コンデンサ

コンデンサにおける電場

コンデンサを形成する極板一枚に注目する. この極板の面積は \(S\) であり, \(+Q\) の電荷を帯びているとすると, ガウスの法則より, 極板が作る電場は

\[ E_{+} \cdot 2S = \frac{Q}{\epsilon_0} \]

である. 電場の向きは極板から垂直に離れる方向である.

もう一方の極板には \(-Q\) の電荷が存在し, その極板が作る電場の大きさは

\[ E_{-} = \frac{Q}{2 S \epsilon_0} \]

であり, 電場の向きは極板に対して垂直に入射する方向である.

したがって, この二枚の極板に挟まれた空間の電場は \(E_{+}\)\(E_{-}\) の和であり,

\[ E = E_{+} + E_{-} = \frac{Q}{S \epsilon_0} \]

と表すことができる.

コンデンサにおける電位差

コンデンサの極板間に生じる電場を用いて電位差の計算を行う. コンデンサの極板間隔は十分狭く, 電場の歪みが無視できるほどであるとすると, 電場は極板間で一定とみなすことができる. したがって,

\[ V = \int _{r_1}^{r_2} E \ dx = E \left( r_1 – _2 \right) \]

であり, 極板間隔 \(d\)\( \left| r_1 – r_2\right|d\) に等しいことから, コンデンサにおける電位差は

\[ V = Ed \]

となる.

コンデンサの静電容量

上記の議論より,

\[ V = \frac{Q}{S \epsilon_0} \]

これを電荷について解くと,

\[ Q = \epsilon \frac{S}{d} V \]

である. \(S\), \(d\), \( \epsilon\) はそれぞれコンデンサの極板面積, 極板間隔, 及び極板間の誘電率で決まるコンデンサに特有の量である. したがって, このコンデンサに特有の量静電容量といい, 静電容量 \(C\) を次式で定義する.

\[ C = \epsilon\frac{S}{d} \]

なお, 静電容量の単位は \( \mathrm{F}\)であるが, \( \mathrm{F}\)という単位は通常使われるコンデンサにとって大きな量なので, \( \mathrm{\mu F}\)などが多用される.

コンデンサの静電エネルギー

電場は電荷によって作られる. この電場内に外部から別の電荷を運んでくると, 電気力を受けて電場の方向に沿って動かされる. これより, 電荷を運ぶには一定のエネルギーが必要となることがわかる.

コンデンサの片方の極板に電荷 \(q\) が存在する状況下では, 極板間に \( \frac{q}{C}\) の電位差が生じている. この電位差に逆らって微小電荷 \(dq\) をあらたに運ぶために必要な外力がする仕事は \(V(q) dq\) である. したがって, はじめ極板間の電位差が \(0\) の状態から電位差 \(V\) が生じるまでにコンデンサに蓄えられるエネルギーは

\[ \begin{aligned} \int_{0}^{Q} V \ dq &= \int_{0}^{\infty} \frac{q}{C}\ dq \notag \\ &= \left[ \frac{q^2}{2C} \right]_{0}^{Q} \notag \\ & = \frac{Q^2}{2C} \end{aligned} \]

極板間引力

コンデンサの極板間に電場 \(E\) が生じているとき, 一枚の極板が作る電場の大きさは \( \frac{E}{2}\) である. したがって, 極板間に生じる引力は

\[ F = \frac{1}{2}QE \]

となる.

極板間引力と静電エネルギー

先ほど極板間に働く極板間引力を求めた. では, 極板間隔が変化しないように極板間引力に等しい外力 \(F\) で極板をゆっくりと引っ張ることにする. 運動方程式は

\[ 0 = F – \frac{1}{2}QE \]

である. ここで両辺に対して位置の積分を行うと,

\[ \begin{gathered} \int_{0}^{l} \frac{1}{2} Q E \ dx = \int_{0}^{l} F \ dx \\ \left[ \frac{1}{2} QE x\right]_{0}^{l} = \left[ Fx \right]_{0}^{l} \\ \frac{1}{2}QEl = \frac{1}{2}CV^2 = Fl \end{gathered} \]

となる. 最後の式を見てわかるとおり, 極板を \(l\) だけ引き離すのに外力が行った仕事 \(Fl\) は全てコンデンサの静電エネルギーとして蓄えられることがわかる.

静電気力とエネルギー保存則 電流

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