数学記号まとめ

さまざまな数学記号の意味と読みについてまとめる.

紹介した記号や読みは一例であり, 多くは慣用にしたがっているものであるが, 同じ記号でも分野によって読みが違うなどもある.

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関係記号

\( \displaystyle{ = } \) 【等号 / イコール】

両辺が等しいことを意味する.

\( \displaystyle{ a = b } \) : \( a \) イコール \( b \)

\( \displaystyle{ \neq } \) 【等しくない】

両辺が等しくないことを意味する.

\( \displaystyle{ a \neq b } \) : \( a \) ノットーイコール \( b \)

\( \displaystyle{ \approx , \simeq , \fallingdotseq , \doteq , \doteqdot } \) 【ほぼ等しい】

両辺がほぼ等しい. より正確には, 両辺が漸進的(近似的)に等しいという. 記号” \( \fallingdotseq \) “は日本でのみ使われている.

\( \displaystyle{ a \approx b } \) : \( a \) ニアリーイコール \( b \)

\( \displaystyle{ \equiv , \mathrel{\mathop:}= , =\mathrel{\mathop:} } \) 【定義する】

基本的に記号” \( \displaystyle{ \equiv } \) “は数式や関数を定義するときに用いるが, この記号では左辺と右辺のどちらが定義される側かの判別がつかないこともある. そこで, 以下の二つの記号を用いる.

記号” \( \mathrel{\mathop:}= \) “は左辺を右辺の式で定義することを意味し, 記号” \( =\mathrel{\mathop:} \) “は右辺を左辺の式で定義することを意味する.

\( A \equiv B \) : \( A \) を \( B \) で定義(ていぎ)する

\( A \mathrel{\mathop:}= B \) : \( A \) を \( B \) によって定義(ていぎ)する

\( A \equiv B \) : \( A \) (恒等的(こうとうてき))イコール \( B \)

\( \displaystyle{ \propto } \) 【比例】

両辺が比例関係にある.

\( a \propto b \) : \( a \) 比例(ひれい)する \( b \)

\( \displaystyle{ \sim } \) 【オーダーが等しい】

オーダーが等しい. 桁数が等しい.

\( \displaystyle{ < } \) 【小なり】

左辺が右辺よりも小さいことを意味する.

\( a < b \) : \( a \) (しょう)なり \( b \)

\( \displaystyle{ \leq , \leqq } \) 【以下】

左辺が右辺に等しいかそれよりも小さいことを意味する.

\( a \leqq b \) : \( a \) (しょう)なり(または)イコール \( b \)

\( \displaystyle{ \ll } \) 【非常に小なり】

左辺は右辺に対して非常に小さい.

\( a \ll b \) : \( a \) 非常(ひじょう)(しょう)なり \( b \)

\( \displaystyle{ > } \) 【大なり】

右辺が左辺よりも小さいことを意味する.

\( a > b \) : \( a \) (だい)なり \( b \)

\( \displaystyle{ \geq , \geqq } \) 【以上】

右辺が左辺に等しいかそれよりも小さいことを意味する.

\( a \geqq b \) : \( a \) (だい)なり(または)イコール \( b \)

\( \displaystyle{ \gg } \) 【非常に大なり】

右辺は左辺に対して非常に小さい.

\( a \gg b \) : \( a \) 非常(ひじょう)(だい)なり \( b \)

\( \displaystyle{ \lessapprox } \) 【近似的に等しいかそれよりも小さい】

左辺が右辺に近似的に等しいかそれよりも小さい.

\( \displaystyle{ \gtrapprox } \) 【近似的に等しいかそれよりも大きい】

右辺が左辺に近似的に等しいかそれよりも小さい.

数と式

\( \displaystyle{ + } \) 【加算記号】

足し算.

\( a + b \) : \( a \) () \( b \) , \( a \) プラス \( b \)

\( \displaystyle{ – } \) 【減算記号】

引き算.

\( a – b \) : \( a \) () \( b \) , \( a \) マイナス \( b \)

\( \displaystyle{ \times , \cdot } \) 【乗算記号】

掛け算. スカラー量同士の積など, 誤解が生じない場合や協調する必要がない場合には省略してよい.

\( a \times b \) , \( a \cdot b \) : \( a \) ()ける \( b \)

\( \displaystyle{ \div } \) 【除算記号】

割り算.

\( a \div b \) : \( a \) () \( b \)

\( \displaystyle{ \pm, \mp } \) 【複合】

複合.

\( a \pm b \) で \( a + b \) と \( a – b \) をまとめて表記していることになる. また, \( a \pm b \mp c \) に対して複合同順と言った場合には \( a + b -c \) と \( a – b + c \) をまとめていることになる.

\( a \pm b \) : \( a \) プラスマイナス \( b \)

\( a \mp b \) : \( a \) マイナスプラス \( b \)

\( \displaystyle{ \mathrm{mod} } \) 【剰余】

\( a \mod b \) は \( a \) を \( b \) で割ったときの余りを意味する.

\( a \mod b \) : \( a \) モッド \( b \)

\( \displaystyle{ \color{gray}{a} \equiv \color{gray}{b} \mod \color{gray}{n} , \color{gray}{a} \equiv \color{gray}{b} \pmod{\color{gray}{n}} } \) 【合同式】

\( a \) を \( n \) で割ったときの余りと \( b \) を \( n \) で割ったときの余りが等しいことを合同という.

\( n \) を法として \( a \) と \( b \) は合同

\( \displaystyle{ \sqrt{ \color{gray}{a} }, \sqrt[3]{ \color{gray}{a} }, \sqrt[n]{ \color{gray}{a} } } \) 【根号】

\( \sqrt{ a } \) は \( a \) の \( 2 \) 乗根(平方根).

