2次元回転座標系

2次元平面において, 慣性系に対してある一定とは限らない角速度で回転しているような座標系を考えよう.

座標系自体が慣性系に対して円運動を行なっていれば, 座標系の回転速度などに応じた慣性力が必然的に登場することになる.

ここでは, 話を2次元座標に限定して議論を行い, 遠心力, コリオリ力, オイラー力を導出し, その簡単な性質について紹介する.

以下ではまず, 慣性系 \( S \)と慣性系に対して回転している系 \( S^{\prime} \) を定義する. そして, これらの各座標系で記述される位置, 速度, 加速度ベクトルがどのように変換されるかを議論する. その後, 2次元回転座標系での運動方程式を導出し, そこに登場する慣性力をその性質に応じて遠心力, コリオリ力, オイラー力という3つの慣性力を定義する.

さいごには補足として, ベクトルの外積を用いた2次元回転座標系での運動方程式を比較的整理された形を紹介する.

より一般的な回転座標系の運動方程式の導出については, 回転座標系の運動方程式も参照して欲しい.

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2次元回転座標系の単位ベクトル
2次元回転座標系と位置
2次元回転座標系と速度, 加速度
2次元回転座標系の運動方程式と慣性力
遠心力
コリオリ力
オイラー力
2次元回転座標系の慣性力のベクトル表現


2次元回転座標系の単位ベクトル

直交した二つの座標軸, \( x \) 軸と \( y \) 軸をもつ慣性系 \( S \) を考え, 軸の交点を原点 \( O \) とする. また, 直交した \( x^{\prime} \) 軸と \( y^{\prime} \) 軸をもつ系 \( S^{\prime} \) を考え, 軸の交点を原点 \( O^{\prime} \) とする.

系 \( S \) と系 \( S^{\prime} \) の原点は一致しており, 系 \( S^{\prime} \) は慣性系 \( S \) に対して反時計回りに角度 \( \theta \) だけ回転しているとし, \( x \) 軸, \( y \) 軸, \( x^{\prime} \) 軸, \( y^{\prime} \) 軸の各軸に対する単位ベクトルを \( \boldsymbol{e}_{x} \) , \( \boldsymbol{e}_{y} \) , \( \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \) , \( \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \) とする.

上図より, \( \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \) , \( \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \) は \( \boldsymbol{e}_{x} \) , \( \boldsymbol{e}_{y} \) を用いて次式のように表される. \[\begin{align} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} &= \cos{\theta}\, \boldsymbol{e}_{x} + \sin{\theta}\, \boldsymbol{e}_{y} \label{ex1} \\ \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} &=-\sin{\theta}\, \boldsymbol{e}_{x} + \cos{\theta}\, \boldsymbol{e}_{y} \label{ey1} \quad . \end{align}\]

次に, 式\eqref{ex1}及び式\eqref{ey1}を \( \boldsymbol{e}_{x} \) 及び \( \boldsymbol{e}_{y} \) について整理しなおそう. 式\eqref{ex1} \( \times \cos{\theta} \) と式\eqref{ey1} \( \times \left( -\sin{\theta} \right) \) の辺々を足し合わせることで \( \boldsymbol{e}_{x} \) を, 式\eqref{ex1} \( \times \sin{\theta} \) と式\eqref{ey1} \( \times \cos{\theta} \) の辺々を足し合わせることで \( \boldsymbol{e}_{y} \) を次式のように求めることができる. \[\begin{align} \boldsymbol{e}_{x} &= \cos{\theta}\, \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} – \sin{\theta}\, \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \label{ex2} \\ \boldsymbol{e}_{y} &= \sin{\theta}\, \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} + \cos{\theta}\, \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \label{ey2} \quad . \end{align}\]

これらの式\eqref{ex1} \( \sim \) 式\eqref{ey2}によって系 \( S \) で記述したベクトルと系 \( S^{\prime} \) で記述したベクトルとの変換則を知ることが出来るのである.

また, 以下の議論において, 回転角 \( \theta \) は時間 \( t \) の関数 \( \theta=\theta(t) \) であり, 角速度 \( \omega \) を \[\omega \mathrel{\mathop:}= \frac{d \theta}{dt} \label{Defomega} \] で定義し, 特にこだわらない限り, \( \omega > 0 \) の場合について議論する.

