & \to \ \tan^{2}{\theta_{1}} \left( 1 – \frac{1}{\tan^{2}{\theta_{2}}} + \frac{m_{1}}{m_{2}}\frac{1}{\sin^{2}{\theta_{2}}} \right) = \frac{2}{\tan{\theta_{2}}}\tan{\theta_{1}} \notag \end{aligned}\] を得る. 最後の式変形では三角関数について成立する次式を用いた. \[\frac{1}{\cos^{2}{\theta_{1}}} – 1 = \tan^{2}{\theta_{1}} \quad . \notag\] したがって, \( \tan{\theta_{1}} \) の \( \tan{\theta_{1}}\neq 0 \) の解を \( \theta_{2} \) を用いて次式のように表すことができる. \[\begin{aligned} \tan{\theta_{1}} &= \frac{\frac{2}{\tan{\theta_{2}}}}{1 – \frac{1}{\tan^{2}{\theta_{2}}} + \frac{m_{1}}{m_{2}}\frac{1}{\sin^{2}{\theta_{2}}}} \notag \\ &= \frac{ 2 \sin{\theta_{2}}\cos{\theta_{2}}}{\sin^{2}{\theta_{2}} – \cos^{2}{\theta_{2}} + \frac{m_{1}}{m_{2}} } \notag \\ &= \frac{ \sin{\left(2\theta_{2}\right)}}{ \frac{m_{1}}{m_{2}} – \cos{\left( 2\theta_{2}\right)}} \notag \\ \therefore \ \tan{\theta_{1}} &= \frac{ m_{2}\sin{\left(2\theta_{2}\right)}}{ m_{1} – m_{2}\cos{\left( 2\theta_{2}\right)}} \quad . \notag \end{aligned}\]

\( v_{2}^{\prime} \) の決定

\( \theta_{2} \) の値がわかっているとき, \( v_{2}^{\prime} \) は次式で与えられる. \[ v_{2}^{\prime} = \frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}} v_{1} \cos{\theta_{2}} \label{Labv2prime} \]

式\eqref{LabMC1} \( \times \sin{\theta_{1}} \) から式\eqref{LabMC2} \( \times \cos{\theta_{1}} \) を引くと, \[\begin{aligned} & m_{1} v_{1} \sin{\theta_{1}}= m_{2} v_{2}^{\prime} \left( \sin{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}} +\cos{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}} \right) \notag \\ \to \ & v_{2}^{\prime} = \frac{m_{1}}{m_{2}} \frac{v_{1} }{\cos{\theta_{2}} +\frac{\sin{\theta_{2}}}{\tan{\theta_{1}}}} \notag \end{aligned}\] となる. ここで, \[\begin{aligned} \tan{\theta_{1}} &= \frac{ m_{2}\sin{\left(2\theta_{2}\right)}}{ m_{1} – m_{2}\cos{\left( 2\theta_{2}\right)}} \notag \\ \iff \ \frac{1}{\tan{\theta_{1}} } &= \frac{ m_{1} – m_{2}\cos{\left( 2\theta_{2}\right)}}{ m_{2}\sin{\left(2\theta_{2}\right)}} \notag \end{aligned}\] を代入すると, \[\begin{aligned} v_{2}^{\prime} &= \frac{m_{1}}{m_{2}} \frac{v_{1} }{\cos{\theta_{2}} +\sin{\theta_{2}} \frac{ m_{1} – m_{2}\cos{\left( 2\theta_{2}\right)}}{ m_{2}\sin{\left(2\theta_{2}\right)}} } \notag \\ &=\frac{ m_{1}v_{1}\sin{\left(2\theta_{2}\right)} }{ m_{2}\sin{\left(2\theta_{2}\right)} \cos{\theta_{2}} +\sin{\theta_{2}} \left( m_{1} – m_{2}\cos{\left( 2\theta_{2}\right)} \right) } \notag \\ &=\frac{ 2m_{1}v_{1}\sin{\theta_{2}}\cos{\theta_{2}} }{ 2 m_{2}\sin{\theta_{2}}\cos^{2}{\theta_{2}} + m_{1} \sin{\theta_{2}} – m_{2} \sin{\theta_{2}} \cos^{2}{\theta_{2}} + m_{2} \sin^{3}{\theta_{2}} } \notag \\ \therefore \ v_{2}^{\prime} &= \frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}} v_{1} \cos{\theta_{2}} \notag \end{aligned}\]

