単位と次元

次元
次元解析
[補足]次元が異なる量の四則計算


次元

単位と次元

物理量の単位基本単位の組み合わせによってできている(単位一覧). そして, 物理量の単位が基本単位をどのように組み合わせているのか表現しているもの次元という[1].

力学では主に \( \mathrm{kg} \) (キログラム), \( \mathrm{m} \) (メートル), \( \mathrm{s} \) (秒)を基本単位として扱い, その次元をそれぞれ \( \mathrm{M} \) , \( \mathrm{L} \) , \(\mathrm{T} \) などと表す.

また, ある量 \( A \)が持っている次元のことを \( [A] \) あるいは, \( \mathrm{dim}\, A \) と表記することにする. もし, 量 \( A \) がメートルの次元を持っているのであれば, \( [A] = \mathrm{L} \) といった具合である.

基本単位 (記号)

次元の記号

長さ (Length)

メートル ( \( \mathrm{m} \) )

\( \mathrm{L} \)

質量 (Mass)

キログラム ( \( \mathrm{kg} \) )

\( \mathrm{M} \)

時間 (Time)

秒 ( \( \mathrm{ s } \) )

\( \mathrm{ T } \)

電流

アンペア ( \( \mathrm{ A } \) )

\( \mathrm{ I } \)

熱力学温度

ケルビン ( \( \mathrm{ K } \) )

\( \mathrm{ \Theta } \)

物質量

モル ( \( \mathrm{ mol } \) )

\( \mathrm{ N } \)

光度

カンデラ ( \( \mathrm{ cd } \) )

\( \mathrm{ J } \)

単位と次元の違い

長さを表す単位としては \( \mathrm{m} \) の他にも, \( \mathrm{km} \) , \( \mathrm{cm} \) などがあるが, これらはすべて \( 10^3 \ \mathrm{m} \) , \( 10^{-2}\ \mathrm{m} \) など, 長さの基本単位 \( \mathrm{m} \) の定数倍で表現することができる.

次元は単位の組み合わせを表現したものであるので, \( \mathrm{m} \) , \( \mathrm{km} \) , \( \mathrm{cm} \) の次元はどれも \( \mathrm{L} \) ということになる.

同様に, 速度を表す単位として \( \mathrm{cm/s} \) , \( \mathrm{km/h} \) などがあるが, これらの単位も基本単位である \( \mathrm{m} \) と \( \mathrm{s} \) を組み合わせた \( \mathrm{m/s} \) の定数倍で表すことができる. このような(長さ)/(時間)の単位を持つ量の次元を \( \mathrm{LT^{-1}} \) と表す.

他の物理量についてもこのように単位の組み合わせを次元で表現することができる.

無次元量

次元を持っていない量を無次元量という. 無次元量は単に数学的な数字や, 同じ次元を持つ物理量の比で定義された量などがある.

後者の例として, 動摩擦係数 \( \mu’ \) について考える. 動摩擦係数は運動中の物体が床から受ける垂直抗力が \( N \) ならば, \[ F = \mu’ N\notag \] という摩擦力 \( F \) が働いていることを表す時に使われる比例係数である. ここで, 左辺の \( F \) と右辺の垂直抗力 \( N \) はどちらもニュートンという単位( \( \mathrm{N} = \mathrm{kg \cdot m / s^2} \) , 次元は \( \mathrm{MLT^{-2}} \) )を持っているので, \( \mu’ \) は次元を持っていてはいけない. つまり, \( \displaystyle{ \mu’ = \frac{F}{N} } \) という同じ次元を持つ物理量同士の比率を表す量は無次元量である.

別の例としては, 角度 \( \theta \) を表す単位であるラジアン( \( \mathrm{rad} \) )も無次元量である. ラジアンの定義は扇型の弧の長さ \( l \) を扇型の半径 \( r \) で割った量である(弧度法). \[ \theta = \frac{l}{r} \quad .\notag \]

\( r \) も \( l \) も長さを表しているので両者の次元はともに \( \mathrm{L} \) であり, その比である角度 \( \theta \) は無次元量ということになる.

代表的な無次元量としては, 角度 \( \theta \) , 摩擦係数 \( \mu \) , 反発係数 \( e \) , 熱効率 \( e \) , 屈折率 \( n \) などがある.