\( \sqrt{ a } \) : ルート \( a \) , 平方根(へいほうこん) \( a \)


\( \sqrt[3]{ a } \) は \( a \) の \( 3 \) 乗根(立方根).

\( \sqrt[3]{ a } \) : \( 3 \) 乗根(じょうこん) \( a \) , 立方根(りっぽうこん) \( a \)


\( \sqrt[n]{ a } \) は \( a \) の \( n \) 乗根.

\( \sqrt[n]{ a } \) : \( n \) 乗根(じょうこん) \( a \)

\( \displaystyle{ \color{gray}{a}^{2} , \color{gray}{a}^{n}, \color{gray}{a}^{-n} } \) 【乗べき】

\( a^{2} \) は \( a \) の \( 2 \) 乗.

\( a^{2} \) : \( a \) (の) \( 2 \) (じょう)(自乗(じじょう))


\( a^{n} \) は \( a \) の \( n \) 乗.

\( a^{n} \) : \( a \) (の) \( n \) (じょう)


\( a^{-n} \) は \( 1/a \) の \( n \) 乗.

\( a^{-n} \) : \( a \) (の)マイナス \( n \) (じょう)

\( \displaystyle{ | \color{gray}{a} | } \) 【絶対値】

ある数が \( 0 \) からどれだけ離れているかをあらわす. \[ | a | = \sqrt{a^2} \notag \]

\( \displaystyle{ | a | } \) : 絶対値(ぜったいち) \( a \) , \( a \) の絶対値(ぜったいち)

\( \displaystyle{ \% } \) 【百分率】

\( \displaystyle{ a \% \mathrel{\mathop:}= 100a } \) .

\( a \% \) : \( a \) パーセント

\( \displaystyle{ \overline{\color{gray}{a}}, \langle \color{gray}{a} \rangle } \) 【平均】

量 \( a \) の平均値.

\( \overline{a} \) : \( a \) (の)バー, \( a \) の平均(へいきん)(())

\( \displaystyle{ \sum } \) 【総和記号】

数列 \( a_{i} \) の第 \( 1 \) 項から第 \( n \) 項までの総ての和. \[ \sum_{i=1}^{n} a_{i} \mathrel{\mathop:}= a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} \notag \]

\( \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}a_{i} } \) : シグマ \( a_{i} \) \( i \) イコール \( 1 \) から \( n \)

\( \displaystyle{ \prod } \) 【総乗記号】

数列 \( a_{i} \) の第 \( 1 \) 項から第 \( n \) 項までの総ての積. \[ \prod_{i=1}^{n} a_{i} \mathrel{\mathop:}= a_{1}a_{2}\cdots a_{n} \notag \]

\( \displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}a_{i} } \) : パイ \( a_{i} \) \( i \) イコール \( 1 \) から \( n \)

\( \displaystyle{ \color{gray}{n} ! } \) 【階乗】

階乗.自然数 \( n \) に対する階乗は次式で定義する. \[ n! \mathrel{\mathop:}= n \cdot \left( n-1 \right) \cdots 2 \cdot 1 \notag \] 階乗を自然数以外に拡張したものに, \( \Gamma \) 関数と呼ばれるものがある.

\( n! \) : \( n \) (の)階乗(かいじょう)

複素数

\( \displaystyle{ i } \) 【虚数単位】

虚数単位. \[ i \mathrel{\mathop:}= \sqrt{-1} \notag \]

\( i \) : アイ

\( \displaystyle{ \color{gray}{z}^{\ast} , \bar{\color{gray}{z}} } \) 【共役複素数, 複素共役】

複素数 \( z \) に対してその虚部の符号を入れ替えた量-共役(きょうやく)量-をあらわす. \[ \left\{ \begin{aligned} z &= a + b i \\ z^{\ast} &= \bar{z} = a – b i \end{aligned} \right. \quad ( a, b \in \mathbb{R} ) \]

\( \displaystyle{ z^{\ast} } \) : \( z \) スター

\( \displaystyle{ \bar{z} } \) : \( z \) バー

\( \displaystyle{ | \color{gray}{z} | } \) 【複素数の絶対値, ノルム】

複素数平面上での原点からの距離をあらわす. \[ | z | = \sqrt{zz^{\ast}} \notag \]

\( \displaystyle{ | z | } \) : 絶対値(ぜったいち) \( z \) , \( z \) の絶対値(ぜったいち)

\( \displaystyle{ \mathrm{Re}\ \color{gray}{z} } \) 【実部】

複素数の実部をあらわす. \[ \mathrm{Re}\left[ a + b i \right]= a \quad ( a, b \in \mathbb{R} ) \notag \]

\( \mathrm{Re} z \) : リアルパート \( z \)

\( \displaystyle{ \mathrm{Im}\ \color{gray}{z} } \) 【虚部】

複素数の虚部をあらわす. \[ \mathrm{Im}\left[ a + b i \right]= b \quad ( a, b \in \mathbb{R} ) \notag \]

\( \mathrm{Im} z \) : イマジナリパート \( z \)

\( \displaystyle{ \arg \color{gray}{z} } \) 【偏角】

極形式の複素数( \( z = r \left( \cos{\theta} + i \sin{\theta} \right) \) )の偏角をあらわす. \[ \arg z = \theta \notag \]

\( \arg z \) : アーグ \( z \)

特殊な文字

\( \displaystyle{ \pi } \) 【円周率】

円周率. \[ \pi = 3.14159\cdots \notag \]

\( \pi \) : パイ

\( \displaystyle{ e } \) 【ネイピア数 / 自然対数の底】

次の極限値をネイピア数という. \[ \begin{aligned} e &= \lim_{n \to \infty}\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \\ &= 2.71828\cdots \end{aligned} \]

\( e \) : イー

\( \displaystyle{ \gamma } \) 【オイラーの定数】

次の極限値をオイラーの定数という. この極限値が有理数か無理数かはまだわかっていない. \[ \begin{aligned} \gamma & = \lim_{n \to \infty}\left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} – \log{n} \right) \\ & = 0.57721\cdots \end{aligned} \notag \]

\( \gamma \) : ガンマ

図形

\( \displaystyle{ \parallel } \) 【平行】

辺やベクトルが平行であることを意味する.