これにより, 2次元的な衝突において \( \theta_{2} \) 方向に散乱した物質2が受け取るエネルギーを知ることができる. 衝突後の物体2の運動エネルギーは \[\begin{aligned} \frac{1}{2}m_{2}{v_{2}^{\prime}}^{2} &= \frac{1}{2}\frac{4m_{1}^{2}m_{2}}{\left( m_{1}+m_{2}\right)^{2}}v_{1}^{2}\cos^{2}{\theta_{2}} \notag \\ &= \frac{4m_{1}m_{2}}{\left( m_{1}+m_{2}\right)^{2}} \cos^{2}{\theta_{2}} \cdot \left( \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}\right) \quad . \notag \end{aligned}\] となる. 2体系の全質量 \( M=m_{1}+m_{2} \) と換算質量 \( \mu=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \) をもちいると, 入射物体1がはじめに持っていたエネルギーの \( \frac{4m_{1}m_{2}}{\left( m_{1}+m_{2}\right)^{2}} \cos^{2}{\theta_{2}} = 4 \frac{\mu}{M} \cos^{2}{\theta_{2}} \) 倍のエネルギーを物体2は獲得することになる. これは, \( \theta_{2}=0 \) のとき – 両物体の散乱が1次元であるとき – に物体2が獲得するエネルギーが最大であることを示している.

\( v_{1}^{\prime} \) の決定

\( \theta_{2} \) の値がわかっているとき, \( v_{1}^{\prime} \) は次式で与えられる. \[ v_{1}^{\prime} = \frac{\sqrt{ m_{1}^{2} – 2 m_{1}m_{2}\cos{\left( 2\theta_{2} \right)} +m_{2}^{2}}}{ m_{1}+m_{2} }v_{1} \quad . \label{Labv1prime} \]

\( \boldsymbol{v} \) と垂直な方向の運動量保存則(式\eqref{LabMC2})より, 次式が成立する. \[\begin{aligned} v_{1}^{\prime} &= \frac{m_{2}}{m_{1}} \frac{\sin{\theta_{2}}}{\sin{\theta_{1}}} v_{2}^{\prime} \notag \\ &= \frac{m_{2}}{m_{1}} \frac{\sin{\theta_{2}}}{\sin{\theta_{1}}} \frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}} v_{1} \cos{\theta_{2}} \notag \\ \therefore \ v_{1}^{\prime} &= \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v_{1} \frac{\sin{ \left( 2 \theta_{2} \right)} }{\sin{\theta_{1}}} \notag \end{aligned}\] ここで, \( \sin{\theta_{1}} \) は式\eqref{LabTan2}より求めることができる. 式\eqref{LabTan2}を満たすような最も単純な直角三角形を下図に示した.

この三角形から \( \sin{\theta_{1}} \) は次式となる. \[\begin{aligned} \sin{\theta_{1}} &= \frac{m_{2}\sin{\left(2\theta_{2}\right)} }{\sqrt{\left\{ m_{1}-m_{2}\cos{\left(2\theta_{2}\right)}\right\}^{2} + \left\{m_{2}\sin{\left(2\theta_{2}\right)} \right\}^{2}}} \notag \\ &= \frac{m_{2}\sin{\left(2\theta_{2}\right)} }{\sqrt{ m_{1}^{2} – 2 m_{1}m_{2}\cos{\left( 2\theta_{2} \right)} +m_{2}^{2}}} \notag \end{aligned}\] したがって, \[ v_{1}^{\prime} = \frac{\sqrt{ m_{1}^{2} – 2 m_{1}m_{2}\cos{\left( 2\theta_{2} \right)} +m_{2}^{2}}}{ m_{1}+m_{2} }v_{1} \notag \]

固定標的との2次元弾性衝突(重心系)

全く同じ問題を重心系の立場で解析してみよう.

