交流(複素数表示)

交流回路は微分積分、三角関数のオンパレードであり, 特に合成インピーダンスの導出は非常に骨の折れる仕事であった.

そこで, 高校物理では登場しないが, 交流に登場する幾つかの物理量を複素数領域にまで拡張した上で交流電流や電圧, インピーダンスを手早く議論する手法, 複素数表示を紹介する.

以下では複素数の物理量を大文字で書くことにし, 通常の物理量と区別をしておき, 虚数単位を \( i \) とする[1].

また, 交流電源の供給電圧を次式の余弦関数であらわしておく[2]. \[ \begin{aligned} V &= V_{0} \cos{ \left( \omega t + \theta_{0} \right) } \\ &= \sqrt{2} V_{\mathrm{e}} \cos{ \left( \omega t + \theta_{0} \right) } \end{aligned} \] ここで, この交流を特徴付けるパラメタは電圧の実効値 \( V_{\mathrm{e}}\), 角振動数 \( \omega \), 位相 \( \theta_{0} \) であることしっかりと認識しておいてほしい.

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複素電圧と複素電流の導入
微分と積分の複素数表示
複素インピーダンス
拡張されたキルヒホッッフの法則
複素インピーダンスと素子
合成インピーダンス
複素電力


複素電圧と複素電流の導入

まずは電圧の複素数表示を導入しよう.

交流電圧の複素数表示とは, パラメタ \( V_{\mathrm{e}}, \omega, \theta_{0} \) で特徴付けられる交流電圧を複素数平面上の点に対応づける試みである.

複素数平面上の点を指定するために必要なパラメタの数は2つであったので, 交流電圧の持つ3つのパラメタの中でも \( V_{\mathrm{e}}, \theta_{0} \) に注目して複素数に対応させ, 角振動数 \( \omega \) は別にとっておくのである.

このような考えのもと, 角振動数 \( \omega \)複素電圧を次式で定義する. \[ \boldsymbol{V} \mathrel{\mathop:}= V_{\mathrm{e}} \left[ \cos{ \theta_{0} } + i \sin{ \theta_{0} }\right] . \] つまり, 現実世界の交流電圧 \( V \) と複素数を \[ \begin{aligned} V &= \sqrt{2} V_{\mathrm{e}} \cos{\left( \omega t + \theta_{0} \right)} \\ \iff \ \boldsymbol{V} &= V_{\mathrm{e}} \left[ \cos{ \theta_{0} } + i \sin{ \theta_{0} }\right] . \end{aligned} \] という対応関係で表すのである.

さらに, 上式の複素電圧の右辺は, 三角関数と指数関数及び虚数単位 \( i \) について成り立つ関係式であるオイラーの公式 \[ e^{i\theta} = \cos{\theta} + i \sin{\theta} \] を利用することでより簡略化して書くことができる. ここで, \( e \) は自然対数の底である.

このオイラーの公式を用いると, 複素電圧 \( \boldsymbol{V} \) は次の形になる. \[ \begin{aligned} \boldsymbol{V} &= V_{\mathrm{e}} \left[ \cos{ \theta_{0} } + i \sin{ \theta_{0} }\right] \\ &= V_{\mathrm{e}} e^{i \theta_{0} } \quad \left( V_{0}>0, \omega \in \mathbb{R} \right) \end{aligned} \] このように, 複素電圧 \( \boldsymbol{V} \) というものを考え, 現実に観測できる交流電圧と複素電圧とを下図のように対応させる考え方を(電圧の)複素数表示という.

複素数表示

同様にして, 実効値 \( I_{\mathrm{e}} \) , 角振動数 \( \omega \) , 位相 \( \theta'_{0} \) の電流についてもその概念を拡張し, 複素電流 \( \boldsymbol{I} \) を次の対応関係で定義しておく. \[ \begin{aligned} I &= \sqrt{2} V_{\mathrm{e}} \cos{\left( \omega t + \theta'_{0} \right)} \\ \iff \ \boldsymbol{I} &= V_{\mathrm{e}} \left[ \cos{ \theta'_{0} } + i \sin{ \theta'_{0} }\right] \\ &= I_{\mathrm{e}} e^{i \theta'_{0} } \\ \end{aligned} \]

複素数表示

オイラーの公式 :
\[ e^{i\theta} = \cos{\theta} + i \sin{\theta} \]

電圧の複素数表示 :
電圧の実効値 \( V_{\mathrm{e}}\), 角振動数 \( \omega \), 位相 \( \theta_{0} \) という3つのパラメタで特徴付けられる交流電圧 \( V = \sqrt{2} V_{\mathrm{e}} \cos{ \left( \omega t + \theta_{0} \right) } \) を複素数 \( \boldsymbol{V} = V_{\mathrm{e}} e^{i \theta_{0} }\) に対応させる. \( \boldsymbol{V} \) を複素電圧という.

