クーロンの法則

静電場に満ちた空間に電荷を持つ物体を置くとクーロン力(静電気力)が働くことを静電場のページで紹介した. ここではクーロン力という力とその源である静電場が持つ特徴についてまとめたクーロンの法則について議論する.

万有引力をすでに学んだことがある人はクーロン力と万有引力との数学的な形式が酷似しており, 両者の間になんらかの類似性があると考えるであろう. なので, クーロン力と万有引力の共通点や相違点についても触れることにする.

最後には, クーロンの法則が限られた状況下でのみ成立する式であることを再認識してもらうための補足を設けることにした.

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クーロンの法則
クーロン力と万有引力との比較
クーロンの法則ついての補足


クーロンの法則

クーロンの法則

真空中に電荷 \( q_1\ [\mathrm{C}] \) , \( q_2\ [\mathrm{C}] \) を持つ2つの点電荷を距離 \( r \ [\mathrm{m}] \) だけ離れた位置に置いたとき, 2つの電荷の間に働くクーロン力 \( \boldsymbol{F} \) が持つ性質をクーロンが実験的に調べた結果, 次のような結論が得られた.

  1. クーロン力の大きさはそれぞれの電荷の絶対値に比例する. \( F \propto \left| q_1 \right| \ , \ F \propto \left| q_2 \right| \)

  2. クーロン力の大きさは2つの電荷の距離の2乗に反比例する. \( \displaystyle{F \propto \frac{1}{r^2}} \)

  3. クーロン力は2つの電荷を結ぶ直線上に働く.

  4. 同符号の電荷には斥力が働き, 異符号の電荷には引力が働く.

特徴1と特徴2より, クーロン力の大きさは比例係数を \( k_0(>0) \) として次の数式で書き下すことができる. \[ F = k_0 \frac{\left| q_1 q_2 \right|}{r^2} \quad . \] 比例係数 \( k_0 \) は(真空中の)クーロン定数という量であり, \[ k_0 = 8.99 \times 10^9 \ [\mathrm{N \cdot m^2 \cdot \underbrace{\mathrm{A^{-2} \cdot s^{-2}}}_{\mathrm{C^{-2}}} }] \] という値を持つ. また, クーロン力は2つの物体に同じ大きさで互いに逆向きに働く力であり作用・反作用の関係にある. これらをまとめてクーロンの法則という.

以上をまとめてクーロンの法則をベクトルで書き表そう. 点電荷1(位置 \( \boldsymbol{r}_1 \) , 電荷 \( q_1 \) )と点電荷2(位置 \( \boldsymbol{r}_2 \) , 電荷 \( q_2 \) ) に関して, 点電荷 \( 2 \) が点電荷 \( 1 \) に及ぼすクーロン力 \( \boldsymbol{F}_{21} \) は \( \boldsymbol{r}_2 \) から \( \boldsymbol{r}_1 \) へ向かう単位ベクトルが \( \displaystyle{ \frac{\left( \boldsymbol{r}_{1} – \boldsymbol{r}_2 \right)}{\left| \boldsymbol{r}_{1} – \boldsymbol{r}_2 \right|} } \) であることを利用すると, \[ \begin{aligned} \boldsymbol{F}_{12} &= k_0 \frac{q_1 q_2}{\left| \boldsymbol{r}_{1} – \boldsymbol{r}_2 \right|^2} \frac{\left( \boldsymbol{r}_{1} – \boldsymbol{r}_2 \right)}{\left| \boldsymbol{r}_{1} – \boldsymbol{r}_2 \right|} \\ &= k_0 \frac{q_1 q_2}{\left| \boldsymbol{r}_{1} – \boldsymbol{r}_2 \right|^3} \left( \boldsymbol{r}_{1} – \boldsymbol{r}_2 \right) \end{aligned} \] と表すことができる. このように書いておけば \( q_1 \) と \( q_2 \) が同符号の場合には, 位置 \( \boldsymbol{r}_1 \) の物体に向きが \( \left( \boldsymbol{r}_1 – \boldsymbol{r}_2 \right) \) と同じ方向にクーロン力が働くので斥力を表していることになるし, 異符号の場合には引力になることが確かめられる.