実験室系では幾分煩雑な計算で求めなくてはならない量であっても, 重心系では各速度ベクトルを図示することで幾何学的な問題として扱えることを議論しよう.

重心系に移行するために2体系の重心を求めておこう. \[\begin{aligned} \boldsymbol{v}_{G} &= \frac{m_{1}\boldsymbol{v}_{1} + m_{2} \boldsymbol{0}}{m_{1}+m_{2}} \notag \\ &= \frac{m_{1} }{m_{1}+m_{2}} \boldsymbol{v}_{1} \notag \end{aligned}\] 衝突前の物体1, 物体2の速度を重心系で観測したものを \( \boldsymbol{u}_{1} \) , \( \boldsymbol{u}_{2} \) とすると, \[\begin{aligned} \boldsymbol{u}_{1} &= \boldsymbol{v}_{1} – \boldsymbol{v}_{G} \notag \\ &= \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \boldsymbol{v}_{1} = \frac{m_{2}}{m_{1}} \boldsymbol{v}_{G} \notag \\ \boldsymbol{u}_{2} &= \boldsymbol{0}- \boldsymbol{v}_{G} \notag \\ &= -\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \boldsymbol{v}_{1} \notag \end{aligned}\] である.

さて, 衝突後の物体1, 物体2の速度が重心系で \( \boldsymbol{u}_{1}^{\prime} \) , \( \boldsymbol{u}_{2}^{\prime} \) になったとすると, 衝突前後の運動量保存則により, \[m_{1}\boldsymbol{u}_{1} + m_{2}\boldsymbol{u}_{2} = m_{1}\boldsymbol{u}_{1}^{\prime} + m_{2}\boldsymbol{u}_{2}^{\prime} \label{CMMC}\] が成立する.

また, 弾性衝突であることから衝突前後でエネルギーは失われないので, エネルギー保存則 \[\frac{1}{2}m_{1}u_{1}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}u_{2}^{2} = \frac{1}{2}m_{1}{u_{1}^{\prime}}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}{u_{2}^{\prime}}^{2} \notag\] が成立する. これらを解くことで, \( u_{1}^{\prime}=u_{1} \) , \( u_{2}^{\prime}=u_{2} \) が成立することがわかる.

諸関係式の導出

実験室系で観測した, 衝突後の物体1の速度ベクトル \( \boldsymbol{v}_{1}^{\prime} \) は重心系で見た衝突後の物体1の速度ベクトル \( \boldsymbol{u}_{1}^{\prime} \) と \[\boldsymbol{v}_{1}^{\prime} = \boldsymbol{u}_{1}^{\prime} + \boldsymbol{v}_{G} \notag\] という関係にある.

ここで, \( \boldsymbol{v}_{G} \) , \( \boldsymbol{v}_{1} \) , \( \boldsymbol{u}_{1} \) は全て平行であることに注目しよう. すると, \( \boldsymbol{u}_{1}^{\prime} \) と \( \boldsymbol{v}_{G} \) のなす角 \( \phi_{1} \) は重心系での物体1の散乱角に等しく, \( \boldsymbol{v}_{1}^{\prime} \) と \( \boldsymbol{v}_{G} \) のなす角 \( \theta_{1} \) は実験室系での物体1の散乱角に等しいので下図のような三角形を描くことができる.