電流の複素数表示 :
電流の実効値 \( I_{\mathrm{e}}\), 角振動数 \( \omega \), 位相 \( \theta_{0} \) という3つのパラメタで特徴付けられる交流電流 \( I = \sqrt{2} I_{\mathrm{e}} \cos{ \left( \omega t + \theta_{0} \right) } \) を複素電流 \( \boldsymbol{I} = I_{\mathrm{e}} e^{i \theta_{0} }\) に対応させる.

微分と積分の複素数表示

複素数表示の有効性を知ってもらうため, また, のちの計算をスムーズに進めるために, 現実世界の時間微分や時間積分が複素数表示ではどう表現されるのかを見ておこう.

交流のように振幅が \( \sqrt{2} X \) , 角振動数が \( \omega \) , 位相が \( \theta \) で与えられるような物理量 \[ x(t) = \sqrt{2} X \cos{\left( \omega t + \theta \right)} \] について考える. この量の複素数表示を確認しておくと, \[ \boldsymbol{x} = X e^{i\theta} \] である.

時間微分と複素数表示

\( x(t) \) の時間微分は, \[ \begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= \frac{d}{dt} \left( \sqrt{2} X \cos{\left( \omega t + \theta \right)}\right) \\ &= – \omega \cdot \sqrt{2} X \sin{\left( \omega t + \theta \right)} \\ &= \omega \cdot \sqrt{2} X \cos{\left( \omega t + \theta +\frac{\pi}{2} \right)} \end{aligned} \] である. この量を複素数表示であらわすと, \[ \begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= \sqrt{2} \omega X \cos{\left( \omega t + \theta +\frac{\pi}{2} \right)} \\ \iff \ & \omega X e^{i \left( \theta +\frac{\pi}{2} \right)} \\ & = \omega X e^{i \theta } e^{i \frac{\pi}{2} } \\ & = i \omega X e^{i \theta } \quad \left( \because \ e^{i \frac{\pi}{2} } = \cos{\frac{\pi}{2}} +i \sin{\frac{\pi}{2}} = i \right) \\ &= i \omega \boldsymbol{x} \end{aligned} \] となる. したがって, 現実世界の時間微分複素数表示では \( i\omega \) 倍することに等しいのである. \[ \frac{d}{dt} x(t) \iff i \omega \boldsymbol{x} \]

時間積分と複素数表示

\( x(t) \) の時間積分を, 途中で生じる積分定数をゼロとすると, \[ \begin{aligned} \int x \ dt &= \int \left( \sqrt{2} X \cos{\left( \omega t + \theta \right)}\right) \ dt\\ &= \frac{1}{\omega} \cdot \sqrt{2} X \sin{\left( \omega t + \theta \right)} \\ &= \frac{1}{\omega} \cdot \sqrt{2} X \cos{\left( \omega t + \theta -\frac{\pi}{2} \right)} \end{aligned} \] である. この量を複素数表示であらわすと, \[ \begin{aligned} \int x \ dt &= \sqrt{2} \frac{1}{\omega} X \cos{\left( \omega t + \theta -\frac{\pi}{2} \right)} \\ \iff \ & \frac{1}{\omega} X e^{i \left( \theta -\frac{\pi}{2} \right)} \\ & = \frac{1}{\omega} X e^{i \theta } e^{-i \frac{\pi}{2} } \\ & =-i \frac{1}{\omega} X e^{i \theta } \quad \left( \because \ e^{-i \frac{\pi}{2} } = \cos{\frac{\pi}{2}} -i \sin{\frac{\pi}{2}} =-i \right) \\ &= \frac{1}{i \omega} \boldsymbol{x} \quad \left( \because \ – i = \frac{1}{i} \right) \end{aligned} \] となる. したがって, 現実世界の時間積分複素数表示では \( \displaystyle{\frac{1}{i\omega}} \) 倍することに等しいのである. \[ \int x(t)\ dt \iff \frac{1}{i \omega } \boldsymbol{x} \]

微分と積分の複素数表示

角振動数 \( \omega \) の物理量を複素数表示することによって, (現実世界の時間微分)=(複素数の \( \displaystyle{ i\omega } \) 倍), (現実世界の時間積分)=(複素数の \( \displaystyle{\frac{1}{i\omega}} \) 倍)と対応する.

複素数表示の微分積分

複素インピーダンス

交流に対して複素数の電圧や電流を導入したからには”抵抗”に該当する概念であるインピーダンスも複素数に拡張するのは自然な流れであろう. そこで, 複素電流に対する複素電圧の値を複素インピーダンスとして定義する.

