数学公式まとめ

物理ではたくさんの数学を用いるが, そのなかでも特に高校物理に関係深い数学を抜粋しておく. いちいち証明を載せないがわからなければ適宜調べておくこと.

三角関数

加法定理

三角関数の諸公式は全て加法定理から導くことができる.

\[ \sin{\left(\alpha \pm \beta\right)} = \sin{\alpha}\cos{\beta} \pm \cos{\alpha}\sin{\beta} \] \[ \cos{\left(\alpha \pm \beta\right)} = \cos{\alpha}\cos{\beta} \mp \sin{\alpha}\sin{\beta} \] \[ \tan{\left(\alpha \pm \beta\right)} =\frac{\tan{\alpha} \pm \tan{\beta}}{1 \mp \tan{\alpha}\tan{\beta}} \]

以下の公式は全て加法定理から導くことができる [1]. 各自一度は証明してみること. 数学公式を瞬時に導ける人になろう.

\[ \sin{\left( -\theta \right)} =-\sin{ \theta } \] \[ \cos{\left( -\theta \right)} = \cos{ \theta } \] \[ \tan{\left( – \theta\right)} =- \tan{ \theta } \] \[ \sin{\left( \theta \pm \frac{\pi}{2} \right)} = \pm \cos{ \theta } \] \[ \cos{\left( \theta \pm \frac{\pi}{2} \right)} = \mp \sin{ \theta } \] \[ \tan{\left( \theta \pm \frac{\pi}{2} \right)} =- \frac{1}{\tan{\theta}} \] \[ \sin{\left( \theta \pm \pi \right)} =- \sin{ \theta } \] \[ \cos{\left( \theta \pm \pi \right)} =- \cos{ \theta } \] \[ \tan{\left( \theta \pm \pi \right)} = \tan{\theta} \]

倍角の公式

\[ \sin{2\alpha} = 2 \sin{\alpha}\cos{\alpha} \] \[ \cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} – \sin^2{\alpha} = 1- 2 \sin^{\alpha} = 2\cos^2{\alpha} -1 \] \[ \tan{2\alpha} = \frac{2 \tan{\alpha}}{1-\tan^2{\theta}} \]

半角の公式

\[ \sin^2{\left( \frac{\alpha}{2} \right)} = \frac{1-\cos{\alpha}}{2} \] \[ \cos^2{\left( \frac{\alpha}{2} \right)} = \frac{1+\cos{\alpha}}{2} \] \[ \tan^2{\left( \frac{\alpha}{2} \right)} = \frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}} \]

和積の公式

\[ \sin{A}+\sin{B} = 2\sin{\left(\frac{A+B}2{}\right)}\cos{\left(\frac{A-B}2{}\right)} \] \[ \sin{A}-\sin{B} = 2\cos{\left(\frac{A+B}2{}\right)}\sin{\left(\frac{A-B}2{}\right)} \] \[ \cos{A}+\cos{B} = 2\cos{\left(\frac{A+B}2{}\right)}\cos{\left(\frac{A-B}2{}\right)} \] \[ \cos{A}+\cos{B} = 2\sin{\left(\frac{A+B}2{}\right)}\sin{\left(\frac{A-B}2{}\right)} \]

三角関数の合成

\[ a \sin{\theta} + b \cos{\theta} = \sqrt{a^2 + b^2}\sin{\left( \theta + \alpha\right)} \]

ただし, \( \alpha\)は次式を満たす. \[ \sin{\alpha} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \, \quad \cos{\alpha} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]

指数関数・対数関数

指数関数に登場する定義

\[ a^0 = 1 \] \[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \]

指数関数の公式

\[ a^r a^s = a^{r+s} \] \[ \left( a^r \right)^s = a^{rs} \] \[ \left( ab \right)^r = a^r b^r \]

対数関数に登場する定義

\[ a^p = M \iff p = \log_{a}{M} \iff \log_{a}{a^p} = p \] \[ \log_{a}{a} = 1 , \quad \log_{a}{1}=0 , \quad \log_{a}{\frac{1}{a}} =-1 \]

対数関数の公式

\[ \log_{a}{MN} = \log_{a}{M} + \log_{a}{N} \] \[ \log_{a}{\frac{M}{N}} = \log_{a}{M} – \log_{a}{N} \] \[ \log_{a}{M^{k}} = k \log_{a}{M} \] \[ \log_{a}{b} = \frac{ \log_{c}{b} }{ \log_{c}{a} } \] \[ \log_{a}{b} = \frac{1}{\log_{b}{a}} \] \[ \left( \log_{a}{b} \right) \left( \log_{b}{a} \right) = 1 \]

ベクトル

ベクトルの大きさ

ベクトル \( \overrightarrow{a} = \left( a_1 , a_2\right)\)の大きさは次式で表される. \[ \left| \overrightarrow{a} \right| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \] \(O \left( 0, 0 \right)\), \(A \left( a_1, a_2 \right)\), \(B \left( b_1 , b_2\right)\)の時, \[ \begin{gathered} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OA} = \left( b_1-a_1, b_2-a_2\right) \\ \left| \overrightarrow{AB} \right| = \sqrt{ \left( b_1-a_1 \right)^2 + \left( b_2-a_2 \right)^2 } \end{gathered} \]

