静電場中の斜方投射

静電場中の斜方投射

図のように, 正に一様に帯電した極板 \( A \) と負に一様に帯電した極板 \( B \) が平行に並べられ, 極板間の電位差は \( V \) , 極板間の距離は \( d \) であるとする.

時刻 \( t=0 \) において, 質量 \( m \), 電荷 \( -e \, (e > 0 ) \) の粒子を極板 \( A \)の左端から極板 \( A \) と成す角が \( \theta \, ( 0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}) \) となる向きに速さ \( v_{0} \) で放出した. 重力の影響を無視できる時, 次の問に答えよ.

ただし粒子によって極板間の電場は乱されることなく, 極板の端点における電場の歪みは無視できるものとする.

粒子が極板 \( B \) に接触しないためには電圧 \( V \) は \( V>V_{0} \) を満たさなくてはならない. \( V_{0} \) を \( m \) , \( v_{0} \) , \( e \) , \( \theta \) を用いて求めよ. 以下の設問では \( V>V_{0} \) が成立しているとする.

粒子が極板 \( A \) に再び達するまでに, 板に沿った方向の飛行距離 \( L \) をもとめよ.

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\( t=0 \) における粒子の位置を原点 \( O \) として, 極板 \( A \) に沿った方向を \( x \) 軸, 極板 \( A \) から極板 \( B \) へ向かう方向を \( y \) 軸とし, 時刻 \( t \) における粒子の位置 \( \boldsymbol{r} \) を \( \boldsymbol{r}=\left(x,y\right) \) とする.

極板間の電場は一様であるので, 電場 \( \boldsymbol{E} \)の大きさを \( E \) とすると, \[ V =Ed \ \iff \ E = \frac{V}{d} \notag \] が成立し, 向きまで考慮すれば, \[ \boldsymbol{E} = \left( 0, \frac{V}{d} \right) \notag \] である.

\( x \) 軸方向及び \( y \) 軸方向の運動方程式は \[\begin{aligned} m\frac{d^2 x }{dt^2} &= 0 \\ m\frac{d^2 y }{dt^2} &= -eE = -\frac{eV}{d} \end{aligned}\] であることから, 両辺を \( t \) で積分し, 時刻 \( t=0 \) における初速度の \( x \) 軸及び \( y \) 軸方向成分 \( v_{0_x} \) , \( v_{0_y} \) が \[\begin{aligned} v_{0_x} &= v_{0}\cos{\theta} \\ v_{0_y} &= v_{0}\sin{\theta} \end{aligned}\] であることを用いれば, 速度の \( x \) 軸及び \( y \) 軸方向成分は \[\begin{align} v_{x} &= v_{0}\cos{\theta} \label{vx} \\ v_{y} &= -\frac{eV}{md} t + v_{0}\sin{\theta} \label{vy} \end{align}\] となる. さらにもう一度両辺を \( t \) で積分して時刻 \( t=0 \) において粒子が原点にいたことを初期条件として用いると, \[\begin{align} x &= v_{0}\cos{\theta}\,t \label{x} \\ y &= -\frac{1}{2}\frac{eV}{md} t^{2} + v_{0}\sin{\theta} \,t \label{y} \end{align}\] が成立している. (この式は重力場中での斜方投射と全く同じ形式となっている.)

粒子の \( y \) 座標が最大となる時刻を \( t_{1} \) とする. この時, 粒子の \( y \) 軸方向の速度がゼロであることから, 式\eqref{vy}より, \[0 = -\frac{eV}{md} t_{1} + v_{0}\sin{\theta} \notag \] \[\therefore \ t_{1} = \frac{mdv_{0}\sin{\theta}}{eV} \quad . \notag \] したがって, 時刻 \( t_{1} \) における粒子の \( y \) 座標は式\eqref{y}より, \[\begin{aligned} y(t_{1}) &= -\frac{1}{2}\frac{eV}{md} \left( \frac{mdv_{0}\sin{\theta}}{eV} \right)^{2} + v_{0}\sin{\theta} \left( \frac{mdv_{0}\sin{\theta}}{eV} \right) \\ &= \frac{mdv^{2}_{0}\sin^{2}{\theta}}{2eV}\end{aligned}\] 電位差 \( V \) が \( V_0 \) のとき, 粒子が丁度極板 \( B \) に到達したとすると, \( y(t_{1})=d \) より, \[\begin{aligned} & d = \frac{mdv^{2}_{0}\sin^{2}{\theta}}{2eV_{0}} \\ \therefore \ & V_{0} = \frac{mv_{0}^{2}\sin^{2}{\theta}}{2e}\end{aligned}\] が成立する. この \( V_{0} \) よりも大きな電位差であれば \( y(t_{1}) \) は \( d \) よりも小さくなる.

粒子が再び極板 \( A \) に達した時刻を \( t_{2} \) とすると, 式\eqref{y}より, \[\begin{aligned} 0 &=-\frac{1}{2}\frac{eV}{md} t^{2}_{2} + v_{0}\sin{\theta} \,t_{2} \\ \to \ & 0 = t_{2} \left( -\frac{1}{2}\frac{eV}{md} t_{2} + v_{0}\sin{\theta} \right) \\ \to \ & t_{2} =0, \ 2 \frac{mdv_{0}\sin{\theta}}{eV} \end{aligned}\] \( t_{2}=0 \) は小粒子が原点にいるときの時刻なので, 粒子が再び極板に達する時刻は \[t_{2} = 2 \frac{mdv_{0}\sin{\theta}}{eV} \ \left( = 2 t_{1} \right) \notag \] である.

したがって, 時刻 \( t=t_{2} \) における粒子の水平方向の位置は式\eqref{x}より, \[\begin{aligned} v_{x}\cdot t_{2} &= v_{0}\cos{\theta} \cdot 2 \frac{mdv_{0}\sin{\theta}}{eV} \\ &= \frac{2mdv^{2}_{0}\sin{\theta}\cos{\theta}}{eV} \\ &= \frac{mdv^{2}_{0}\sin{2\theta}}{eV} \end{aligned}\]

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