静電場中の粒子の力学的エネルギー保存則
地球表面近くでは重力場 \( \vb*{g} \) が満ちている. この重力場に加えて静電場 \( \vb*{E} \) が満ちた空間内のある位置 \( \vb*{r} \) に点電荷(質量 \( m \) , 電荷 \( q \) )が存在するとしよう.
静電気力と重力以外の力が働いてない場合の粒子の運動方程式は \[ \begin{aligned} & m \dv[2]{\vb*{r} }{t} = m \vb*{g} + q \vb*{E} \\ & \qty( m \dv{ \vb*{v} }{t} = m \vb*{g} + q \vb*{E} ) \end{aligned} \] と書くことができる. 時刻 \( t=t_{1} \) に位置 \( \vb*{r}_{1} \) , 時刻 \( t=t_{2} \) に位置 \( \vb*{r}_{2} \) に存在したとして, 運動方程式の両辺に速度 \( \vb*{v} \) をかけて微小時間 \( \dd{t} \) で積分する(微小変位 \(\dd{\vb*{l}}= \vb*{v}\dd{t} \) で積分する)と, \[ \int_{t_{1}}^{t_{2}} m \dv{ \vb*{v} }{t} \cdot \vb*{v} \dd{t}= \int_{\vb*{r}_{1}}^{\vb*{r}_{2}} m \vb*{g} \cdot\dd{\vb*{l}}+ \int_{\vb*{r}_{1}}^{\vb*{r}_{2}} q \vb*{E} \cdot \dd{ \vb*{l}} \] となる.
さて, 運動方程式において保存力が登場すると保存力に対応した位置エネルギーを定義できるのであった. 位置 \( \vb*{r} \) での重力による位置エネルギー \( U_{g}(\vb*{r}) \) はエネルギーの基準点を \( \vb*{r}_{0} \) とすると, \[ U_{g} = \int_{\vb*{r}}^{\vb*{r}_{0}} m \vb*{g} \cdot \dd{ \vb*{l}} \] であるので, 先ほどの運動方程式の右辺第一項は \[ \begin{aligned} \int_{\vb*{r}_{1}}^{\vb*{r}_{2}} m \vb*{g} \cdot\dd{\vb*{l}}&= \int_{\vb*{r}_{1}}^{\vb*{r}_{0}} m \vb*{g} \cdot\dd{\vb*{l}}+ \int_{\vb*{r}_{0}}^{\vb*{r}_{2}} m \vb*{g} \cdot\dd{\vb*{l}}\\ &= \int_{\vb*{r}_{1}}^{\vb*{r}_{0}} m \vb*{g} \cdot\dd{\vb*{l}} – \int_{\vb*{r}_{2}}^{\vb*{r}_{0}} m \vb*{g} \cdot\dd{\vb*{l}}\\ &= U_{g}(\vb*{r}_{1}) – U_{g}(\vb*{r}_{2}) \end{aligned} \] である.
一方, 位置 \( \vb*{r} \) における電位 \( \phi(\vb*{r}) \) は \[ \phi(\vb*{r}) = \int_{\vb*{r}}^{\vb*{r}_{0}} \vb*{E} \cdot \dd{ \vb*{l}} \] であった. したがって, 静電気力による位置エネルギー \( U_{e} \) は電位 \( \phi \) を用いて, \[ \begin{aligned} U_{e} &= \int_{\vb*{r}}^{\vb*{r}_{0}} q \vb*{E} \cdot \dd{ \vb*{l}} \\ &= q \phi(\vb*{r}) \end{aligned} \] と定義することができる.
位置エネルギー \( U_{e} \) または電位差 \( V \) を用いると先ほどの運動方程式の右辺第二項は, \[ \begin{aligned} \int_{\vb*{r}_{1}}^{\vb*{r}_{2}} q \vb*{E} \cdot\dd{\vb*{l}}& = U_{e}(\vb*{r}_{1}) – U_{e}(\vb*{r}_{2}) \\ & = q \left\{\phi (\vb*{r}_{1}) – \phi (\vb*{r}_{2}) \right\} \\ & = q V \end{aligned} \] と書くことが出来る.