\( l \parallel m \) : \( l \) 平行(へいこう) \( m \)

\( \displaystyle{ \perp } \) 【垂直】

辺やベクトルが垂直であることを意味する.

\( l \perp m \) : \( l \) 垂直(すいちょく) \( m \)

\( \displaystyle{ \triangle \color{gray}{ABC}} \) 【三角形】

\( A, B, C \) を頂点とする三角形をあらわす.

\( \triangle ABC \) : 三角形(さんかくけい) \( ABC \)

\( \displaystyle{ \angle \color{gray}{ABC}} \) 【角】

線分 \( AB \) と線分 \( BC \) が点 \( B \) で成す角度をあらわす.

\( \angle ABC \) : (かく) \( ABC \)

\( \displaystyle{ \overline{ \color{gray}{AB} } } \) 【線分】

二つの点 \( A , B \) を結ぶ線分をあらわす. 省略されることもある.

\( \overline{ AB } \) : 線分(せんぶん) \( AB \) (の長さ)

\( \displaystyle{ \stackrel{\frown}{\color{gray}{AB}} } \) 【(円)弧】

円周上の二つの点 \( A , B \) を結ぶ弧をあらわす. このような弧は二つあるが短い方を劣弧, 長い方を優弧といい何も断りがなければ劣弧をあらわす.

\( \stackrel{\frown}{AB} \) : () \( AB \)

\( \displaystyle{ \sim } \) 【相似】

\( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) などと書いて \( \triangle ABC \) と \( \triangle DEF \) が相似であることをあらわす. 日本では”∽”という記号で表記されることが多い.

\( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) : 三角形(さんかくけい) \( ABC \) 相似(そうじ)三角形(さんかくけい) \( DEF \)

\( \displaystyle{ \cong , \equiv } \) 【合同】

\( \triangle ABC \equiv \triangle DEF \) などと書いて \( \triangle ABC \) と \( \triangle DEF \) が合同であることをあらわす.

\( \triangle ABC \equiv \triangle DEF \) : 三角形(さんかくけい) \( ABC \) 合同(ごうどう)三角形(さんかくけい) \( DEF \)

\( \displaystyle{ \color{gray}{a} {\phantom{\theta}}^{\circ} } \) 【度数法】

度数法による角度の表記法.

\( {60}^{\circ} \) : \( 60 \) ()

\( \displaystyle{ d(\color{gray}{P}, \color{gray}{Q}) } \) 【距離】

一般的には二つの点 \( P, Q \) の直線距離をあらわすが, 距離の定義の設定が文章ごとに異なることもある.

\( \displaystyle{ d(P, Q) } \) : \( d \) \( P \) \( Q \)

ベクトル

\( \displaystyle{ \overrightarrow{\color{gray}{a}}, \boldsymbol{\color{gray}{a}} } \) 【ベクトル】

ベクトルは, 文字の上に矢印” \( \rightarrow \) “をつけるか, 太字 \( \boldsymbol{a} \) であらわす.

\( \overrightarrow{a}, \boldsymbol{a} \) : ベクトル \( a \) , \( a \) ベクトル

\( \displaystyle{ || \boldsymbol{\color{gray}{a}} || , \left| \boldsymbol{\color{gray}{a}} \right| } \) 【ベクトルの長さ / ノルム】

ベクトルのノルム(長さ, 大きさ)をあらわす. ベクトル量の矢印を省いたり, 太字にしない場合もノルムをあらわす. \[ a = | \boldsymbol{a} | = || \boldsymbol{a} || \notag \]

\( \displaystyle{ || \boldsymbol{a} || } \) : ノルム \( a \) , \( a \) の(なが), \( a \) の(おお)きさ

\( \displaystyle{ \cdot } \) 【内積 / スカラー積】

二つのベクトル量の積がスカラー量となるような積. スカラー積ともいう.

\( a \cdot b \) : \( a \) ドット \( b \) , 内積(ないせき) \( a \) \( b \) , \( a \) \( b \) の内積(ないせき)

\( \displaystyle{ \times } \) 【外積 / ベクトル積】

二つのベクトル量の積が別のベクトル量となるような積. ベクトル積ともいう.

\( a \times b \) : \( a \) クロス \( b \) , 外積(がいせき) \( a \) \( b \) , \( a \) \( b \) の外積(がいせき)

指数・対数関数

\( \displaystyle{ \exp } \) 【指数関数】

\( \displaystyle{ \exp{\left[ x \right]} } \) などと書き \( e^{x} \) をあらわす.

エクスポネーシャル, イー

\( \displaystyle{ \log_{a}{b} } \) 【対数関数】

\( a \) を底, \( b \) を真数とした対数関数.

ログ

\( \displaystyle{ \log_{10}{x}, \log{x} } \) 【常用対数】

\( 10 \) を底とした対数を常用対数という. 常用対数を用いていることが文脈から明らかな場合, 底 \( 10 \) を省略する場合もある. ただし, 物理では底を省略した場合には次の自然対数を意味することが多いので注意.

