斜面への斜方投射

斜面への斜方投射

時刻 \( t=0 \) において, 水平方向に対して角度 \( \alpha \) の斜面上から, 斜面に対して角度 \( \beta \) の方向に速さ \( v_{0} \) で小物体を投げた. このとき, 次の問に答えよ. ただし重力加速度の大きさは \( g \) であり, \( \alpha, \beta \) は \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \) , \( 0 < \beta < \frac{\pi}{2} \) , \( 0< \alpha + \beta < \frac{\pi}{2} \) を満たしているとする.

小物体が斜面に衝突するまでの時間 \( T \) を求めよ.

小物体を投げた位置から最初に斜面に衝突するまでの距離 \( L \) を求めよ.

速さ \( v_{0} \) , 角度 \( \alpha \) を一定に保ち, 角度 \( \beta \) を様々に変化させる. このとき, 距離 \( L \) を最大にするための \( \beta \) の条件を \( \alpha, v_{0}, g \) のうち, 必要なものを用いて答えよ.

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まずは座標軸を設定する.

今回は水平方向右向きを \( x \) 軸の正方向, 鉛直方向上向きを \( y \) 軸の正方向とする.

粒子の位置座標を \( \left(x, y\right) \) とすると, 時刻 \( t \) における物体の位置座標はそれぞれ \[\begin{align} x &=v_{0}\cos{\left( \alpha + \beta \right)} \, t \label{x1}\\ y &=- \frac{g}{2}t^{2} + v_{0}\sin{\left( \alpha + \beta \right)} \, t \label{y1} \end{align}\] で与えられる.

また, この座標軸において斜面をあらわす直線の方程式は \[y = \tan{\alpha} \, x \label{sha1}\] であり, 小物体が斜面に衝突する座標は \[\left( L \cos{\alpha}, L\sin{\alpha} \right) \label{shaza1}\] で与えられる.

小物体が斜面に衝突する位置は式\eqref{x1}及び式\eqref{y1}であらわされる小物体の位置座標 \( \left( x, y \right) \) が直線の式\eqref{sha1}上の座標 \( \left( L \cos{\alpha}, L\sin{\alpha} \right) \) に一致するときであることから, 時刻 \( t=T \) において次式が成立する. \[\begin{align} L \cos{\alpha} &= v_{0}\cos{\left( \alpha + \beta \right)} \, T \label{lx1}\\ L \sin{\alpha} &= – \frac{g}{2}T^{2} + v_{0}\sin{\left( \alpha + \beta \right)} \, T \quad . \label{ly1} \end{align}\] 式\eqref{ly1}の辺々を式\eqref{lx1}で割ると, \[\begin{aligned} & \tan{\alpha} = -\frac{g}{2v_{0}\cos{\left(\alpha+\beta\right)}}T + \tan{\left( \alpha + \beta\right)} \\ & \to \ T =\frac{2v_{0}\cos{\left( \alpha + \beta \right)}}{g}\left\{ \tan{\left(\alpha+\beta\right)-\tan{\alpha}}\right\} \\ & \phantom{ \to \ T} =\frac{2v_{0}}{g\cos{\alpha}}\left\{ \sin{\left( \alpha+\beta\right)}\cos{\alpha} – \sin{\alpha}\cos{\left(\alpha+\beta\right)}\right\} \\ & \phantom{ \to \ T} =\frac{2v_{0}}{g\cos{\alpha}}\sin{\left\{ \left( \alpha + \beta \right)-\alpha\right\}}\end{aligned}\] \[\therefore \ T = \frac{ 2 v_{0} \sin{\beta} }{g\cos{\alpha}} \notag \]

\( t=T \) を式\eqref{lx1}に代入して整理すると, \[\begin{aligned} L &= \frac{v_{0}\cos{\left(\alpha+\beta\right)}}{\cos{\alpha}}\cdot \frac{2v_{0}\sin{\beta}}{g\cos{\alpha}} \\ &= \frac{2v_{0}^{2}\sin{\beta}\cos{\left(\alpha+\beta\right)}}{g\cos^{2}{\alpha}}\end{aligned}\] または, 三角関数の積和の公式を用いると, \[L= \frac{v_{0}^{2}}{g\cos^{2}{\alpha}} \left\{ \sin{\left( 2\beta + \alpha \right)} – \sin{\alpha} \right\}\]

\( v_{0} \) , \( \alpha \) が一定である時, \( L \) は \( \beta \) の関数とみなすことができるので, \( L \) が最大となるには, \[\sin{\left( 2\beta + \alpha \right)} \notag \] が最大となればよいことから, \[2\beta + \alpha = \frac{\pi}{2} \ \iff \ \beta = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} – \alpha \right) \notag \] が \( L \) を最大にする条件である.