以上の議論と運動エネルギーの定義式 \[ K = \frac{1}{2} m \vb*{v}^2 \] より, 重力場と静電場に満ちた空間に置かれた電荷のエネルギーは \[ \begin{aligned} & m \dv{ \vb*{v} }{t} = m \vb*{g} + q \vb*{E} \\ \to \ & \int_{t_{1}}^{t_{2}} m \dv{ \vb*{v} }{t } \cdot \vb*{v} \dd{t}= \int_{\vb*{r}_{1}}^{\vb*{r}_{2}} m \vb*{g} \cdot\dd{\vb*{l}}+ \int_{\vb*{r}_{1}}^{\vb*{r}_{2}} q \vb*{E} \cdot \dd{ \vb*{l}} \\ \to \ & \qty[ \frac{1}{2} m \vb*{v}^2 ]_{t_{1}}^{t_{2}} = U_{g}(\vb*{r}_{1}) – U_{g}(\vb*{r}_{2}) + U_{e}(\vb*{r}_{1}) – U_{e}(\vb*{r}_{2}) \\ \to \ & K(t_{2}) – K(t_{1}) = U_{g}(\vb*{r}_{1}) – U_{g}(\vb*{r}_{2}) + U_{e}(\vb*{r}_{1}) – U_{e}(\vb*{r}_{2}) \\ \to \ & \left\{K(t_{2}) + U_{g}(\vb*{r}_{2}) + U_{e}(\vb*{r}_{2}) \right\} – \left\{K(t_{1}) + U_{g}(\vb*{r}_{1}) + U_{e}(\vb*{r}_{1}) \right\} =0 \quad . \end{aligned} \] 重力による位置エネルギーに加えて静電気力による位置エネルギーを加えた, 拡張された系の力学的エネルギー \( E \) を \[ E = K + U_{g} + U_{e} \] と定義すれば, \[ E(t_{2}) -E(t_{1}) = 0 \] となり, 系の力学的エネルギーが保存することがわかる.
通常, 重力は電磁気力に比べて非常に弱いことが知られており, 高校物理の電磁気学で登場するエネルギー保存則は重力の項を無視して \[ \begin{aligned} E & = K + U_{g} + U_{e} \\ & \simeq K + U_{e} \\ & = \frac{1}{2}mv^2 + q \phi \end{aligned} \] の形で登場する.
静電場中の力学的エネルギー保存則と仕事
先ほどは重力場 \( \vb*{g} \) と静電場 \( \vb*{E} \) に満ちた空間に置かれた物体には重力と静電気力のみが働くとしたが, それらに加えて別の力 \( \vb*{F} \) が加えられているとしよう. このとき, 位置 \( \vb*{r} \) に存在する点電荷(質量 \( m \) , 電荷 \( q \) )の運動方程式は \[ \begin{aligned} m \dv[2]{\vb*{r} }{t} = m \vb*{g} + q \vb*{E} + \vb*{F} \end{aligned} \] である. この運動方程式を積分すれば力学的エネルギーと力 \( \vb*{F} \) による仕事は \[ E(t_2) – E( t_1) = \int_{\vb*{r}_{1}}^{\vb*{r}_{2}} \vb*{F} \cdot \dd{ \vb*{l}} \] という関係にあり, 系の力学的エネルギーの変化は力 \( \vb*{F} \) のした仕事によって引き起こされたことがわかる.
静電気力と力学的エネルギー保存則
位置 \( \vb*{r} \) における電荷 \( q \) の物体の物体が持つ静電気力による位置エネルギー \( U_{e} \) はエネルギーの基準点を \( \vb*{r}_{0} \) として, \[ \begin{aligned} U_{e} &= \int_{\vb*{r}}^{\vb*{r}_{0}} q \vb*{E} \cdot \dd{ \vb*{l}} \\ &= q \phi(\vb*{r}) \quad . \end{aligned} \] 運動エネルギー \( E \) 重力による位置エネルギー \( U_{g} \) 静電気力による位置エネルギー \( U_{e} \) を合わせた拡張された力学的エネルギー \[ E = K + U_{g} + U_{e} \] 重力(万有引力)が無視できる場合には, \[ \begin{aligned} E & \simeq K + U_{e} \\ & = \frac{1}{2}mv^2 + q \phi \end{aligned} \] 始状態の拡張された力学的エネルギーを \( E_{1} \) , 終状態のエネルギーを \( E_{2} \) エネルギーの変化 \( E_{2} – E_{1} \) は重力と静電気力以外の力の合力 \( \vb*{F} \) がしたしごと仕事 \[ W = \int_{\vb*{r}_{1}}^{\vb*{r}_{2}} \vb*{F} \cdot \dd{ \vb*{l}} \] によって引き起こされる. \[ E_{2} – E_{1} = W \]具体例 : 固定された電荷と力学的エネルギー保存則
真空中(誘電率 \( \epsilon_{0} \) )の座標原点 \( x=0 \) に質量 \( m_{A} \) , 電荷 \( q_{A}(>0) \) の点電荷が固定されており, 座標原点から十分に離れた位置 \( x_0(>0) \) に置かれた質量 \( m_{B} \) , 電荷 \( q_{B}(>0) \) の点電荷に大きさ \( v_{0} \) の初速度を原点方向へ与えた. この点電荷が最も原点の近くに到達する距離 \( x_{\mathrm{min}} \) を求めよう.