2次元回転座標系と位置

\( x \) – \( y \) 平面上のある点を系 \( S \) で観測したときの位置ベクトルを \( \boldsymbol{r} \) とし, \( \boldsymbol{r} \) の \( x \) 軸, \( y \) 軸方向の成分を \( x \) , \( y \) とすると, \( \boldsymbol{r} \) は \( \boldsymbol{e}_{x} \) , \( \boldsymbol{e}_{y} \) を用いて次式のように表すことができる. \[\boldsymbol{r} = x \boldsymbol{e}_{x} + y \boldsymbol{e}_{y} \quad . \label{ratSprime}\]

同一点を系 \( S^{\prime} \) で観測したときの位置ベクトルを \( \boldsymbol{r^{\prime}} \) とし, \( \boldsymbol{r}^{\prime} \) の \( x^{\prime} \) 軸, \( y^{\prime} \) 軸方向の成分を \( x^{\prime} \) , \( y^{\prime} \) とすると, \( \boldsymbol{r}^{\prime} \) は \( \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \) , \( \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \) を用いて次式のように表すことができる. \[\boldsymbol{r}^{\prime} = x^{\prime} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} + y^{\prime} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \quad .\]

ベクトル \( \boldsymbol{r} \) とベクトル \( \boldsymbol{r}^{\prime} \) は同一点を表すベクトルであるので, 次式が成立する. \[\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}^{\prime} \ \iff \ x \boldsymbol{e}_{x} + y \boldsymbol{e}_{y} = x^{\prime} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} + y^{\prime} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \quad . \label{rr}\] ただし, いまのように座標軸の取り方が異なれば, ベクトルの成分 \( x \) と \( x^{\prime} \) および \( y \) と \( y^{\prime} \) は一致するとは限らない.

しかし, 単位ベクトルの変換公式群\eqref{ex1} \( \sim \) \eqref{ey2}及び式\eqref{rr}を用いることで \( x \), \( y \) が \( x^{\prime} \), \( y^{\prime} \) とがどのような関係にあるか知ることができるのである.

\( \boldsymbol{r}^{\prime} \) を \( \boldsymbol{e}_{x} \) , \( \boldsymbol{e}_{y} \) を用いて次式のように表すことができる. \[\begin{aligned} \boldsymbol{r}^{\prime} &= x^{\prime} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} + y^{\prime} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \notag \\ &= x^{\prime} \left( \cos{\theta}\, \boldsymbol{e}_{x} + \sin{\theta}\, \boldsymbol{e}_{y} \right) + y^{\prime} \left( -\sin{\theta}\, \boldsymbol{e}_{x} + \cos{\theta}\, \boldsymbol{e}_{y} \right) \notag \\ &= \left( x^{\prime} \cos{\theta} – y^{\prime} \sin{\theta} \right) \boldsymbol{e}_{x} + \left( x^{\prime} \sin{\theta} + y^{\prime} \cos{\theta} \right) \boldsymbol{e}_{x} \notag \end{aligned}\] これと \( \boldsymbol{r} = x \boldsymbol{e}_{x} + y \boldsymbol{e}_{y} \) とで単位ベクトルの係数比較を行えば, \[\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} x &= x^{\prime} \cos{\theta} – y^{\prime} \sin{\theta} \\ y &= x^{\prime} \sin{\theta} + y^{\prime} \cos{\theta} \end{aligned} \right. \label{cxy} \end{equation} \] と, 位置ベクトルの成分が系 \( S \) と系 \( S^{\prime} \) とでどのように変換されるかがわかった.

2次元回転座標系と速度, 加速度

運動方程式を立式する上で必要な量は加速度である.

慣性系 \( S \) と系 \( S \) に対して角度 \( \theta \) だけ回転した系 \( S^{\prime} \) との位置座標成分の変換則はすでにわかっているので, あとは随時微分を行うことで二つの系での速度, 加速度の変換則を求めることができる.

以下の計算では, 途中, 式\eqref{Defomega}( \( \omega = \frac{d\theta}{dt} \) )や三角関数の微分 \[\begin{aligned} \frac{d\,\sin{\left( f(x) \right)}}{dx} & = \frac{df(x)}{dx}\cos{\left(f(x)\right)} \notag \\ \frac{d\,\cos{\left( f(x) \right)}}{dx} & =-\frac{df(x)}{dx}\sin{\left(f(x)\right)} \notag \end{aligned}\] などを用いる

速度の \( x \) 成分を \( x^{\prime} \) , \( y^{\prime} \) で記述すると, \[\begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= \frac{dx^{\prime}}{dt} \cos{\theta} + x^{\prime} \frac{d\,\cos{\theta}}{dt} – \frac{dy^{\prime}}{dt} \sin{\theta} – y^{\prime} \frac{d\,\sin{\theta}}{dt} \notag \\ &= \frac{dx^{\prime}}{dt} \cos{\theta} – x^{\prime} \frac{d\theta}{dt} \sin{\theta} – \frac{dy^{\prime}}{dt} \sin{\theta} – y^{\prime} \frac{d\theta}{dt} \cos{\theta} \notag \\ &= \left( \frac{dx^{\prime}}{dt} – y^{\prime} \omega \right) \cos{\theta} – \left( \frac{dy^{\prime}}{dt} + x^{\prime} \omega \right) \sin{\theta} \quad . \notag \end{aligned}\]