\( \theta_{1} \) の決定

上図から, 重心系で観測した物体1の散乱角度 \( \phi_{1} \) と, 実験室系で観測した物体1の散乱角度 \( \theta_{1} \) との関係を見出すことができる. \[\tan{\theta_{1}} = \frac{u_{1}^{\prime} \sin{\phi_{1}}}{v_{G}+u_{1}^{\prime}\cos{\phi_{1}}} \quad . \notag\] \( v_{G} \) と \( u_{1}^{\prime}=u_{1} \) との間には \( v_{G}=\frac{m_{1}}{m_{2}}u_{1} \) が成立するので, \[\begin{align} \tan{\theta_{1}} &= \frac{u_{1} \sin{\phi_{1}}}{\frac{m_{1}}{m_{2}}u_{1}+u_{1}\cos{\phi_{1}}} \notag \\ &= \frac{ \sin{\phi_{1}}}{\frac{m_{1}}{m_{2}} + \cos{\phi_{1}}} \quad . \label{CMTan2} \end{align}\] が得られる. この式から, \( m_{2} \) が \( m_{1} \) に対して非常に大きいときには \( \theta_{1} \) と \( \phi_{1} \) が近似的に等しいことがわかる.

物体2の散乱角度についても同様に考えることができる. 実験室系で観測した, 衝突後の物体2の速度ベクトル \( \boldsymbol{v}_{2}^{\prime} \) は重心系で見た衝突後の物体2の速度ベクトル \( \boldsymbol{u}_{2}^{\prime} \) と \[\boldsymbol{v}_{2}^{\prime} = \boldsymbol{u}_{2}^{\prime} + \boldsymbol{v}_{G} \notag\] という関係にある. また, 運動量保存則(式\eqref{CMMC})により, \( \boldsymbol{u}_{2}^{\prime} = -\frac{m_{1}}{m_{2}}\boldsymbol{u}_{1}^{\prime} \) という関係にあるので, \[\boldsymbol{v}_{2}^{\prime} = – \frac{m_{1}}{m_{2}}\boldsymbol{u}_{1}^{\prime} + \boldsymbol{v}_{G} \notag\] となる. これらの速度ベクトルの関係あわせて下図に示す.

ここで, \( u_{2}^{\prime}=u_{2}=v_{G} \) であることおよび \( \boldsymbol{v}_{2}^{\prime} \) と \( \boldsymbol{v}_{G} = \) のなす角は実験室系で見た物体2の散乱角 \( \theta_{2} \) に等しいこと, \( \boldsymbol{u}_{2}^{\prime} \) と \( \boldsymbol{v}_{G} \) のなす角は重心系で見た物体2の散乱角 \( \phi_{2} \) であることに注意してほしい.

上図より, \[\phi_{1}+2\theta_{2} =\pi \notag\] が成立しているので, 式\eqref{CMTan2}に代入すると, \[\begin{aligned} \tan{\theta_{1}} &= \frac{ \sin{\left( \pi – 2 \theta_{2} \right)}}{\frac{m_{1}}{m_{2}} + \cos{\left( \pi – 2 \theta_{2} \right)}} \notag \\ &= \frac{ \sin{\left( 2 \theta_{2} \right)}}{\frac{m_{1}}{m_{2}} – \cos{\left( 2 \theta_{2} \right)}} \notag \\ &= \frac{ m_{2} \sin{\left( 2 \theta_{2} \right)}}{ m_{1} – m_{2} \cos{\left( 2 \theta_{2} \right)}} \notag \end{aligned}\] となる. これは実験室系でもとめた式\eqref{LabTan2}と一致している.

\( v_{2}^{\prime} \) の決定

同じ図を使うことで \( \theta_{2} \) と \( v_{2}^{\prime} \) の関係も知ることができる.

余弦定理をもちいると, \[\begin{aligned} {v_{2}^{\prime}}^{2} &= v_{G}^{2} + {u_{2}^{\prime}}^{2} – 2 v_{G}u_{2}^{\prime}\cos{\phi_{1}} \notag \\ &= 2v_{G}^{2} – 2 v_{G}^{2} \cos{\left( \pi – 2 \theta_{2} \right)} \notag \\ &= 2v_{G}^{2} \left\{ 1 + \cos{\left( 2 \theta_{2} \right)} \right\} \notag \\ &= 4 v_{G}^{2} \cos^{2}{ \theta_{2} } \notag \\ \to \ v_{2}^{\prime} &= 2 v_{G}\cos{\theta_{2}} \notag \\ &= \frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \cos{\theta_{2}} \end{aligned}\] となる. これは実験室系で求めた式\eqref{Labv2prime}と一致している.