点電荷の作る電場

点電荷2(電荷 \( q_2 \) , 位置 \( \boldsymbol{r}_2 \) )が点電荷1(電荷 \( q_1 \) , 位置 \( \boldsymbol{r}_1 \) )に及ぼす力を \( \boldsymbol{F}_{12} \) とすると, クーロンの法則より \[ \begin{aligned} \boldsymbol{F}_{12} &= k_0 \frac{q_1 q_2}{\left| \boldsymbol{r}_{1} – \boldsymbol{r}_2 \right|^3} \left( \boldsymbol{r}_{1} – \boldsymbol{r}_2 \right) \\ &= q_1 \cdot k_0 \frac{ q_2}{\left| \boldsymbol{r}_{1} – \boldsymbol{r}_2 \right|^3} \left( \boldsymbol{r}_{1} – \boldsymbol{r}_2 \right) \end{aligned} \] と書くことができた. 最右辺は点電荷1の持つ物理量( \( q_1 \) )のみで決まる値点電荷2の持つ物理量( \( q_2 \) )及び点電荷間の距離で決まる値の積であるとみなすことができる. また, 電場の大きさが \( \boldsymbol{E} \) の空間に電荷 \( q_1 \) の物体を置いたときのクーロン力が \[ \boldsymbol{F} = q_1 \boldsymbol{E} \] であることとを比較すると, クーロン力 \( \boldsymbol{F}_{12} \) は次のように二つの式に分解することができる. \[ \begin{aligned} & \boldsymbol{F}_{12} = q_1 \cdot k_0 \frac{ q_2}{\left| \boldsymbol{r}_{1} – \boldsymbol{r}_2 \right|^3} \left( \boldsymbol{r}_{1} – \boldsymbol{r}_2 \right) \\ & \to \ \left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol{E} = k_0 \frac{ q_2}{\left| \boldsymbol{r}_{1} – \boldsymbol{r}_2 \right|^3} \left( \boldsymbol{r}_{1} – \boldsymbol{r}_2 \right) \\ \boldsymbol{F}_{12} = q_{1} \boldsymbol{E} \end{array} \right. \end{aligned} \] 1つめの式は, 電荷 \( q_2 \) を持つ点電荷が空間に存在することによって電場 \( \boldsymbol{E} \) が形成されること, 点電荷から距離 \( r=\left| \boldsymbol{r}_1 – \boldsymbol{r}_2 \right| \) だけ離れた位置での電場 \( E \) の大きさは \( \displaystyle{E_2=k_0\frac{q_2}{r^2}} \) という大きさであることあらわしている.

2つめの式はこの空間内に電荷 \( q_1 \) を持つ物体を配置すると物体は大きさ \( q_1 \boldsymbol{E} \) のクーロン力を受けることを意味している.

電場の重ね合わせ

電荷が存在することでその周りには電場が生じることをすでに紹介したが, 普通は複数の電荷が空間上に散りばめられている.

\( N \) 個の点電荷(電荷 \( q_i \ (i = 1 \sim N) \) )が位置 \( \boldsymbol{r}_{i} \) に存在する場合, 各電荷が単独で存在している時に作られる電場を \( \boldsymbol{E}_{i} \) と表すと, 各電荷が同時に存在している時には \[ \boldsymbol{E} = \sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{E}_{i} \] という合成電場が存在しているように観測される. このように, 各電場の単純なベクトル和によって合成電場を表すことができる事実を重ね合わせの原理という.

電場 \( \boldsymbol{E}_{i} \) が位置 \( \boldsymbol{r} \) に作る電場はクーロンの法則より, \[ \boldsymbol{E}_{i} = k_{0} \frac{q_i}{\left| \boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}_{i} \right|^3} \left( \boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}_{i} \right) \] であるので, 合成電場 \( \boldsymbol{E} \) は \[ \begin{aligned} \boldsymbol{E} &= \sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{E}_{i} \\ &= \sum_{i=1}^{N} k_{0} \frac{q_i}{\left| \boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}_{i} \right|^3} \left( \boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}_{i} \right) \end{aligned} \] である.

電場が重ね合わせの原理にしたがうので, クーロン力も重ね合わせの原理にしたがうことになる. したがって, 位置 \( \boldsymbol{r} \) に電荷 \( q \) の物体を置いたときに受けるクーロン力の合力 \( \boldsymbol{F} \) は \[ \begin{aligned} \boldsymbol{F} &= \sum_{i=1}^{N} q \boldsymbol{E}_{i} \\ &= \sum_{i=1}^{N} k_{0} \frac{q q_i}{\left| \boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}_{i} \right|^3} \left( \boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}_{i} \right) \end{aligned} \] である.

クーロンの法則と重ね合わせの原理を用いることで, 複数の電荷が存在している場合に別の電荷に与える(合)力を決定することができた. その結果を眺めてみると各電荷の位置と電荷の大きささえわかれば力が決定出来るので, これより先は力学で学習したような運動の解析が待っているだけである.

したがって, 物体に働く力はその源に重力が含まれていようとクーロン力が含まれていようと等しくとして扱われ, 物体にはその合力(ベクトル和)が働いているとみなしてよい.

クーロン力が重ね合わせの原理に従うということは, 2つの電荷の組を考えることでクーロン力の性質がきまることを意味している. このように, 2体の物体(荷量)によってその性質がきまる力を2体力という.