同様に, 速度の \( y \) 成分を \( x^{\prime} \) , \( y^{\prime} \) で記述すると, \[\begin{aligned} \frac{dy}{dt} &= \frac{dx^{\prime}}{dt} \sin{\theta} + x^{\prime} \frac{d\,\sin{\theta}}{dt} + \frac{dy^{\prime}}{dt} \cos{\theta} + y^{\prime} \frac{d\,\cos{\theta}}{dt} \notag \\ &= \frac{dx^{\prime}}{dt} \sin{\theta} + x^{\prime} \frac{d\theta}{dt} \cos{\theta} + \frac{dy^{\prime}}{dt} \cos{\theta} – y^{\prime} \frac{d\theta}{dt} \sin{\theta} \notag \\ &= \left( \frac{dx^{\prime}}{dt} – y^{\prime} \omega \right) \sin{\theta} + \left( \frac{dy^{\prime}}{dt} + x^{\prime} \omega \right) \cos{\theta} \quad . \notag \end{aligned}\] \[\therefore \ \left\{ \begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= \left( \frac{dx^{\prime}}{dt} – y^{\prime} \omega \right) \cos{\theta} – \left( \frac{dy^{\prime}}{dt} + x^{\prime} \omega \right) \sin{\theta} \\ \frac{dy}{dt} &= \left( \frac{dx^{\prime}}{dt} – y^{\prime} \omega \right) \sin{\theta} + \left( \frac{dy^{\prime}}{dt} + x^{\prime} \omega \right) \cos{\theta} \end{aligned} \right.\]

加速度の \( x \) 成分を \( x^{\prime} \) , \( y^{\prime} \) で記述すると, \[\begin{aligned} \frac{d^{2}x}{dt^{2}} &= \frac{d}{dt} \left\{ \left( \frac{dx^{\prime}}{dt} – y^{\prime} \omega \right) \right\} \cos{\theta} + \left( \frac{dx^{\prime}}{dt} – y^{\prime} \omega \right) \frac{d\,\cos{\theta}}{dt} \notag \\ &\phantom{=} – \frac{d}{dt} \left\{ \left( \frac{dy^{\prime}}{dt} + x^{\prime} \omega \right) \right\} \sin{\theta} – \left( \frac{dy^{\prime}}{dt} + x^{\prime} \omega \right) \frac{d\,\sin{\theta}}{dt} \notag \\ &= \left( \frac{d^{2}x^{\prime}}{dt^{2}} – \frac{d y^{\prime}}{dt} \omega – y^{\prime} \frac{d \omega}{dt} \right) \cos{\theta} – \frac{d\theta}{dt}\left( \frac{dx^{\prime}}{dt} – y^{\prime} \omega \right) \sin{\theta} \notag \\ &\phantom{=} – \left( \frac{d^{2}y^{\prime}}{dt^{2}} + \frac{d x^{\prime}}{dt} \omega + x^{\prime} \frac{d \omega}{dt} \right) \sin{\theta} – \frac{d\theta}{dt} \left( \frac{dy^{\prime}}{dt} + x^{\prime} \omega \right) \cos{\theta} \notag \\ &= \left( \frac{d^{2}x^{\prime}}{dt^{2}} – 2\frac{d y^{\prime}}{dt} \omega – y^{\prime} \frac{d \omega}{dt} – x^{\prime} \omega^{2} \right) \cos{\theta} \notag \\ &\phantom{=} – \left( \frac{d^{2}y^{\prime}}{dt^{2}} + 2 \frac{d x^{\prime}}{dt} \omega + x^{\prime} \frac{d \omega}{dt} – y^{\prime} \omega^{2} \right) \sin{\theta} \quad . \notag \end{aligned}\]

同様に, 加速度の \( y \) 成分を \( x^{\prime} \) , \( y^{\prime} \) で記述すると, \[\begin{aligned} \frac{d^{2}y}{dt^{2}} &= \frac{d}{dt} \left\{ \left( \frac{dx^{\prime}}{dt} – y^{\prime} \omega \right) \right\} \sin{\theta} + \left( \frac{dx^{\prime}}{dt} – y^{\prime} \omega \right) \frac{d\,\sin{\theta}}{dt} \notag \\ &\phantom{=} + \frac{d}{dt} \left\{ \left( \frac{dy^{\prime}}{dt} + x^{\prime} \omega \right) \right\} \cos{\theta} + \left( \frac{dy^{\prime}}{dt} + x^{\prime} \omega \right) \frac{d\,\cos{\theta}}{dt} \notag \\ &= \left( \frac{d^{2}x^{\prime}}{dt^{2}} – \frac{d y^{\prime}}{dt} \omega – y^{\prime} \frac{d \omega}{dt} \right) \sin{\theta} + \frac{d\theta}{dt} \left( \frac{dx^{\prime}}{dt} – y^{\prime} \omega \right) \cos{\theta} \notag \\ &\phantom{=} + \left( \frac{d^{2}y^{\prime}}{dt^{2}} + \frac{d x^{\prime}}{dt} \omega + x^{\prime} \frac{d \omega}{dt} \right) \cos{\theta} – \frac{d\theta}{dt} \left( \frac{dy^{\prime}}{dt} + x^{\prime} \omega \right) \sin{\theta} \notag \\ &= \left( \frac{d^{2}x^{\prime}}{dt^{2}} – 2\frac{d y^{\prime}}{dt} \omega – y^{\prime} \frac{d \omega}{dt} – x^{\prime} \omega^{2} \right) \sin{\theta} \notag \\ &\phantom{=} + \left( \frac{d^{2}y^{\prime}}{dt^{2}} + 2 \frac{d x^{\prime}}{dt} \omega + x^{\prime} \frac{d \omega}{dt} – y^{\prime} \omega^{2} \right) \cos{\theta} \quad . \notag \end{aligned}\]