\( v_{1}^{\prime} \) の決定

同じ図を使うことで \( \theta_{2} \) と \( v_{1}^{\prime} \) の関係も知ることができる.

余弦定理をもちいると, \[\begin{aligned} {v_{1}^{\prime}}^{2} &= v_{G}^{2} + {u_{1}^{\prime}}^{2} – 2 v_{G}u_{1}^{\prime}\cos{\phi_{2}} \notag \\ &= v_{G}^{2} + \left( \frac{m_{2}}{m_{1}} \right)^{2}v_{G}^{2} – 2 \frac{m_{2}}{m_{1}} v_{G}^{2} \cos{\left( 2 \theta_{2} \right)} \notag \\ &= v_{G}^{2} \left\{ 1 + \left( \frac{m_{2}}{m_{1}} \right)^{2} – 2 \frac{m_{2}}{m_{1}}\cos{\left( 2 \theta_{2} \right)}\right\} \notag \\ \to \ v_{1}^{\prime} &= v_{G} \sqrt{ 1 + \left( \frac{m_{2}}{m_{1}} \right)^{2} – 2 \frac{m_{2}}{m_{1}}\cos{\left( 2 \theta_{2} \right)} } \notag \\ &= \frac{\sqrt{m_{1}^{2} – 2 m_{1}m_{2}\cos{\left( 2 \theta_{2} \right)} + m_{2}^{2} } }{m_{1}+m_{2}}v_{1} \end{aligned}\] となる. これは実験室系で求めた式\eqref{Labv1prime}と一致している.

また, \( \theta_{1} \) を用いて \( v_{1} \) と \( v_{1}^{\prime} \) の比を求めるときも余弦定理をもちいることで容易に求めることができる. 余弦定理により, \[ \begin{aligned} & {u_{1}^{\prime}}^{2} = {v_{1}^{\prime}}^{2} + v_{G}^{2} – 2 v_{1}^{\prime}v_{G}\cos{\theta_{1}} \notag \\ \to \ & \left( \frac{m_{2}}{m_{1}}\right)^{2} v_{G}^{2} = {v_{1}^{\prime}}^{2} + v_{G}^{2} – 2 v_{1}^{\prime}v_{G}\cos{\theta_{1}} \notag \\ \to \ & {v_{1}^{\prime}}^{2} – 2 v_{1}^{\prime}v_{G}\cos{\theta_{1}} + \left\{ 1 – \left( \frac{m_{2}}{m_{1}}\right)^{2} \right\} v_{G}^{2} = 0 \notag \end{aligned} \] この式を \( v_{1}^{\prime} \) の2次方程式とみなして解の公式を適用すると, \[ \begin{aligned} v_{1}^{\prime} &= v_{G}\cos{\theta_{1}} \pm \sqrt{ \cos^{2}{\theta_{1}} – 1 +\left( \frac{m_{2}}{m_{1}}\right)^{2} }v_{G} \notag \\ &= \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \left[ \cos{\theta_{1}} \pm \sqrt{ \left( \frac{m_{2}}{m_{1}}\right)^{2} – \sin^{2}{\theta_{1}} } \right] v_{1} \notag \end{aligned} \] となる. ここで, \( v_{1}^{\prime} \) が実数解を持つには \( m_{2}^{2} \ge m_{1}^{2} \sin^{2}{\theta_{1}} \) であることが必要であり, \( \theta_{1} \) には制限があることがわかる. さらに, \( \frac{m_{2}}{m_{1}} > 1 \) のときには上式大括弧中の第2項の絶対値が第1項の絶対値を上回るので \( \pm \) のうち \( + \) だけが許されることになる.