ログ

\( \displaystyle{ \log_{e}{x}, \log{x}, \ln{x} } \) 【自然対数】

ネイピア数 \( e \) を底とした対数を自然対数という. 自然対数を用いていることが文脈から明らかな場合, 底 \( e \) を省略する場合もある. 大学以上の物理では \( \displaystyle{ \ln{x} } \) で表記することが多い.

ログ

三角関数と双曲線

\( \displaystyle{ \sin } \) 【正弦関数】

三角関数の一種. \( \sin{ \left( \theta \right) } \) もしくは \( \sin{ \theta } \) などと書いたとき, \( \theta \) を位相という.

サイン

\( \displaystyle{ \cos } \) 【余弦関数】

三角関数の一種.

コサイン

\( \displaystyle{ \tan } \) 【正接関数】

三角関数の一種.

タンジェント

\( \displaystyle{ \sec } \) 【正割関数】

余弦関数の逆数. (逆関数ではない) \[ \sec{\theta} \mathrel{\mathop:}= \frac{1}{\cos{\theta}} \notag \]

セカント

\( \displaystyle{ \csc , \mathrm{cosec} } \) 【余割関数】

正弦関数の逆数. (逆関数ではない) \[ \csc{\theta} \mathrel{\mathop:}= \frac{1}{\sin{\theta}} \notag \]

コセカント

\( \displaystyle{ \cot } \) 【余接関数】

正接関数の逆数. (逆関数ではない) \[ \cot{\theta} \mathrel{\mathop:}= \frac{1}{\tan{\theta}} \notag \]

コタンジェント

逆三角関数

\( \displaystyle{ \mathrm{asin} , \arcsin , \sin^{-1} } \) 【逆正弦関数】

正弦関数の逆関数. (逆数ではない)

\( y = \sin{x} \iff x = \sin^{-1}{y} \)

アークサイン

\( \displaystyle{ \mathrm{acos} , \arccos , \cos^{-1} } \) 【逆余弦関数】

余弦関数の逆関数. (逆数ではない)

\( y = \cos{x} \iff x = \cos^{-1}{y} \)

アークコサイン

\( \displaystyle{ \mathrm{atan} , \arctan , \tan^{-1} } \) 【逆正接関数】

正接関数の逆関数. (逆数ではない)

\( y = \tan{x} \iff x = \tan^{-1}{y} \)

アークタンジェント

双曲線関数

\( \displaystyle{ \sinh } \) 【双曲線正弦関数】

次式で定義される. \[ \sinh{x} \mathrel{\mathop:}= \frac{e^{x} – e^{-x}}{2} \notag \]

ハイパボリックサイン

\( \displaystyle{ \cosh } \) 【双曲線余弦関数】

次式で定義される. この曲線は懸垂曲線(けんすいきょくせん)またはカテナリーと言われ、紐状の物体の両端を持ってたらした時の曲線の形状である. \[ \cosh{x} \mathrel{\mathop:}= \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} \notag \]

ハイパボリックコサイン

\( \displaystyle{ \tanh } \) 【双曲線正接関数】

次式で定義される. \[ \tanh{x} \mathrel{\mathop:}= \frac{\sinh{x}}{\cosh{x}} = \frac{e^{x} – e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \notag \]

ハイパボリックタンジェント

微分・積分

\( \displaystyle{ \to } \) 【近づける】

左辺を右辺に近づけることを意味する.

\( x \to a \) : \( x \) が \( a \) (に近づく)

\( \displaystyle{ \lim } \) 【(両側)極限】

極限操作を意味する. \( \displaystyle{ \lim_{x \to x_{0}} } \) と書いて, \( x \) を \( x_{0} \) に近づける操作を行う.

\( \displaystyle{ \lim_{x \to x_{0}} f(x)} \) : リミット \( f(x) \) \( x \) が \( x_{0} \) (に近づく)

\( \displaystyle{ \lim_{\color{gray}{x} \to \color{gray}{x_{0}}-0}, \lim_{\color{gray}{x} \to 0-} } \) 【左極限】

\( x_0 \) よりも小さな値から \( x \) を \( x_{0} \) に近づける操作を意味する. \( x_{0} =0 \) の場合には 省略した記法 \( \lim_{x \to 0-} \) を用いる.

\( \displaystyle{ \lim_{\color{gray}{x} \to \color{gray}{x_{0}}+0}, \lim_{\color{gray}{x} \to 0+} } \) 【右極限】

\( x_0 \) よりも大きな値から \( x \) を \( x_{0} \) に近づける操作を意味する. \( x_{0} =0 \) の場合には 省略した記法 \( \lim_{x \to 0+} \) を用いる.

\( \displaystyle{ \frac{d \color{gray}{f}}{d\color{gray}{x}} } \) 【微分(ライプニッツの記法)】

\( f \) を \( x \) で微分することをあらわす. \( df \) 割る \( dx \) ではないのだが, 形式的に分数のように扱える一面もある.

\( \displaystyle{ \frac{df}{dx} } \) : \( d \) \( f \) \( d \) \( x \)

\( \displaystyle{ \frac{d^{2}\color{gray}{f}}{d\color{gray}{x}^{2}}, \frac{d^{n}\color{gray}{f}}{d\color{gray}{x}^{n}} } \) 【高次の微分(ライプニッツの記法)】

\( \displaystyle{ \frac{d^{n}f}{dx^{n}} } \) で関数 \( f \) を \( x \) で \( n \) 階微分したことをあらわす.