\[ \begin{equation} \therefore \ \left\{ \begin{aligned} \frac{d^{2}x}{dt^{2}} &=\left( \frac{d^{2}x^{\prime}}{dt^{2}} – 2\frac{d y^{\prime}}{dt} \omega – y^{\prime} \frac{d \omega}{dt} – x^{\prime} \omega^{2} \right) \cos{\theta} \\ &\phantom{=} – \left( \frac{d^{2}y^{\prime}}{dt^{2}} + 2 \frac{d x^{\prime}}{dt} \omega + x^{\prime} \frac{d \omega}{dt} – y^{\prime} \omega^{2} \right) \sin{\theta} \\ \frac{d^{2}y}{dt^{2}} &= \left( \frac{d^{2}x^{\prime}}{dt^{2}} – 2\frac{d y^{\prime}}{dt} \omega – y^{\prime} \frac{d \omega}{dt} – x^{\prime} \omega^{2} \right) \sin{\theta} \\ &\phantom{=} + \left( \frac{d^{2}y^{\prime}}{dt^{2}} + 2 \frac{d x^{\prime}}{dt} \omega + x^{\prime} \frac{d \omega}{dt} – y^{\prime} \omega^{2} \right) \cos{\theta} \end{aligned} \right. \label{axy} \end{equation} \]

2次元回転座標系の運動方程式と慣性力

位置 \( \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}^{\prime} \) に存在する質量 \( m \) の物体に働く物理的な実体を持つ力を系 \( S \) および系 \( S^{\prime} \) で記述し, それらの成分について成り立つ関係を考えよう.

これまでの議論により, 物体の加速度 \( \frac{d^{2}\boldsymbol{r}}{dt^{2}} \) を \( x^{\prime} \) , \( y^{\prime} \) で記述することができた. これと, 慣性系 \( S \) で成立する運動方程式 \[m \frac{d^{2}\boldsymbol{r}}{dt^{2}} = \boldsymbol{F} \notag \] を用いることで, 非慣性系 \( S^{\prime} \) における運動方程式を知ることができる.

ここで \( \boldsymbol{F} \) は系 \( S \) で観測した物理的な実体を持つ合力(ベクトル)であり, \( x \) 軸, \( y \) 軸方向の成分を \( F_{x} \) , \( F_{y} \) とすると, \[\boldsymbol{F} = F_{x} \boldsymbol{e}_{x} + F_{y} \boldsymbol{e}_{y} \quad . \notag\]

同じ合力(ベクトル)を系 \( S^{\prime} \) で観測したものを記号 \( \boldsymbol{F}^{\prime} \) とし, \( x^{\prime} \) 軸, \( y^{\prime} \) 軸方向の成分を \( F_{x^{\prime}} \) , \( F_{y^{\prime}} \) とすると, \[\boldsymbol{F}^{\prime} = F_{x^{\prime}} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} + F_{y^{\prime}} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \quad . \notag\]

ただし, \( \boldsymbol{F} \) と \( \boldsymbol{F}^{\prime} \) は同じベクトルであり, \[\boldsymbol{F} = \boldsymbol{F}^{\prime} \, \iff \, F_{x} \boldsymbol{e}_{x} + F_{y} \boldsymbol{e}_{y} = F_{x^{\prime}} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} + F_{y^{\prime}} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \notag\] を満たしている.

物理的実体を持つ力については, 系 \( S \) と系 \( S^{\prime} \) との間で成立する位置ベクトル成分の変換則(式\eqref{ratSprime} \( \sim \) 式\eqref{cxy})と全く同じ議論により, 次の関係式が成立していることがわかる. \[ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} F_{x} &= F_{x^{\prime}} \cos{\theta} – F_{y^{\prime}} \sin{\theta} \\ F_{y} &= F_{x^{\prime}} \sin{\theta} + F_{y^{\prime}} \cos{\theta} \end{aligned} \right. \quad . \label{Fxy} \end{equation} \]