クーロンの法則とその周辺

クーロンの法則 : クーロン力(静電気力)に関する法則.
点電荷2(位置 \( \boldsymbol{r}_2 \) , 電荷 \( q_2 \) )が点電荷1(位置 \( \boldsymbol{r}_1 \) , 電荷 \( q_1 \) )に及ぼすクーロン力は \[ \boldsymbol{F}_{12} = k_0 \frac{q_1 q_2}{\left| \boldsymbol{r}_{1} – \boldsymbol{r}_2 \right|^2} \frac{\left( \boldsymbol{r}_{1} – \boldsymbol{r}_2 \right)}{\left| \boldsymbol{r}_{1} – \boldsymbol{r}_2 \right|} \] であり, 比例係数 \( k_0 \) は(真空中の)クーロン定数.

点電荷(位置 \( \boldsymbol{r}_{i} \) , 電荷 \( q_{i} \) ) の点電荷が 位置 \( \boldsymbol{r} \) に作る電場 \[ \boldsymbol{E} = k_0 \frac{q_{i}}{\left| \boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}_{i} \right|^2} \frac{\left( \boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}_{i} \right)}{\left| \boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}_{i} \right|} \]

電場には重ね合わせの原理が成立し, クーロン力にも同様に成立する. \[ \begin{aligned} \boldsymbol{E} &= \sum_{i} \boldsymbol{E}_{i} \\ \boldsymbol{F} &= q \boldsymbol{E} = \sum_{i} q \boldsymbol{E}_{i} \end{aligned} \]

クーロン力と万有引力との比較

クーロン力 \[ F_{e} = k_0 \frac{q_1 q_2}{r^2} \] と, 万有引力 \[ F_{G} = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \] はどちらも力の大きさが荷量の2乗に比例し, 距離の2乗に反比例するなど数学的に同じ構造になっている.

この事実に神秘性を見いだした物理学者は数知れず, 二つの力は別の起源によって引き起こされるように見えるが, 実は同じ起源を持ったものなのではないか?という今日の物理学の最前線の話題-力の統一理論-へと繋がっていく.

残念ながら重力と電磁気力の統一の試みは未だに成功を収めていないが, このように形式的な類似性をなんとか一つの理屈で説明することも物理学者の挑戦していることの一つである.

この手の議論を続けたいというおもいもあるが, 距離の2乗に反比例する法則(逆二乗則)を取り上げた書籍があるので, それを紹介するに止める.

クーロン力と万有引力とで相異なる点について議論しよう.

まず荷量の符号についてである. 万有引力の荷量である質量がマイナスである物体は見つかっておらず, 質量は常に正の値をとっている( \( m_1 , m_2 > 0 \) ). これに対しクーロンの法則は荷量である電荷 \( q_1 , q_2 \) は正負どちらも値も取り得る.

また, 万有引力は荷量が同符号で引力であるのに対し, クーロン力は荷量が異符号のときに引力である点が異なっている.

もう一つの異なる点は力の大きさである. この点についてよく紹介される話をしよう.

我々やその周りの物質を細かくしていけば原子や分子で構成されている[1]ことを既に学んだことがあるかと思うが, その中でも単純な水素原子について考えてみる.

水素原子はさらに細かい構造を持っており, 1個の陽子とその周りにある1個の電子から構成されている[2]. 陽子(proton)と電子(electron)はそれぞれ同じ電荷 \( q = 1.6 \times 10^{-19} \ \mathrm{C} \) を持っていて質量はそれぞれ \( m_p \simeq 1.7 \times 10^{-27} \ \mathrm{kg} \) , \( m_e \simeq 9.1 \times 10^{-31} \ \mathrm{kg} \) である. したがって, 距離 \( r \) だけ離れた陽子と電子の間に働く万有引力 \( F_G \) とクーロン力 \( F_e \) の大きさの比は \[ \begin{aligned} \frac{F_e}{F_G} &= \frac{k q^2 / r^2 }{ G m_p m_e / r^2} \\ &= \frac{k q^2 }{ G m_p m_e} \\ &= \frac{8.99 \times 10^9 \cdot \left( 1.6 \times 10^{-19} \right)^2 }{ 6.67 \times 10^{-11} \cdot 1.7 \times 10^{-27} \cdot 9.1 \times 10^{-31}} \\ & \approx 2.2 \times 10^{39} \end{aligned} \] となり, クーロン力が圧倒的に大きいことがわかる. 万有引力は一方の物体が地球や太陽のように質量が非常に大きい時に初めてあらわれるのであり, 我々が目にする落ちる以外の現象はほとんど電磁気力によるものである.