\( \displaystyle{ \frac{d^{n}f}{dx^{n}} } \) : \( d \) \( n \) 乗 \( f \) \( d \) \( x \) \( n \) 乗, \( d \) \( n \) \( f \) \( d \) \( x \) \( n \) 乗

\( \displaystyle{ \displaystyle{ \left. \frac{d \color{gray}{f(x)}}{d\color{gray}{x}} \right|_{\color{gray}{x=a}}} } \)

\( f(x) \) を \( x \) で微分した微分係数に \( x =a \) を代入した値をあらわす.

\( \displaystyle{ \color{gray}{f}’, \color{gray}{f}’\color{gray}{(x)} } \) 【微分(ラグランジュの記法)】

関数 \( f \) をその変数で微分することをあらわす.

\( f’ \) : \( f \) ダッシュ, \( f \) プライム

\( f'(x) \) : \( f \) ダッシュ \( x \) , \( f \) プライム (オブ) \( x \)

\( \displaystyle{ \color{gray}{f}'', \color{gray}{f}^{(n)} } \) 【高次の微分(ラグランジュの記法)】

\( f'' \) もしくは \( f^{(2)} \) で関数 \( f \) をその変数で2階微分したことをあらわす.

\( f'' \) : \( f \) \( 2 \) ダッシュ, \( f \) \( 2 \) プライム

\( f^{(n)} \) : \( f \) \( n \) \( x \) , \( f \) \( n \) オブ \( x \)

\( \displaystyle{ \dot{\color{gray}{a}} } \) 【時間微分(ニュートンの記法)】

時間微分をあらわす. 物理学でよく使われる記号である.

ドット

\( \displaystyle{ \ddot{\color{gray}{a}} } \) 【時間2階微分(ニュートンの記法)】

時間2階微分をあらわす. 点の数を増やしただけ時間微分の階数が上がることを意味する.

ツードット

\( \displaystyle{ \frac{ \partial \color{gray}{f(x, y)} }{ \partial \color{gray}{x}} } \) 【偏微分】

2変数関数 \( f(x, y) \) のうち, \( y \) を固定して \( x \) だけについて微分することをあらわす.

\( \displaystyle{ \frac{ \partial f }{ \partial x} } \) : デル \( f \) デル \( x \) , ラウンド(ディー) \( f \) ラウンド(ディー) \( x \)

\( \displaystyle{ \int } \) 【積分】

\( \displaystyle{ \int f(x) \ dx} \) で \( f(x) \) の不定積分をあらわす.

\( \displaystyle{ \int f(x) \ dx} \) : インテグラル \( f(x) \) \( dx \)


\( \displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x) \ dx} \) で \( a \) から \( b \) までの \( f(x) \) の定積分をあらわす.

\( \displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x) \ dx} \) : インテグラル \( a \) から \( b \) (までの) \( f(x) \) \( dx \)

\( \displaystyle{ \int_{C} , \oint_{C} } \) 【経路積分, 周回積分】

経路 \( C \) に沿った線積分. \( \oint_{C} \) は閉じた経路 \( C \) に沿った線積分, すなわち周回積分をあらわす.

\( \displaystyle{ \iint , \iint_{D} } \) 【(二)重積分】

(面 \( D \) 内部の)2重積分. 面積分.

\( \displaystyle{ \iiint } \) 【(三)重積分】

3重積分. 体積積分.

\( \displaystyle{ \partial \color{gray}{S} } \) 【閉領域】

閉領域 \( S \) の境界.

\( \displaystyle{ d\color{gray}{f} } \) 【全微分】

\( f \) の全微分. \[ df(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy \notag \]

\( df \) : \( d \) \( f \)

\( \displaystyle{ J , \frac{\partial (\color{gray}{f}, \color{gray}{g})}{\partial (\color{gray}{x}, \color{gray}{y})} , \frac{D (\color{gray}{f}, \color{gray}{g})}{D (\color{gray}{x}, \color{gray}{y})} } \) 【ヤコビアン】

ヤコビアン.

ヤコビアン

\( \displaystyle{ \delta(\color{gray}{x}) } \) 【ディラックのデルタ関数】

ディラックのデルタ関数.

\( \delta(x) \) : デルタ \( x \)

\( \displaystyle{ o(\color{gray}{x^{n}}), O(\color{gray}{x^{n}}) } \) 【ランダウ記号】

\( o(x^{n}) \) は \( x^{n} \) より高次の微小量をまとめており, \( O(x^{n}) \) は \( x^{n} \) 以上の高次の微小量をまとめていると思って良い. より詳しくは「その他」の項目で記述する.

\( \displaystyle{ \Delta } \) 【微小量 / 差分】

\( \Delta x \) などと書いて, 量 \( x \) の微小変化を表す. \( \Delta \) かける \( x \) ではない.

デルタ

\( \displaystyle{ \infty } \) 【無限大】

無限大をあらわす. 物理では, 注目量に対して十分に大きい量のを無限大に置き換えて計算することが多々有る.

\( \infty \) : 無限大

ベクトル解析

\( \displaystyle{ \mathrm{grad} , \nabla } \) 【勾配 / グラディエント】

ナブラ演算子. 勾配. \( \nabla \) は形式的なベクトルである.

グラディエント

\( \displaystyle{ \mathrm{div} } \) 【発散 / ダイバージェンス】

発散. ( \( \mathrm{div} \boldsymbol{A} = \nabla \cdot \boldsymbol{A} \) )

ダイバージェンス

\( \displaystyle{ \mathrm{rot} , \mathrm{curl} } \) 【回転 / ローテーション】

回転. ( \( \mathrm{rot} \boldsymbol{A} = \nabla \times \boldsymbol{A} \) )

ローテーション

\( \displaystyle{ \Delta } \) 【ラプラシアン演算子】

次式で定義される. \[ \Delta \mathrel{\mathop:}= \mathrm{div}(\mathrm{grad}) = \nabla \cdot \left( \nabla \right) \notag \]

ラプラシアン

論理

\( \displaystyle{ \lnot , \bar{\phantom{a}} } \) 【否定】

命題 \( P \) の否定を意味する.