式\eqref{axy}, 式\eqref{Fxy}を \[m \frac{d^{2}\boldsymbol{r}}{dt^{2}} = \boldsymbol{F} \, \iff \, \left\{ \begin{aligned} m\frac{d^{2}x}{dt^2} &= F_{x} \\ m\frac{d^{2}y}{dt^2} &= F_{y} \end{aligned} \right. \quad . \] に代入して係数比較を行うことで, 次式を得る. \[\begin{align} & \left\{ \begin{aligned} & m \left( \frac{d^{2}x^{\prime}}{dt^{2}} – 2\frac{d y^{\prime}}{dt} \omega – y^{\prime} \frac{d \omega}{dt} – x^{\prime} \omega^{2} \right) = F_{x^{\prime}} \\ & m \left( \frac{d^{2}y^{\prime}}{dt^{2}} + 2 \frac{d x^{\prime}}{dt} \omega + x^{\prime} \frac{d \omega}{dt} – y^{\prime} \omega^{2} \right) = F_{y^{\prime}} \end{aligned} \right. \\ \therefore \ & \left\{ \begin{aligned} & m\frac{d^{2}x^{\prime}}{dt^{2}} = F_{x^{\prime}} + mx^{\prime} \omega^{2} + 2 m\frac{d y^{\prime}}{dt} \omega + my^{\prime} \frac{d \omega}{dt} \\ & m\frac{d^{2}y^{\prime}}{dt^{2}} = F_{y^{\prime}} + my^{\prime} \omega^{2} – 2 m\frac{d x^{\prime}}{dt} \omega – mx^{\prime} \frac{d \omega}{dt} \end{aligned} \right. \quad . \label{SprimeEOM} \end{align}\]

最終的に得られたこの式\eqref{SprimeEOM}が2次元回転座標系における運動方程式なのである.

運動方程式\eqref{SprimeEOM}の意味を確認しておこう. まず, 左辺は(質量) \( \times \) (系 \( S^{\prime} \) で観測した加速度)である.

右辺第1項は物理的実体を持つ力 \( \boldsymbol{F}^{\prime} \) である. もし系 \( S^{\prime} \) が慣性系であるならば式\eqref{SprimeEOM}の右辺にこれ以外の項は存在しないのだが, 実際には第2 \( \sim \) 4項の余剰な項が登場している. これ等は座標系が回転していることで現れる慣性力(みかけの力)である.

座標系の回転に伴って現れる慣性力をその性質に応じて三つに分類しておこう. 遠心力を \( \boldsymbol{F}_{\mathrm{cen}} \) , コリオリ力を \( \boldsymbol{F}_{\mathrm{Cor}} \) , オイラー力を \( \boldsymbol{F}_{\mathrm{Eur}} \) とし, それぞれ \[\begin{align} & \begin{aligned} \boldsymbol{F}_{\mathrm{cen}} \mathrel{\mathop:}=& mx^{\prime} \omega^{2} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} + my^{\prime} \omega^{2} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \\ =& m \omega^{2} \boldsymbol{r}^{\prime} \end{aligned} \label{Defcen} \\ & \boldsymbol{F}_{\mathrm{Cor}} \mathrel{\mathop:}= 2 m\frac{d y^{\prime}}{dt} \omega \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} – 2 m\frac{d x^{\prime}}{dt} \omega \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \label{DefCor} \\ & \boldsymbol{F}_{\mathrm{Eur}} \mathrel{\mathop:}= my^{\prime} \frac{d \omega}{dt} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} – mx^{\prime} \frac{d \omega}{dt} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \label{DefEur} \end{align}\] と定義すると, 慣性系 \( S \) に対して角速度 \( \omega \) で回転している系 \( S^{\prime} \) における運動方程式は, \[m \frac{ d^{2} \boldsymbol{r}^{\prime} }{ dt^{2} } = \boldsymbol{F}^{\prime} + \boldsymbol{F}_{\mathrm{cen}} + \boldsymbol{F}_{\mathrm{Cor}} + \boldsymbol{F}_{\mathrm{Eur}}\] と書くことができる.

2次元回転座標系での慣性力(遠心力, コリオリ力, オイラー力)

遠心力

遠心力 \[\boldsymbol{F}_{\mathrm{cen}} \mathrel{\mathop:} = m \omega^{2} \boldsymbol{r}^{\prime} \notag\] は高校物理で頻出なので, その性質の多くは既によく理解してもらっているであろう.

上記の定義を見ても分かる通り, 角速度 \( \omega \) がゼロ以外の値を持ち, 質点が回転中心( \( \boldsymbol{r}^{\prime}=\boldsymbol{0} \) )以外の点にいる場合にあらわれる力である.

その大きさは \[\begin{aligned} \left| \boldsymbol{F}_{\mathrm{cen}} \right| &= \sqrt{ \left( mx^{\prime} \omega^{2} \right)^{2} + \left( my^{\prime} \omega^{2} \right)^{2} } \notag \\ &= m \omega^{2} \left| \boldsymbol{r}^{\prime} \right| \notag \end{aligned}\] である.

また, 遠心力の向きは位置ベクトル \( \boldsymbol{r}^{\prime} \) の指す方向と一致している.