衝突後の散乱方向に対する制限

物体1の散乱方向対する制限についても速度ベクトルを用いて議論することができる.

衝突後の物体1の実験室系での速度 \( \boldsymbol{v}_{1}^{\prime} \) , 重心系での速度 \( \boldsymbol{u}_{1}^{\prime} \) と重心速度 \( \boldsymbol{v}_{G} \) との間には \[\boldsymbol{v}_{1}^{\prime} = \boldsymbol{v}_{G} + \boldsymbol{u}_{1}^{\prime} \notag\] が成立するのであった.

重心系での運動量保存則からは, 重心系での散乱角 \( \phi_{1} \) に制限を与えることはできず, \( \phi_{1} \) は \( 0 \) から \( \pi \) の範囲まで自由にとることができる. したがって, 半径が \( u_{1}^{\prime} \) の半円を描き \( \boldsymbol{u}_{1}^{\prime} \) の始点を円の中心にとれば, \( \boldsymbol{u}_{1}^{\prime} \) の終点は半円上の任意の点をとることが可能となる.

一方, 速度ベクトルの大きさについて \[v_{G} = \frac{m_{1}}{m_{2}} u_{1}^{\prime} \notag\] が成立するのであった. したがって, \( m_1 \) と \( m_2 \) の大小関係に応じて \( \boldsymbol{v}_{G} \) の始点が半円の外部か内部かに場合分けすることができる.

\( m_{1} > m_{2} \) のとき

\( m_{1} > m_{2} \) のとき, \( \boldsymbol{v}_{G} \) の始点は半径 \( u_{1}^{\prime} \) の半円の外部に存在する.

このとき, \( \phi_{1} \) が \( 0 \) から \( \pi \) まで変化する間, 角度 \( \theta_{1} \) はある値を超えないことが図よりわかる. その角度とは \( \boldsymbol{v}_{1}^{\prime} \) と \( \boldsymbol{u}_{1}^{\prime} \) が直交するときの角度であり, \[\sin{\theta_{1}} \le \frac{u_{1}^{\prime}}{v_{G}} = \frac{m_{2}}{m_{1}} \notag\] であることがわかる. したがって, \( m_{1} > m_{2} \) の場合には \( \sin{\theta_{1}} \le \frac{m_{2}}{m_{1}} \) となる.

また, 下図のように半径 \( v_{G}=u_{2}^{\prime} \) の円を一緒に描くことで, 物体1と物体2の散乱後の成す角 \( \left( \theta_{1}+\theta_{2} \right) \) が鋭角となることも分かる.

\( m_{1} = m_{2} \) のとき

とくに, \( m_{1} = m_{2} \) のとき, \( \boldsymbol{v}_{G} \) の始点は半径 \( u_{1}^{\prime} \) の半円上に存在する. このとき, \( \phi_{1} \) が \( 0 \) から \( \pi \) まで変化する間, \( \left( \theta_{1}+\theta_{2} \right) \) は常に \( 90^{\circ} \) であることが図よりわかる.

\( m_{1} < m_{2} \) のとき

\( m_{1} < m_{2} \) のとき, \( \boldsymbol{v}_{G} \) の始点は半径 \( u_{1}^{\prime} \) の半円の内部となる.

このとき, \( \phi_{1} \) が \( 0 \) から \( \pi \) まで変化する間, \( \theta_{1} \) も \( 0 \) から \( \pi \) まで変化できるうえ, \( \left( \theta_{1}+\theta_{2} \right) \) は鈍角となることが分かる.


以上の結論は実験室系のときに得られた各物体の散乱角について得られる情報と一致している.

重心系での速度ベクトルを図にする方法について紹介してきたが, 速度ではなく運動量を用いて図示する方法等様々な描き方が知られている.

最終更新日
実験室系と重心系 単振動の運動方程式と一般解



補足    (↵ 本文へ)
  1. 衝突における撃力がどのような力であったのかの情報があれば, さらに得られる情報は増えることになる.

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