単位と次元

次元 :
物理量の単位がどのような基本単位の組み合わせでできているかを表す.

ある単位の定数倍で表現できる単位は全て同じ次元を持っている. 次元を持っていない量を無次元量という.

次元解析

次元解析とは次元を上手く利用して各物理量の間に成立する関係式を推定することである.

例として, 質量の無視できるの長さ \( l \) の糸の先に質量 \( m \) の質点をとりつけた振り子について考える. この場合の振り子の周期 \( T \) についてどんな関係式が成立するのかを類推しよう. まず, 「振り子を特徴づける量は \( l \) , \( m \) および重力加速度 \( g \) であるので, 振り子の周期もこれらの物理量の組み合わせで書き下せるだろう」と類推するのである[2]. 続いて, \[ T \propto m^{a}l^{b}g^{c}\notag \] と仮定する. ここで \( \propto \) は左辺が右辺に比例することを表す記号である. この両辺の次元が等しくなっていなくてはならないことを利用して \( a \) , \( b \) , \( c \) を決定していく. 両辺の次元は \[ \begin{split} [T] & = \mathrm{M}^{a} \mathrm{L}^{b} ( \mathrm{LT^{-2}})^{c} \\ & = \mathrm{M}^{a} \mathrm{L}^{(b+c)} \mathrm{T}^{-2c} \end{split}\notag \] であり, \( \mathrm{M} \) の指数 \( a \) については \[ 0 = a\notag \] であり, 同様にして \( \mathrm{L} \) 及び \( \mathrm{T} \) の指数についてはそれぞれ \[ \begin{aligned} 0 & = b + c \\ 1 & =-2c \end{aligned}\notag \] が成立するので, まとめると \[ \left\{ \begin{split} a & = 0 \\ b & = \frac{1}{2} \\ c & =- \frac{1}{2} \end{split} \right.\notag \] となる. これを元の式 \( T \propto m^{a}l^{b}g^{c} \) に代入すると, \[ T \propto \sqrt{ \frac{l}{g} }\notag \] という関係式が成立することが類推される. 実際, このような振り子の単振動の周期 \( T \) は \( \displaystyle{ \sqrt{ \frac{l}{g} } } \) に比例することを示すことができる. このように, 次元解析を行なうことで物理量の間に成立する関係式を類推することが可能である. しかし, 無次元の比例係数などは次元解析からは決定できないことに注意してほしい[3].

次元解析

物理量が次元をもっていることを利用して, 各物理量の間にどんな関係式が成立するのかを類推する手法. 逆に物理量が妥当な次元を持っているかどうかの検証にも使うことができる.

無次元の係数を決定することは出来ない. そのような係数は数式変形もしくは実験によって決定される.

[補足]次元が異なる量の四則計算

物理では計算がつきものであるが, 物理量が単位を持っているがゆえに気をつけることがある. 最も簡単な例は \[ 1\, \mathrm{m} + 1\,\mathrm{kg}\notag \] など, 次元が異なる量の和差計算である. このような計算を認めてしまった場合の不都合の例として \[ \begin{aligned} & 1\,\mathrm{m} + 1\, \mathrm{kg} = 0 \\ \Leftrightarrow & 1\, \mathrm{m} =- 1\,\mathrm{kg} \end{aligned}\notag \] など, 全く異なる単位がイコールで結ばれるという計算結果を導くことになる. 長さと質量は全く別の概念であるがゆえにこのような簡単な例一つをとっても両者の和差計算を認めるわけにはいかない. 結論として, 異なる物理量の和差計算はご法度である.

では, 次元を持つ物理量の乗除計算について考えてみよう. 例えば, \( a\ [\mathrm{m}] \) と \( b\ [\mathrm{s}] \) という二つの物理量の積 \[ a\ [\mathrm{m}] b\ [\mathrm{s}] = c\ [\mathrm{m \cdot s}]\notag \] を考えてみよう. \( \mathrm{m \cdot s} \) は確かに \( \mathrm{m} \) とも \( \mathrm{s} \) とも違う新しい単位であるが, \( \mathrm{m} \) にも \( \mathrm{s} \) にも比例する量という明確な物理的意味を与えることができる.