コリオリ力

2次元回転座標系におけるコリオリ力 \[\boldsymbol{F}_{\mathrm{Cor}} \mathrel{\mathop:} = 2 m\frac{d y^{\prime}}{dt} \omega \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} – 2 m\frac{d x^{\prime}}{dt} \omega \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \notag\] は, 角速度 \( \omega \) がゼロ以外の値を持ち, 系 \( S^{\prime} \) で観測した質点が速度 \( \frac{d\boldsymbol{r}^{\prime}}{dt} \) で移動している場合にあらわれる力である.

その大きさは \[\begin{aligned} \left| \boldsymbol{F}_{\mathrm{Cor}} \right| &= \sqrt{ \left( 2 m\frac{d y^{\prime}}{dt} \omega \right)^{2} + \left( – 2 m\frac{d x^{\prime}}{dt} \omega \right)^{2} } \notag \\ &= 2m \left| \omega \right| \left| \frac{d\boldsymbol{r}^{\prime}}{dt} \right| \notag \end{aligned}\] である.

コリオリ力の向きについても調べておこう. まず分かることとしては, 非慣性系 \( S^{\prime} \) で観測した速度ベクトル \( \frac{d\boldsymbol{r}^{\prime}}{dt} \) とは直交していることが次の計算からわかる. \[\begin{aligned} \boldsymbol{F}_{\mathrm{Cor}} \cdot \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} &= \left( 2 m\frac{d y^{\prime}}{dt} \omega \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} – 2 m\frac{d x^{\prime}}{dt} \omega \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \right) \cdot \left( \frac{d x^{\prime}}{dt} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} + \frac{d y^{\prime}}{dt} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \right) \notag \\ &= 2 m \omega \frac{d x^{\prime}}{dt} \frac{d y^{\prime}}{dt} – 2 m \omega \frac{d x^{\prime}}{dt} \frac{d y^{\prime}}{dt}\notag \\ &= 0 \quad . \notag \end{aligned}\]

より具体的な方向を知るため, \( \omega > 0 \) の場合について考えよう. コリオリ力の定義式のうち, 方向に関係がある部分だけを取り出すと, \[\boldsymbol{F}_{\mathrm{Cor}} \propto \frac{dy^{\prime}}{dt} \boldsymbol{e}_{x} – \frac{dx^{\prime}}{dt} \boldsymbol{e}_{y} \notag\] である. これは非慣性系 \( S^{\prime} \) で観測した質点の速度ベクトル \[\frac{d\boldsymbol{r}^{\prime}}{dt} = \frac{dx^{\prime}}{dt} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} + \frac{dy^{\prime}}{dt} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \notag\] の \( x^{\prime} \) 成分と \( y^{\prime} \) 成分の値を入れ換え, 入れ換え実行後の \( y^{\prime} \) 成分の符号を反転させた方向を向いていることを意味する.

下図には, 非慣性系 \( S^{\prime} \) が \( \omega>0 \) で慣性系 \( S \) に対して回転している時に, \( S^{\prime} \) で観測した \( x^{\prime} \) 成分と \( y^{\prime} \) が両方とも正の速度ベクトルと, コリオリ力の方向に向きが一致したベクトルを描いた.

不安ならば, 様々な向きの速度ベクトルについて書いてみればわかるが, \( \omega > 0 \) の場合, 速度ベクトルの向きに対して時計回りに \( \frac{\pi}{2} \) だけ回転させた方向, すなわち進行方向右方向にコリオリ力が働くことがわかる.

\( \omega < 0 \) の場合, 前述の方向とは逆向であり, 速度ベクトルの向きに対して反時計回りに \( \frac{\pi}{2} \) だけ回転させた方向, すなわち進行方向左向きにコリオリ力が働くことがわかる.

オイラー力

2次元回転座標系におけるオイラー力 \[\boldsymbol{F}_{\mathrm{Eur}} \mathrel{\mathop:}= my^{\prime} \frac{d \omega}{dt} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} – mx^{\prime} \frac{d \omega}{dt} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \notag\] は, 角速度 \( \omega \) が一定でなく時間変化がある場合に, 回転中心( \( \boldsymbol{r}^{\prime}=\boldsymbol{0} \) )以外の点にあらわれる慣性力である.

その大きさは \[\begin{aligned} \left| \boldsymbol{F}_{\mathrm{Eur}} \right| &= \sqrt{ \left( my^{\prime} \frac{d \omega}{dt} \right)^{2} + \left( – mx^{\prime} \frac{d \omega}{dt} \right) } \notag\\ &= m \left| \boldsymbol{r}^{\prime} \right| \left| \frac{d\omega}{dt}\right| \notag \end{aligned}\] である.

\( \frac{d\omega}{dt} > 0 \) の場合, オイラー力の定義式のうち, 方向に関係がある部分だけを取り出すと, \[\boldsymbol{F}_{\mathrm{Eur}} \propto y^{\prime} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} – x^{\prime} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \notag\] である. これはコリオリ力のときと同じ論法でオイラー力の働く方向を理解することが出来る.