\( \lnot P \) : ノット \( P \) , \( P \) (の)バー

\( \displaystyle{ \land } \) 【論理積 / かつ】

論理積(”かつ”).

\( p \land q \) : \( p \) かつ \( q \)

\( \displaystyle{ \lor } \) 【論理和 / または】

論理和(”または”).

\( p \land q \) : \( p \) または \( q \)

\( \displaystyle{ \to, \Rightarrow } \) 【ならば】

左辺は右辺の十分条件.

\( p \Rightarrow q \) : \( p \) ならば \( q \)

\( \displaystyle{ \gets, \Leftarrow } \) 【ためには】

左辺は右辺の必要条件.

\( p \Leftarrow q \) : \( p \) であるためには \( q \)

\( \displaystyle{ \iff , \equiv, = } \) 【同値関係 / 必要十分】

左辺と右辺の命題の真偽は一致し, 互いに必要十分条件である.

\( p \iff q \) : \( p \) 同値(どうち) \( q \)

\( \displaystyle{ \forall } \) 【全称記号】

\( \forall x P(x) \) で「全ての \( x \) について \( P(x) \) である」ということを次式であらわす.

\( \forall x P(x) \) : \( P(x) \) をみたす (すべ)の \( x \) , \( P(x) \) をみたす 任意(にんい)の \( x \)

\( \displaystyle{ \exists } \) 【存在記号】

\( \exists x P(x) \) で「 \( P(x) \) となるある \( x \) が存在する」ということを次式であらわす.

\( \exists x P(x) \) : \( P(x) \) をみたすような \( x \) が存在する

集合

\( \displaystyle{ \left\{ \color{gray}{a_{1}} , \color{gray}{a_{2}} , \color{gray}{\cdots} \right\} } \) 【集合】

集合 \( A \) の要素が \( a_{1} , a_{2} , \cdots \) の場合, \( A = \left\{ a_{1} , a_{2} , \cdots \right\} \) と集合の要素をまとめてあらわす.

\( \displaystyle{ \left\{ \color{gray}{x} \mid \color{gray}{\mathcal{P}(x)} \right\} } \) 【集合】

条件 \( \mathcal{P}(x) \) を満たす \( x \) の集合. 例えば次式のような書き方をすると, \( A = \left\{ 2, 4, 6, 8 \right\} \) という集合を表していることになる. \[ A = \left\{ x \mid \exists n[ n \in \mathbb{N} \land x=2n ]\land 0 < x < 10 \right\} \notag \]

\( \displaystyle{ \bar{\color{gray}{A}} , \color{gray}{A}^{c} } \) 【補集合】

集合 \( A \) の補集合. 全集合が \( U \) のもと, \( A \) の補集合は \( A^{c} = U – A \)

\( \bar{A} \) : \( A \) (の)バー, \( A \) の補集合(ほしゅうごう)

\( A^{c} \) : コンプリメント \( A \) , \( A \) のコンプリメント, \( A \) の補集合(ほしゅうごう)

\( \displaystyle{ \varnothing , \emptyset } \) 【空集合】

空集合.

空集合(くうしゅうごう), (くう)

\( \displaystyle{ \in } \) 【集合要素】

左辺が右辺の集合の一要素であることをあらわす.

\( a \in A \) : \( a \) は \( A \) に(ぞく)する, \( a \) は \( A \) の(げん)

\( \displaystyle{ \ni } \) 【集合】

右辺が左辺の集合の一要素であることをあらわす.

\( A \ni a \) : \( A \) の要素(ようそ) \( a \) , \( A \) の(げん) \( a \)

\( \displaystyle{ \cup } \) 【和集合】

和集合. 共通集合.

\( A \cup B \) : \( A \) (むす) \( B \) , \( A \) カップ \( B \)

\( \displaystyle{ \cap } \) 【積集合】

積集合.

\( A \cap B \) : \( A \) (まじ)わり \( B \) , \( A \) キャップ \( B \)

\( \displaystyle{ \subseteq } \) 【部分集合】

部分集合

\( A \subseteq B \) : \( A \) (ふく)まれる \( B \)

\( \displaystyle{ \subset } \) 【(真)部分集合】

真部分集合. \( A \subset B \) とは, \( A \subseteq B \) かつ \( A \neq B \) のことを意味するが, 幾つかの流儀があるので書類によって定義を確認する必要がある.

\( A \subset B \) : \( A \) (ふく)まれる \( B \)

\( \displaystyle{ \supseteq } \) 【部分集合を元として含む】

部分集合を元として含む

\( A \supseteq B \) : \( A \) (ふく) \( B \)

\( \displaystyle{ \supset } \) 【(真)部分集合を元として含む】

真部分集合を元として含む

\( A \supset B \) : \( A \) (ふく) \( B \)

\( \displaystyle{ \color{gray}{f} : \color{gray}{X} \to \color{gray}{Y} } \) 【写像】

集合 \( X \) から \( Y \) への写像を意味する.

\( f \) \( X \) から \( Y \)

\( \displaystyle{ \color{gray}{f} : \color{gray}{x} \mapsto \color{gray}{y=f(x)} } \) 【写像】

写像 \( f \) によって \( x \ni X \) が \( y \ni Y \) に移ることを意味する.