内積

\( \overrightarrow{a} = \left( a_1 , a_2\right) \neq \overrightarrow{0}\), \( \overrightarrow{b} = \left( b_1 , b_2\right) \neq \overrightarrow{0}\), ベクトル \( \overrightarrow{a}\)\( \overrightarrow{a}\)のなす角が \( \theta\)の時, 内積を次式で定義する. \[ \begin{gathered} \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right| \left| \overrightarrow{b} \right| \cos{\theta} \\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 \end{gathered} \]

ベクトルの平行条件

\[ \overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b} \quad \iff \quad \overrightarrow{b} = k \overrightarrow{a} \quad \iff \quad a_1 b_2 – a_2 b_1 = 0 \]

ベクトルの垂直条件

\[ \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \iff \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \iff a_1 b_1 + a_2 b_2 = 0 \]

微分・積分

関数の極限

関数 \(f(x)\)において \(x\)がある値 \( \alpha\)に限りなく近づくとき時, \(f(x)\)がある一定の値 \( \beta\)に限りなく近づくならば, \(f(x)\)\( \beta\)に収束すると言い次式のように表す. \[ \lim_{x \to \alpha} f(x) = \beta \]

ネイピア数

\[ \begin{align} e^x &= \lim_{n \to \infty} \left( 1+ \frac{x}{n} \right) \\ &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \end{align} \] \[ e = 2.71828\cdots \]

導関数

関数 \(f(x)\)の導関数 \(f'(x)\)は次式で定義される. \[ f'(x) = \frac{ d f(x) }{dx} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h} = \lim_{t \to x}\frac{f(t) – f(x)}{t-x} \]導関数を求める操作を微分するという.

微分の公式

\(k\), \(l\)を定数とする. \[ \frac{d }{dx}f(x) = f'(x) \] \[ \frac{d}{dx}\left( k f(x) + l g(x) \right) = \left( k f'(x) + l g'(x) \right) \] \[ \frac{d}{dx}\left( f(x) g(x) \right)' = f'(x)g(x) + f(x) g'(x) \] \[ \frac{d}{dx}\left\{\frac{f(x) }{ g(x) }\right\}' = \frac{f'(x)g(x) – f(x) g'(x)}{\left\{ g^{2}(x)\right\}} \] \[ \frac{d}{dx}\left\{ f(g(x)) \right\}' = f'(g(x)) g'(x) \] \[ \frac{d }{dx} x^{n} = nx^{n-1} \] \[ \frac{d }{dx} \sin{x} = \cos{x} \] \[ \frac{d }{dx} \cos{x} =-\sin{x} \] \[ \frac{d }{dx} \tan{x} = \frac{1}{\cos^2{x}} \] \[ \frac{d }{dx} \sin{Ax} = A\cos{x} \] \[ \frac{d }{dx} \cos{Ax} =-A\sin{x} \] \[ \frac{d }{dx} e^{x} = e^{x} \] \[ \frac{d }{dx} e^{Ax} = Ae^{Ax} \] \[ \frac{d }{dx} a^{x} = a^x \log_e a \] \[ \frac{d }{dx} \log_e{\left| x \right|} = \frac{1}{x} \] \[ \frac{d }{dx} \log_a{\left| x \right|} = \frac{1}{x\log_{e}{a}} \]

近似式

\[ f(a + h) = f(a) + f'(a) h \] \[ \left( 1+ x \right)^n = a + nx \]

不定積分

\(F'(x)=f(x)\)の時, 不定積分を次式で定義する. \[ \int f(x) \ dx = F(x) + C \] \(C\)は積分定数である.

積分の公式

\[ \int k f(x)\ dx = k \int f(x)\ dx \] \[ \int \left\{ k f(x) + l g(x) \right\} \ dx = k \int f(x) \ dx + l \int g(x) \ dx \] \[ \int x^{n} \ dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C \] \[ \int \sin(\theta) \ d\theta =-\cos{\theta} + C \] \[ \int \cos(\theta) \ d\theta = \sin{\theta} + C \] \[ \int \sin(A\theta) \ d\theta =-\frac{1}{A} \cos{\theta} + C \] \[ \int \cos(A\theta) \ d\theta = \frac{1}{A} \sin{\theta} + C \] \[ \int e^x \ dx = e^x + C \] \[ \int e^{Ax} \ dx = \frac{1}{A}e^{Ax} + C \] \[ \int a^{x} \ dx = \frac{a^{x}}{\log_{e}{a}} + C \] \[ \int \frac{1}{x} \ dx = \log_{e}{\left| x \right|} + C \]

置換積分

\[ \int f(x) \ dx = \int f(g(t))g'(t) \ dt \] \[ \int f(g(x))g'(x) \ dx = \int f(t) \] \[ \int \left\{ f(x)\right\}^{\alpha} g'(x) \ dx = \frac{ \left\{g(x)\right\}^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C \] \[ \int \frac{g'(x)}{g(x)} \ dx = \log_{e}{\left\| g(x) \right\|} + C \]

部分積分

\[ \int f(x) g'(x) \ dx = f(x)g(x) – \int f'(x)g(x) \ dx \]

数学記号まとめ



補足    (↵ 本文へ)
  1. ちなみに, 過去の東大入試で加法定理の証明をする問題が出ました.

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