つまり, オイラー力は非慣性系 \( S^{\prime} \) で観測した物体の位置ベクトル \[\boldsymbol{r}^{\prime} = x^{\prime} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} + y^{\prime} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \notag\] の \( x^{\prime} \) 成分と \( y^{\prime} \) 成分の値を入れ換え, 入れ換え実行後の \( y^{\prime} \) 成分の符号を反転させた方向を向いていることを意味している.

\( \frac{d\omega}{dt} > 0 \) の場合, 位置ベクトルの向きに対して反時計回りに \( \frac{\pi}{2} \) だけ回転させた方向にオイラー力が働くことがわかる. また, \( \frac{d\omega}{dt} < 0 \) の場合, 位置ベクトルの向きに対して時計回りに \( \frac{\pi}{2} \) だけ回転させた方向にオイラー力が働くことがわかる.

下図は角速度 \( \omega \) 及びその微分 \( \frac{d\omega}{dt} \) がどちらも正の場合の三つの慣性力(遠心力, コリオリ力, オイラー力)を図示した.

2次元回転座標系の慣性力のベクトル表現

これまでは, コリオリ力やオイラー力の働く方向がどちら向きなのかを知るために幾分手間のかかる解釈を行なったが, 実際にはベクトルの外積を用いることでよりスムーズに理解することができる.

いままで議論してきたような \( x \) – \( y \) 平面[ \( x^{\prime} \) – \( y^{\prime} \) 平面]に垂直な方向に \( z \) 軸[ \( z^{\prime} \) 軸]をとり, 空間ベクトルを考えることにする. これまでの議論と整合性を保つため, \( z \) 軸と \( z^{\prime} \) 軸を一致させておき, \( z^{\prime} \) 軸方向には力が働いていないとすると, 三次元的な運動方程式は次式で与えられる. \[\left\{ \begin{aligned} & m\frac{d^{2}x^{\prime}}{dt^{2}} = F_{x^{\prime}} + mx^{\prime} \omega^{2} + 2 m\frac{d y^{\prime}}{dt} \omega + my^{\prime} \frac{d \omega}{dt} \\ & m\frac{d^{2}y^{\prime}}{dt^{2}} = F_{y^{\prime}} + my^{\prime} \omega^{2} – 2 m\frac{d x^{\prime}}{dt} \omega – mx^{\prime} \frac{d \omega}{dt} \\ & m\frac{d^{2}z^{\prime}}{dt^{2}} = 0 \end{aligned} \right. \quad . \notag\] ここで, \( z^{\prime} \) 軸方向の単位ベクトルを \( \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} \) とし, 角速度ベクトル \( \boldsymbol{\omega} \) を \[\boldsymbol{\omega} \mathrel{\mathop:}= \omega \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} \notag\] で定義する.

この角速度ベクトルは, 非慣性系 \( S^{\prime} \) が慣性系 \( S^{\prime} \) に対して反時計回りの場合には角速度 \( \omega = \frac{d\theta}{dt} > 0 \) で \( z^{\prime} \) 軸の正方向を向いており, 系 \( S^{\prime} \) が系 \( S^{\prime} \) に対して時計回りの場合には角速度 \( \omega = \frac{d\theta}{dt} < 0 \) で \( z^{\prime} \) 軸の負方向を向いており, その大きさは角速度の絶対値に一致している.

ここで, 角速度ベクトル \( \boldsymbol{\omega} \) は回転面 \( x^{\prime} \) – \( y^{\prime} \) 平面に対して垂直であること, \( x^{\prime} \) – \( y^{\prime} \) 上のベクトルであるコリオリ力 \( \boldsymbol{F}_{\mathrm{Cor}} \) , オイラー力 \( \boldsymbol{F}_{\mathrm{Eur}} \) はそれぞれ \( \frac{d\boldsymbol{r}^{\prime}}{dt} \) , \( \boldsymbol{r}^{\prime} \) に対して垂直であることを思い出そう.

\( \boldsymbol{\omega} \) , \( \boldsymbol{F}_{\mathrm{Cor}} \) , \( \frac{d\boldsymbol{r}^{\prime}}{dt} \) または \( \boldsymbol{\omega} \) , \( \boldsymbol{F}_{\mathrm{Eur}} \) , \( \boldsymbol{r}^{\prime} \) といった, 互いに直交する3つのベクトルを取り扱う場合にまず思い起こされる演算といえば, 外積であろう. 実際, 天下り的ではあるが, コリオリ力 \( \boldsymbol{F}_{\mathrm{Cor}} \) 及びオイラー力 \( \boldsymbol{F}_{\mathrm{Eur}} \) は外積を用いて次のように書くことができる. \[\begin{align} \boldsymbol{F}_{\mathrm{Cor}} &=- 2m \boldsymbol{\omega} \times \frac{d\boldsymbol{r}^{\prime}}{dt} = 2m \frac{d\boldsymbol{r}^{\prime}}{dt} \times \boldsymbol{\omega} \label{CorVec} \\ \boldsymbol{F}_{\mathrm{Eur}} &=- m \frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} \times \boldsymbol{r}^{\prime} = m \boldsymbol{r}^{\prime} \times \frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} \label{EurVec} \end{align}\]