\( \displaystyle{ \mathbb{N} } \) 【自然数】

自然数全体の集合. \( 1, 2, 3, \cdots \) と続く数の集合であり、高校教育では普通, \( 0 \) を自然数に含めない[1]. \[ \begin{aligned} \mathbb{N} &= \left\{ 1, 2, 3, \cdots \right\} \\ -\mathbb{N} &= \left\{ \cdots , -3, -2, -1 \right\} \end{aligned} \]

\( \displaystyle{ \mathbb{Z} } \) 【整数】

整数全体の集合. \[ \mathbb{Z} = \mathbb{N} \cup \left( -\mathbb{N} \right) \cup \left\{ 0 \right\} \notag \]

\( \displaystyle{ \mathbb{Q} } \) 【有理数】

有理数全体の集合. \[ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \right\}\notag \]

\( \displaystyle{ \mathbb{R} } \) 【実数】

実数全体の集合. \( \mathbb{R}^{2} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) で平面を, \( \mathbb{R}^{3} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) で空間をあらわす.

\( \mathbb{R}^{2} \) : アール \( 2 \)

\( \displaystyle{ \mathbb{C} } \) 【複素数】

複素数全体の集合.

\( \displaystyle{ \aleph } \) 【無限の濃度】

無限の濃度. 濃度とは個数を一般化した概念で, 対象とした集合の数が有限の場合には濃度は個数に一致する.

アレフ

\( \displaystyle{ \aleph_{0} } \) 【自然数全体の無限の濃度】

自然数全体の無限の濃度. ある集合の全ての数が自然数を用いて番号付けすることができるような集合の濃度をあらわす. 有理数も \( \displaystyle{ \aleph_{0} } \) である.

アレフ ゼロ, アレフ ヌル

\( \displaystyle{ \aleph_{1} } \) 【実数全体の無限の濃度】

\( \displaystyle{ \aleph_{0} } \) よりも濃度が大きい(濃い)ような集合の場合, \( \displaystyle{ \aleph } \) の添え字が大きくなる. \( \displaystyle{ \aleph_{1} } \) は無限にある無理数の集合や実数の集合の濃度にあたる.

アレフ ワン

確率

\( \displaystyle{ {}_{\color{gray}{n}}\mathrm{P}_{\color{gray}{r}} } \) 【順列】

\( n \) 個の対象から \( r \) 個を取り出すとき, その順序まで含めた場合の数を次式で表す. \[ {}_{n}\mathrm{P}_{r} \mathrel{\mathop:}= \frac{n!}{\left( n-r \right)!} \notag \]

\( {}_n\mathrm{P}_{r} \) : \( n \) \( P \) \( r \)

\( \displaystyle{ {\color{gray}{n} \choose{\color{gray}{r}} } , {}_{\color{gray}{n}}\mathrm{C}_{\color{gray}{r}} } \) 【二項係数】

\( n \) 個の対象から \( r \) 個を取り出すとき, その順序を考慮しない場合の数. 次式の二項定理に登場する係数 \[ \begin{aligned} & \left( a + b\right)^{n} = \sum_{r=0}^{n} {}_{n}C_{r}a^{n-r}b^{r} \\ & {}_{n}\mathrm{C}_{r} \mathrel{\mathop:}= \frac{n!}{\left( n-r \right)! r!} \end{aligned} \]

\( {}_n\mathrm{C}_{r} \) : \( n \) \( C \) \( r \)

\( \displaystyle{ {n \choose{r} } } \) : ()()わせ \( n \) \( r \)

\( \displaystyle{ P( \color{gray}{A} ) } \) 【確率】

事象 \( A \) の起きる確率を意味する.

\( \displaystyle{ P( A ) } \) : \( P \) \( A \)

\( \displaystyle{ P(\color{gray}{B} \mid \color{gray}{A} ) , P_{\color{gray}{A}}(\color{gray}{B}) } \) 【条件付き確率】

事象 \( A \) のもと, 事象 \( B \) の起きる(条件付き)確率を次式で定義する. \[ P(B \mid A) \mathrel{\mathop:}= \frac{ P(A \cap B) }{ P(A) } \notag \]

\( P \) \( B \) ギブン \( A \) , \( A \) が与えられた時の \( B \) の起きる確率

統計

\( \displaystyle{ E(\color{gray}{X}), \bar{\color{gray}{X}}, \mu } \) 【平均値 / 期待値】

確率変数 \( X \) の平均値または期待値.

\( \displaystyle{ V(\color{gray}{X}), s^2 , \sigma^2, \sigma_{\color{gray}{X}}^{2} } \) 【分散】

確率変数 \( X \) の分散.

\( \displaystyle{ s , \sigma, \sigma_{\color{gray}{X}} } \) 【標準偏差】

確率変数 \( X \) の標準偏差.

\( \displaystyle{ s_{\color{gray}{XY}}, \sigma_{\color{gray}{XY}}, \mathrm{Cov}(\color{gray}{X}, \color{gray}{Y}) } \) 【共分散】

二つの確率変数 \( X \) と \( Y \) の共分散.

\( \displaystyle{ r } \) 【相関係数】

二つの確率変数 \( X \) と \( Y \) の相関係数.

\( \displaystyle{ M } \) 【中央値 / 第2四分位数】

確率変数 \( X \) の中央値.

\( \displaystyle{ Q_{1} , Q_{3} } \) 【第1四分位数, 第3四分位数】

確率変数 \( X \) の中央値.

その他

\( \displaystyle{ \left( \phantom{a} \right) } \)

括弧. 括弧の優劣は日本では \( \left[ \left\{ \left( \right) \right\} \right] \) という流儀が目立つが, \( \left\{ \left[ \left( \right) \right] \right\} \) という流儀も一般的である.

括弧(かっこ)

\( \displaystyle{ \left\{ \phantom{a} \right\} } \)

波括弧.中括弧ともいう.