除法についても同様に \( a\ [\mathrm{m}] \) と \( b\ [\mathrm{s}] \) という二つの物理量をつかって \[ \frac{a\ [\mathrm{m}]}{b\ [\mathrm{s}]} = v \ [\mathrm{m/s}]\notag \] という計算を考えてみよう. \( v \) は \( \mathrm{m} \) に比例し, \( \mathrm{s} \) に反比例する量という明確な物理的意味を与えることができる. また, \( v \ [\mathrm{m/s}] \) に対して単位 \( \mathrm{s} \) を持つ量 \( t \) をかけると \( \mathrm{m} \) の単位を持つ量 \( vt \) へと変換することができる. したがって, \( v\ [\mathrm{m/s}] \) は単位時間( \( t=1\,\mathrm{s} \) )と距離 \( v \cdot 1 \, \mathrm{m} \) を結びつける物理量であることを意味している.

このように次元を持つ物理量であっても乗除計算は許される.

最終更新日
管理人
『単位』や『次元』の考え方は、是非とも高校生のみなさんにしっかり身につけてほしいと、高校物理や化学を教える人は願っているんですよ。
ねこ
そんなに重要なの?
管理人
ええ、とっても重要です!声を大にして訴えたいと思っています!
ねこ
あれ?なんか、火をつけちゃったかな?
管理人
例えば、熱力学で登場する物理定数に、ボルツマン定数 \( k_{B}= 1.38 \times 10^{23} \ \mathrm{J}/\mathrm{K} \) という定数があります。この定数のことを知らなくても、単位に注目することでこの定数の意味が明白になるんです
ねこ
そうなの?
管理人
そうなんです。 ボルツマン定数の単位には、”温度”の単位 \( [\mathrm{K}] \) (ケルビン)と”エネルギー”の単位 \( [\mathrm{J}] \) (ジュール)が含まれています。 ということは、「ボルツマン定数は温度とエネルギーを結びつける量」ということが単位を見るだけでわかるのです!
ねこ
あー、そう考えるとちょっと面白いかも。
管理人
この他にも『次元』については本論やマーク式試験のテクニックで紹介するように、実戦で役立つものでもあるので是非とも意識して勉強してくださいね。
ねこ
ういっす。ちょっと気にかけるようにしとくわ。
管理人
約束ですよー。
単位一覧 物理定数



補足    (↵ 本文へ)
  1. 文脈からもわかるように, 座標を指定するのに必要な数を表す次元とは別物である.

  2. ここで, 重力加速度 \( g \) が振り子の周期に関係する量として挙げた. 振り子運動はおもりが鉛直下向きに重力で引き寄せられているからこそ実現するのである. 後に議論するように, 無重力空間では振り子のおもりを静かに手放しても振動を始め無いだろうことが想像できるであろう. こう考えるとやはり振り子の周期に重力加速度は影響を与えると推察するのは妥当であろう.

  3. 次元解析の計算については以上であるが, ここで終わってしまっては物理の面白みがないので, 導いた結論にもう少しだけ考察を加えてみよう.

    まず振り子の単振動の周期 \( T \) と振り子の長さ \( l \) は \( \displaystyle{ T \propto \sqrt{l} } \) という関係にあるので, 振り子が長ければ長いほど周期も長くなる関係にあるので, 日常的な感覚とあっている.

    次に周期と重力加速度の関係について考えてみよう. \( \displaystyle{ T \propto \frac{1}{\sqrt{g}} } \) という関係にあるので, 重力加速度が小さいほど周期が長くなる. 極端な場合, 重力加速度がゼロの無重力状態では周期の計算結果が無限大となる. 無重力空間では振り子は振動をしない(=周期が無限大)だろうという想像は容易につくのでこれも日常的な感覚と合っている.

    最後に, 質量と振り子の単振動周期の間には関係がないと類推されていた. これは日常的な感覚とは少し異なっており本当かどうか実験で確かめてみたくなる面白さがある. しかし, この疑問については重力加速度と質量とを合わせて考えてみることでその意味が明らかとなる. つまり, おもりが質量を持って重力場中にいることで重力が作用していることこそが重要であり, おもりが感じる重力加速度が重力を通して振り子の周期に表れることを意味している.

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