我々の身の回りの力の起源のほとんどが電磁気力である, と言っても実感がわかないのは次のような理由がある. すなわち, 電磁気力が重力に比べるととてつもなく大きな力なのであるが, 重力と違って正と負の電荷が存在しそれらが非常に巧妙に打ち消しあっており, その漏れ程度しか表にあらわれてこないからなのである.

クーロンの法則についての補足

高校物理の電磁気学できちんと断っておかなくてはならないことがあり, 物理に敏感な方のために議論しておく.

まず, 電場が時間的に変化している間の電磁気学は高校物理では扱っていない. 特にクーロン力は電場の時間変化がないときのみに成立する関係式である.

また, 電場 \( \boldsymbol{E}_{\mathrm{ext}} \) の空間に点電荷(電荷 \( q \) )を配置する状況設定が頻繁に登場するが, これにも補足すべきことがある. 本来, 電荷自体も電場をつくる源であるので, 配置する点電荷自体がつくる電場 \( \boldsymbol{E}_{\mathrm{int}} \) が発生する. したがって, 電荷の周りにあらわれる電場 \( \boldsymbol{E} \) は \[ \boldsymbol{E} \overset{?}{=} \boldsymbol{E}_{\mathrm{ext}} + \boldsymbol{E}_{\mathrm{int}} \] と考えることができ, これは元の空間の電場 \( \boldsymbol{E}_{\mathrm{ext}} \) と異なる電場となっている. したがって, 配置した点電荷が感じるクーロン力が \( q\boldsymbol{E}_{\mathrm{ext}} \) なのか, \( q\left( \boldsymbol{E}_{\mathrm{ext}} + \boldsymbol{E}_{\mathrm{int}}\right) \) なのかと疑問に持つ人もいるであろう.

仮に電荷に働く力が \[ \boldsymbol{F} \overset{?}{=} q \left( \boldsymbol{E}_{\mathrm{ext}} + \boldsymbol{E}_{\mathrm{int}}\right) \] としよう. このとき \( \boldsymbol{E}_{\mathrm{ext}} \) が静的であるならば \( q\boldsymbol{E}_{\mathrm{int}} \) がゼロであることが証明できる. もしそうでない場合, \( \boldsymbol{E}_{\mathrm{ext}}=\boldsymbol{0} \) とすると電場のない空間に電荷をおいたにもかかわらず, \( \boldsymbol{F}=q\boldsymbol{E}_{\mathrm{int}} \) という力を受けて運動し続けることになるが, このような現象は実現していない. したがって, \( \boldsymbol{E}_{\mathrm{ext}} \) が静的な場合には \[ \boldsymbol{F} = q \boldsymbol{E}_{\mathrm{ext}} \] という力が電荷に働いていることになる.

点電荷が電場中を運動するような場合には電荷自身が作り出す電場 \( \boldsymbol{E}_{\mathrm{int}} \) が存在することに起因して, 電磁波というものを放出しながらエネルギーが減少していくことが知られている. このような場合には \[ \boldsymbol{F} = q \left( \boldsymbol{E}_{\mathrm{ext}} + \boldsymbol{E}_{\mathrm{int}}\right) \] という式の方が正しいのである. この現象はシンクロトロン放射と言われ, 放出された電磁波を利用した医療は放射線療法として社会の役に立っている.

ただし, シンクロトロン放射による影響は通常無視できるほどに小さいので, 高校物理で登場する電気力は運動中でも \[ \boldsymbol{F} = q \boldsymbol{E}_{\mathrm{ext}} \] という近似式で説明されている.

最後に, なぜ静電場に限って成立するクーロンの法則から議論するのかについても触れておこう. 既存の電磁気学はマクスウェル方程式という4組の式だけで全てを語ることが出来るのだが, その理解をするためには相応の数学を使いこなすことが要求されることになる. そこでまずは特殊な状況下で成立する電磁気学を学んでもらい電場や電位という概念にとにかく慣れ親しんでもらうことに重きが置かれているのである. したがって, 電磁気学を極めようとすればこのクーロンの法則の特徴を一部忘れることが求められることになる.

最終更新日
静電場 ガウスの法則



補足    (↵ 本文へ)
  1. 現代では原子も陽子と中性子と電子で構成され, 陽子と中性子はさらにクォークと言われる粒子で構成されていることがわかっている. 時代ごとに素粒子という概念は変わってきたが, それは観測の精度が向上することでより小さな物質を調べることができるようになってきたからである. 現代での素粒子としてはクォークや電子の仲間が認識されている.

  2. この表現が実は正しくないことは量子力学という分野で詳しく学ぶことができる. 実際, すぐ後の計算で陽子と電子の間にはクーロン力と万有引力がはたらき主にクーロン力が主体であることがわかるが, なぜくっつかないのかについて正確に言い表すためには, 量子力学の登場を待つことになる.

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