波括弧(なみかっこ), 中括弧(ちゅうかっこ)

\( \displaystyle{ \left[ \phantom{a} \right] } \)

角括弧.大括弧ともいう.

角括弧(かくかっこ), 大括弧(だいかっこ)

\( \displaystyle{ \therefore } \)

結論を示す時に用いる

ゆえに, したがって

\( \displaystyle{ \because } \)

考慮した数式などを示す前に用いる.

なぜならば

\( \displaystyle{ \mathrm{Q.E.D.} , \blacksquare } \)

“証明終わり”を意味する記号.

\( \mathrm{Q.E.D.} \) : キューイーディー

\( \displaystyle{ \mathrm{etc.} } \)

“その他”をあらわす記号.

\( \mathrm{etc.} \) : エトセトラ

\( \displaystyle{ \mathrm{e.g.} } \)

“具体例”をあらわす記号.

\( \mathrm{e.g.} \) : イージー

\( \displaystyle{ \mathrm{i.e.} } \)

“言い換え”をあらわす記号.

\( \mathrm{i.e.} \) : アイイー

\( \displaystyle{ \mathrm{cf.} } \)

“参考”をあらわす記号.

\( \mathrm{cf.} \) : シーエフ

\( \displaystyle{ \left[ \color{gray}{a} , \color{gray}{b} \right] } \) 【閉区間】

\( a \) 以上 \( b \) 以下の領域. \[ \left[ a , b \right] \left\{ x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b \right\} \notag \]

閉区間(へいくかん)

\( \displaystyle{ \left( \color{gray}{a} , \color{gray}{b} \right) } \) 【開区間】

\( a \) より大きく \( b \) 未満の領域. \[ \left( a , b \right) \mathrel{\mathop:}= \left\{ x \in \mathbb{R} \mid a < x < b \right\} \notag \]

開区間(かいくかん)

\( \displaystyle{ \left( \color{gray}{a} \right. , \left. \color{gray}{b} \right] , \left[ \color{gray}{a} \right. , \left. \color{gray}{b} \right) } \) 【左開区間, 右開区間】

\[ \left( a \right. , \left. b \right] \mathrel{\mathop:}= \left\{ x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b \right\} \notag \] \[ \left[ a \right. , \left. b \right) \mathrel{\mathop:}= \left\{ x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b \right\} \notag \]

左開区間(ひだりかいくかん), 右開区間(みぎかいくかん)

\( \displaystyle{ \max } \) 【最大値】

最大値.

マックス

\( \displaystyle{ \min } \) 【最小値】

最小値.

ミニマム

\( \displaystyle{ \sup } \) 【最小上界】

上界(じょうかい)の最小値.

スップ

\( \displaystyle{ \inf } \) 【最大下界】

下界(かかい)の最大値.

インフ

\( \displaystyle{ \color{gray}{f}^{-1} } \) 【逆関数】

関数 \( f \) の逆関数.

\( f \) インバース

\( \displaystyle{ \mathrm{G.C.M} } \) 【最大公約数】

最大公約数(Greatest Common Measure)の略. \( \mathrm{G.C.M}\left\{ 70 , 21 \right\} = 7 \) のように用いる.

ジー シー エム

\( \displaystyle{ \mathrm{L.C.M} } \) 【最小公倍数】

最小公倍数(Least Common Multiple)の略. \( \mathrm{L.C.M}\left\{ 11 , 13 \right\} = 143 \) のように用いる

エル シー エム

\( \displaystyle{ o(\color{gray}{x^n}) } \) 【ランダウの記号】

\( f(x) = o(g(x)) \quad ( x \to a ) \) とは次式を意味する. \[ \lim_{x \to a } \left| \frac{f(x)}{g(x)} \right| = 0 \notag \] ここで, \( a =0 \) の場合には \( ( x \to a ) \) の部分を省略する.

物理では高次の微小量を無視する操作がよく登場するが, その微小量をまとめて表すときなどに便利である. 例えば \[ \begin{aligned} e^{x} & = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} +\cdots \\ & = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + o(x^2) \end{aligned} \] と書ける. なぜならば, \( f(x) = \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \) と \( g(x) = x^2 \) について, 次式が成立するからである. \[ \lim_{x \to 0 } \left| \frac{f(x)}{g(x)}\right| =\lim_{x \to 0 } \left| \frac{x}{3!} + \frac{x^2}{4!}+ \cdots \right| = 0 \notag \]

\( \displaystyle{ O(\color{gray}{x^n}) } \) 【ランダウの記号】

ランダウの記号 \( o \) とは異なるがその類似記号.

\( f(x) = O(g(x)) \quad ( x \to a ) \) とは次式を意味する. \[ \limsup_{x \to a } \left| \frac{f(x)}{g(x)} \right| < \infty \notag \] つまり, \( f(x) / g(x) \) が発散せずに有界であれば良い. 例えば \[ \begin{aligned} e^{x} & = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} +\cdots \\ & = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + O(x^3) \end{aligned} \] と書ける. なぜならば, \( f(x) = \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \) と \( g(x) = x^3 \) について, 次式が成立するからである. \[ \limsup_{x \to 0 } \left| \frac{f(x)}{g(x)}\right| =\lim_{x \to 0 } \left| \frac{1}{3!} + \frac{x}{4!}+ \cdots \right| = \frac{1}{3!} < \infty \notag \]


【参考文献】

最終更新日
微分方程式 数学公式まとめ



補足    (↵ 本文へ)
  1. \( 0 \) を自然数に含めるべきかどうかについて議論が見られるが、定義が適切になされてい[与えられてい]ればそれに従えばよい.

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