張力が加えられた斜面上の物体

張力が加えられた斜面上の物体

下図に示すように, 水平面に対して角度 \( \alpha \) のなめらかな斜面を持つ固定された三角形の台座に, 糸が繋がれた質量 \( m \) の小物体をのせ, 斜面からの角度が \( \beta \) となるような角度で大きさ \( T \) の張力を小物体に加えると小物体は静止した.

このとき, 以下の問に答えよ. ただし, 重力加速度の大きさは \( g \) とする.

張力の大きさ \( T \) を \( m \) , \( g \) , \( \alpha \) , \( \beta \) を用いて求めよ.

小物体が台座から受ける垂直抗力の大きさ \( N \) を \( m \) , \( g \) , \( \alpha \) , \( \beta \) を用いて求めよ.

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運動方程式, または物体のつりあいと呼ばれる基本的な問題である.

運動方程式(もしくは物体のつりあい)を考えるときにまずすることは, 注目物体を決めることである. さらに, その物体が受けている(合)力を全て書き出して, 適切な座標軸を設定して運動方程式を立式することが目標である.(運動方程式). 物体に働く力としては, 重力, 電磁気力, 接触による力(抗力・張力・弾性力・浮力など)などが考えられる.

まず重力(大きさ \( mg \) )を図に書き込む. 続いては小物体が他の物体に接触してる箇所全てに注目する. 今回は三角形の台座と糸である. 台座の上面はなめらかであることから, 台座に沿った方向に力(=摩擦力)は生じず垂直抗力のみが存在することがわかる. また, 糸から受ける力は問題文に与えられているとおりである.

これらの力を全て書き出したのが下図である.

続いては, 座標軸を設定する. 座標軸の取り方は自由であるが, 今回は斜面に沿った方向とそれに対して垂直な方向とに座標軸をとることにする. 斜面上向きを \( x \) 軸の正方向, 斜面対して垂直方向上向きを \( y \) 軸の正方向とする.

はじめに書きだした力を各座標軸方向に分解する. これらの処理を行なった段階で下図となる.

あとは小物体の加速度を \( \boldsymbol{a} = \left( a_{x}, a_{y} \right) \) として小物体に対する運動方程式を書こう. 質量 \( m \) , 加速度 \( \boldsymbol{a} \) の物体に働く合力が \( \boldsymbol{F}=\left( F_{x}, F_{y}\right) \) であるときの運動方程式は次式である. \[m \boldsymbol{a} = \boldsymbol{F} \ \iff \ \left\{ \begin{aligned} m a_{x} &= F_{x} \\ m a_{y} &= F_{y} \end{aligned} \right.\]

したがって, 小物体に対する運動方程式は物体が静止している( \( \boldsymbol{a}=\boldsymbol{0} \) )であることから, \[\begin{align} & m a_{x} = F_{x} \notag \\ & \to \ m \cdot 0 = T \cos{\beta} – mg\sin{\alpha} \label{mafx} \\ & m a_{y} = F_{y} \notag \\ & \to \ m \cdot 0 = N + T \sin{\beta} – mg\cos{\alpha} \label{mafy} \end{align}\]

式\eqref{mafx}より, \[T=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\beta}}mg \quad . \label{ft} \]

式\eqref{ft}を式\eqref{mafy}に代入して, \( N \) について整理すると, \[\begin{aligned} N &= mg\cos{\alpha} – \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\beta}}mg \sin{\beta} \\ &= mg \left( \cos{\alpha} – \sin{\alpha} \tan{\beta} \right) \end{aligned}\]

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