位置 \( x \) における点電荷の運動方程式は \[ m_{B} \dv[2]{x }{t} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{A}q_{B}}{x^2} \] である. 運動方程式に \( \dd{x} = \displaystyle{\dv{x}{t}} \dd{t} \) をかけて積分すると, \[ \begin{aligned} & m_{B} \dv[2]{x }{t} – \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{A}q_{B}}{x^2} = 0 \\ \to \ & \int_{x^{\prime }=x_{0}}^{x^{\prime }=x} \left\{m_{B} \dv[2]{x^{\prime } }{t} – \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{A}q_{B}}{{x^{\prime }}^2} \right\} \ \dv{x^{\prime }}{t} \dd{t}\\ = & \qty[ \frac{1}{2} m_{B} \qty( \dv{x^{\prime } }{t} )^2 + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{A}q_{B}}{x^{\prime }} ]_{x^{\prime }=x_{0}}^{x^{\prime }=x} = 0 \end{aligned} \] というエネルギー保存則が成立する.
以上の流れを分かっていれば位置 \( x \) における電位 \( \phi(x) \) を用いて即座に \[ \frac{1}{2} m_{B} v^2 + q_{B} \underbrace{\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{A}}{x}}_{\phi(x)} = \frac{1}{2} m_{B} v_{0}^2 + q_{B} \underbrace{\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{A}}{x_{0}}}_{\phi(x_{0})} \] としてよい.
ここで, はじめの電荷の位置が十分遠い位置であるという条件( \( x_{0} \to \infty \) )と, 点電荷が最も原点に置かれた電荷に近づく位置 \( x=x_{\mathrm{min}} \) に到達した時には速度がゼロである( \( v=0 \) )を用いれば, \[ \begin{aligned} & \frac{1}{2} m_{B} v^2 + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{A}q_{B}}{x_\mathrm{min}} =\frac{1}{2} m_{B} v_{0}^2 + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{A}q_{B}}{x_{0}} \\ & \underbrace{\longrightarrow }_{v = 0 , x_{0} \to \infty } \ 0 + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{A}q_{B}}{x_\mathrm{min}} =\frac{1}{2} m_{B} v_{0}^2 + 0 \end{aligned} \] \[ \therefore \ x_{\mathrm{min}} = \frac{q_{A}q_{B} }{2 \pi \epsilon_{0} m_{B} v_{0}^2} \] となる.
具体例 : 固定されていない電荷同士の反発
今度は原点に置かれた質量 \( m_{A} \) , 電荷 \( q_{A}(>0) \) の点電荷Aが固定されておらず, 質量 \( m_{B} \) , 電荷 \( q_{B}(>0) \) の点電荷Bと同じく \( x \) 軸上を移動できるとしよう. 先ほどと同じく, 点電荷Bの初期位置は座標原点から十分に離れており, 点電荷Bに対してAの存在する方向に大きさ \( v_{0} \) の初速度を与える. このとき, 両者が最も近づく瞬間の距離 \( x_{\mathrm{min}} \) を求めてみよう. ただし両者の間に働く万有引力は十分に小さいとする.
点電荷A, Bの位置をそれぞれ \( \vb*{x}_{A} \) , \( \vb*{x}_{B} \) とすると, 運動方程式は \[ \begin{aligned} m_{A}\dv[2]{\vb*{x}_{A} }{t} &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_A q_B}{\abs{\vb*{x}_{A} – \vb*{x}_{B} }^3} \qty( \vb*{x}_{A} – \vb*{x}_{B} ) \\ m_{B}\dv[2]{\vb*{x}_{B} }{t} &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_A q_B}{\abs{\vb*{x}_{B} – \vb*{x}_{A} }^3} \qty( \vb*{x}_{B} – \vb*{x}_{A} ) \\ &= – \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_A q_B}{\abs{\vb*{x}_{A} – \vb*{x}_{B} }^3} \qty( \vb*{x}_{A} – \vb*{x}_{B} ) \end{aligned} \] となる.