座標軸の取り方は本来自由である. ここでは座標軸の取り方を少し工夫して取り組む解法を採用する.

本問で聞かれているのは斜面上での距離であるので, 斜面に沿った方向を座標軸の1つ( \( x \) 軸)とし, それに対して垂直な方向を \( y \) 軸とする.

このような座標系のもとでは重力加速度 \( g \) も各方向に分解して考えることになり, \( x \) 軸方向の重力加速度の大きさ \( g_{x} \) と \( y \) 軸方向の重力加速度の大きさ \( g_{y} \) とすると, \[\begin{aligned} g_{x} & = g\sin{\alpha} \\ g_{y} & = g\cos{\beta}\end{aligned}\] となる. このことに注意しつつ, 粒子の位置座標を \( \left(x, y\right) \) とすると, 時刻 \( t \) における物体の位置座標はそれぞれ \[\begin{align} x &=- \frac{g\sin{\alpha}}{2}t^{2} + v_{0}\cos{ \beta } \, t \label{x2}\\ y &=- \frac{g\cos{\alpha}}{2}t^{2} + v_{0}\sin{ \beta } \, t \label{y2} \end{align}\] で与えられる.

物体が斜面に衝突する時刻 \( t=T \) において, この座標軸では \( y=0 \) となることから式\eqref{y2}より, \[\begin{aligned} & 0 = – \frac{g\cos{\alpha}}{2}T^{2} + v_{0}\sin{ \beta } \, T \\ & \to \ T = \frac{ 2 v_{0} \sin{\beta} }{g\cos{\alpha}}\end{aligned}\]

\( t=T \) を式\eqref{x2}に代入して整理すると, \[\begin{aligned} L &= – \frac{g\sin{\alpha}}{2}\left( \frac{ 2 v_{0} \sin{\beta} }{g\cos{\alpha}} \right)^{2} + v_{0}\cos{ \beta } \cdot \frac{ 2 v_{0} \sin{\beta} }{g\cos{\alpha}} \\ &= \frac{2v_{0}^{2}\sin{\beta}}{g\cos^{2}{\alpha}} \left( \cos{\alpha}\cos{\beta} – \sin{\alpha}\sin{\beta}\right) \\ &= \frac{2v_{0}^{2}\sin{\beta}\cos{\left(\alpha+\beta\right)}}{g\cos^{2}{\alpha}} \quad .\end{aligned}\] または, 三角関数の積和の公式を用いると, \[L= \frac{v_{0}^{2}}{g\cos^{2}{\alpha}} \left\{ \sin{\left( 2\beta + \alpha \right)} – \sin{\alpha} \right\} \notag \]

\( v_{0} \) , \( \alpha \) が一定である時, \( L \) は \( \beta \) の関数とみなすことができるので, \( L \) が最大となるには, \[\sin{\left( 2\beta + \alpha \right)} \notag \] が最大となればよいことから, \[2\beta + \alpha = \frac{\pi}{2} \ \iff \ \beta = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} – \alpha \right) \notag \] が \( L \) を最大にする条件であるとなる.

または, \( L \) を \( \beta \) で微分すると, \[\begin{aligned} \frac{dL}{d\beta} &= \frac{v_{0}^{2}}{g\cos^{2}{\alpha}} \left\{ 2 \cdot \cos{\left( 2 \beta + \alpha \right)} \right\}\end{aligned}\] となり, \( \displaystyle{\frac{dL}{d\beta}=0} \) となるとき \( L \) が最大となるので, \[\cos{\left( 2\beta+\alpha \right) } =0 \quad .\notag \] したがって, \[2\beta + \alpha = \frac{\pi}{2} \ \iff \ \beta = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} – \alpha \right) \notag \] が \( L \) を最大にする条件である, としてもよい.

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