実際, 単位ベクトル \( \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \) , \( \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \) , \( \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} \) について成立する外積計算 \[\begin{aligned} & \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \times \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} = \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \times \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} = \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} \times \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} = \boldsymbol{0} \notag \\ & \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \times \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} =- \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \times \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} = \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} \notag \\ & \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \times \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} =- \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} \times \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} = \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \notag \\ & \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} \times \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} =- \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} \times \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} = \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \notag \end{aligned}\] を式\eqref{CorVec}, 式\eqref{EurVec}に適用すると, \[\begin{aligned} \boldsymbol{F}_{\mathrm{Cor}} &= 2m \frac{d\boldsymbol{r}^{\prime}}{dt} \times \boldsymbol{\omega} \notag \\ &= 2m \left( \frac{dx^{\prime}}{dt} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} + \frac{dy^{\prime}}{dt} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \right) \times \omega \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} \notag \\ &= 2m \left( \frac{dy^{\prime}}{dt} \omega \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} – \frac{dx^{\prime}}{dt} \omega \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \right) \notag \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \boldsymbol{F}_{\mathrm{Eur}} &= m \boldsymbol{r}^{\prime} \times \frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} \notag \\ &= m \left( x^{\prime} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} + y^{\prime} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \right) \times \frac{d\omega}{dt} \boldsymbol{e}_{z^{\prime}} \notag \\ &= m \left( y^{\prime} \frac{d\omega}{dt} \boldsymbol{e}_{x^{\prime}} – x^{\prime} \frac{d\omega}{dt} \boldsymbol{e}_{y^{\prime}} \right) \notag \end{aligned}\] となり, これはそれぞれ式\eqref{DefCor}及び式\eqref{DefEur}に一致していることが確認できる.

このように, 外積を用いて定義しておくことでコリオリ力とオイラー力の向きは大変わかり易いものとなる. コリオリ力の向きは角速度 \( \boldsymbol{\omega} \) と非慣性系での速度ベクトル \( \frac{d\boldsymbol{r}^{\prime}}{dt} \) の向きがわかれば, \( \frac{d\boldsymbol{r}^{\prime}}{dt} \) を \( \boldsymbol{\omega} \) の向きに右ねじを回した時に, ねじの進む方向がコリオリ力の方向であることがわかる. またオイラー力の向きは角速度 \( \boldsymbol{\omega} \) と非慣性系での位置ベクトル \( \boldsymbol{r}^{\prime} \) の向きがわかれば, \( \boldsymbol{r}^{\prime} \) を \( \boldsymbol{\omega} \) の向きに右ねじを回した時に, ねじの進む方向がオイラー力の方向であることがわかる.

以上より, 慣性系 \( S \) と \( x \) – \( y \) 平面が一致して, 角速度ベクトル \( \boldsymbol{\omega} \) で回転している非慣性系 \( S^{\prime} \) における運動方程式は次式で表すことができる. \[\begin{aligned} m \frac{d^{2}\boldsymbol{r}^{\prime}}{dt^{2}} &= \boldsymbol{F}^{\prime} + \boldsymbol{F}_{\mathrm{cen}} + \boldsymbol{F}_{\mathrm{Cor}} + \boldsymbol{F}_{\mathrm{Eur}} \\ &= \boldsymbol{F}^{\prime} + m \omega^{2} \boldsymbol{r}^{\prime} – 2m \boldsymbol{\omega} \times \frac{d\boldsymbol{r}^{\prime}}{dt} – m \frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} \times \boldsymbol{r}^{\prime} \quad . \notag \end{aligned}\]

今回は運動を \( x \) – \( y \) 平面[ \( x^{\prime} \) – \( y^{\prime} \) 平面]での2次元回転座標に限ったが, より一般の場合には遠心力の項を \[m\omega^{2} \boldsymbol{r}^{\prime} \ \to \ – m \boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}^{\prime} \right) \notag\] と置き換えた式 \[m \frac{d^{2}\boldsymbol{r}^{\prime}}{dt^{2}} = \boldsymbol{F}^{\prime} – m \boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}^{\prime} \right) – 2m \boldsymbol{\omega} \times \frac{d\boldsymbol{r}^{\prime}}{dt} – m \frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} \times \boldsymbol{r}^{\prime} \notag\] が成立することが知られている. これらの天下り的ではない導出についてはまた別ページで紹介する予定である.

最終更新日
ケプラーの法則 回転座標系の運動方程式

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