この問題は二つの物体を系とみなせば静電気力という内力が働いているだけであるので, 2体問題として取り扱うことで計算を簡略化できる. 換算質量 \( \mu \) と相対座標 \( \vb*{r}_{R} \) を \[ \begin{aligned} & \mu = \frac{m_{A} m_{B} }{m_{A} + m_{B} } \ \Leftrightarrow \ \frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_{A}} + \frac{1}{m_{B}} \\ & \vb*{r}_{R} = \vb*{x}_{A} – \vb*{x}_{B} \end{aligned} \] と定義すると, \[ \begin{aligned} & m_{A}\dv[2]{\vb*{x}_{A} }{t} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_A q_B}{\abs{\vb*{r}_{R} }^3} \vb*{r}_{R} \\ & m_{B}\dv[2]{\vb*{x}_{B} }{t} = – \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_A q_B}{\abs{\vb*{r}_{R} }^3} \vb*{r}_{R} \\ \to \ & \dv[2]{\vb*{r}_{R}}{t} = \qty( \frac{1}{m_{A}} + \frac{1}{m_{B}} ) \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_A q_B}{\abs{\vb*{r}_{R} }^3} \vb*{r}_{R} \\ \therefore \ & \mu \dv[2]{\vb*{r}_{R}}{t} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_A q_B}{\abs{\vb*{r}_{R} }^3} \vb*{r}_{R} \end{aligned} \] となり, 位置 \( \vb*{r}_{R} \) にいる質量 \( \mu \) の物体に大きさ \( \displaystyle{\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_A q_B}{\abs{\vb*{r}_{R} }^2} } \) のクーロン力が働いていると見なすことができる. あとはおなじみの積分だけであり, 先ほどの具体例での計算結果を流用すれば \[ \frac{1}{2} \mu v_{R}^2 + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{A}q_{B}}{r_{R}} = \text{一定} \] が導ける. ここで, \( \displaystyle{v_{R} = \dv{ r_{R} }{t } } \) である.
はじめの相対距離 \( r_{R0} \) と相対速度の大きさ \( v_{R0} \) が \( r_{R0} \to \infty \) , \( v_{R0}=v_{0} \) であったこと, 相対速度がゼロになった時が二つの点電荷が最接近していること( \( v_{R}=0 \) , \( r_{R}=x_{\mathrm{min}} \) )を用いると, \[ \begin{aligned} & \frac{1}{2} \mu v_{R}^2 + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{A}q_{B}}{r_{R}} = \frac{1}{2} \mu v_{R0}^2 + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{A}q_{B}}{r_{R0}} \\ \to \ & 0 + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{A}q_{B}}{x_{\mathrm{min}}} = \frac{1}{2} \mu v_{0}^2 + 0 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} x_{\mathrm{min}} &= \frac{q_{A}q_{B}}{2 \pi \epsilon_{0} \mu v_{0}^2 } \\ &= \frac{q_{A}q_{B}\qty( m_{A} + m_{B} )}{2 \pi \epsilon_{0} m_{A} m_{B} v_{0}^2 } \quad . \end{aligned} \]
力学的な衝突との比較
補足として静電気力によって反発したあとの両者の運動について考えてみよう.
反発後に十分に時間が経過した時のそれぞれの速度を \( x \) 軸方向を正として \( v_{A}^{\prime },\ v_{B}^{\prime } \) としよう. 上記の運動方程式から明らかなように, 点電荷Aと点電荷Bとの間には内力しか働いておらず運動量保存則 \[ m_{A} v_{A}^{\prime } + m_{B} v_{B}^{\prime } = m_{A} \cdot 0 – m_{B} v_{0} \] が成立する.
また, 系の力学的エネルギーを変化させるような外力が存在していないことからエネルギー保存則も成立しているので, エネルギー保存則と等価な反発係数の式 \[ e = 1 = \frac{v_{B}^{\prime } – v_{A}^{\prime }}{0 – \qty( – v_0 )} \] が成立する.
以上の二式を連立して解くことで \[ \begin{aligned} v_{A}^{\prime } &= – \frac{2m_{A}}{m_{A} + m_{B}} v_0\\ v_{B}^{\prime } &= \frac{m_{A} – m_{B} }{m_{A} + m_{B} } v_0 \end{aligned} \] であることがわかる. 途中で気がついた人も多いであろうが, これは二つの粒子の完全弾性衝突の結論と全く同じである. したがって, 二つの物体の反発に用いられる力が電気力であっても二体が直接接触して反発する衝突運動と変わりないことがわかる.