一般に, 複素電圧と複素電流の位相は一致している必要はないので, それぞれ \( \boldsymbol{V}=V_{\mathrm{e}}e^{i \theta} \) , \( \boldsymbol{I}=I_{\mathrm{e}}e^{i \theta'} \) とすると, 複素インピーダンスは次式で定義される. \[ \begin{aligned} \boldsymbol{Z} &= \frac{\boldsymbol{V}}{\boldsymbol{I}} = \frac{ \left| \boldsymbol{V} \right|e^{i \theta}}{\left| \boldsymbol{I} \right|e^{i \theta'}} \\ &= \frac{V_{\mathrm{e}}}{I_{\mathrm{e}}} e^{i \left( \theta – \theta' \right)} \\ \therefore \ \boldsymbol{Z} &= Z_{0} e^{i \left( \theta – \theta' \right)} \quad \left( Z_{0} \mathrel{\mathop:}= \frac{V_{\mathrm{e}}}{I_{\mathrm{e}}}= \frac{\left| \boldsymbol{V }\right|}{\left| \boldsymbol{I} \right|} \in \mathbb{R} \right) \end{aligned} \] そして, 複素インピーダンス \( \boldsymbol{Z} \) の振幅 \( Z_{0} \) こそが現実世界で我々が観測するインピーダンスなのである.

このように, インピーダンスを複素数で書いておくとその意味が非常に明確になる. というのも, インピーダンスの大きさは交流電流と交流電圧の大きさの比なので”抵抗の大きさ”に該当し, インピーダンスが位相を持てば電流と電圧の間に位相差が生じるのである.

さらに, 複素インピーダンス \( \boldsymbol{Z} \)\[ \boldsymbol{Z} = R + i X \quad ( R, X \in \mathbb{R}) \] のようにして実部 \( R \) と虚部 \( X \) に分けたとき, 実部 \( R \)レジスタンス(抵抗), \( X \)リアクタンスという.

複素インピーダンス

複素インピーダンスを次式で定義する. \[ \frac{\boldsymbol{V}}{\boldsymbol{I}} = \boldsymbol{Z} \]

複素インピーダンス \[ \boldsymbol{Z} = R + i X \quad ( R, X \in \mathbb{R}) \] の実部 \( R \)レジスタンス(抵抗), \( X \)リアクタンスという.

複素インピーダンスの大きさ \[ Z_{0} = \sqrt{R^2 + X^2} \] が現実世界のインピーダンスであり, 複素インピーダンスの位相が電圧と電流の位相差を生む.

拡張されたキルヒホッッフの法則

回路の物理を解くにあたり, 幅広い適用範囲を誇るキルヒホッフの法則もそっくりそのまま複素数へ拡張することを考える.

キルヒホッフの第1法則

キルヒホッフの第1法則は回路中の分岐点に流れ込む電流の和と流れ出る電流の和は等しいという法則であった. つまり, ある点に流れ込む電流 \( I_{\mathrm{in}} \)\( m \) 本, 同一の点から流れ出る電流 \( I_{\mathrm{out}} \)\( n \) 本の時, \[ \sum_{i=1}^{m} I_{\mathrm{in};i} = \sum_{i=1}^{n} I_{\mathrm{out};i} \] が成立することであった.

複素電流についても上記の”電流”を”複素電流”と読み替えることができ, \[ \sum_{i=1}^{m} \boldsymbol{I}_{\mathrm{in};i} = \sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{I}_{\mathrm{out};i} \] が成立する.

キルヒホッフの第2法則

キルヒホッフの第2法則は任意の閉回路で, 起電力の代数和と電圧降下は電圧降下の和に等しいという法則であった. つまり, 任意の閉回路に \( m \) 個の起電力 \( E_{i} \) , \( n \) 個の電圧降下 \( V_{i} \) を引き起こす素子が存在すれば, \[ \sum_{i=1}^{m} E_{i} = \sum_{i=1}^{n} V_{i} \] が成立することであった.

電圧に関わる部分をそのまま複素数へ拡張し, 複素電圧についても任意の閉回路について \[ \sum_{i=1}^{m} \boldsymbol{E}_{i} = \sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{V}_{i} \] が成立する.

複素インピーダンスと素子

交流で学んだ用語が一通り登場したので, 以前に交流について学習したことを複素数表示の世界からみつめなおしてみよう.

以下では回路に供給する角振動数 \( \omega \) の交流電圧を \( \boldsymbol{V} = V_{\mathrm{e}} e^{i \theta_{0}} \) とする. すなわち, 現実に与える交流電圧 \( V \)\[ \begin{aligned} \boldsymbol{V} &= V_{\mathrm{e}} e^{i \theta_{0}} \\ \iff \ V &= \sqrt{2} V_{\mathrm{e}} \cos{ \left( \omega t + \theta_{0}\right)} \end{aligned} \] である.

各素子のインピーダンス

抵抗素子 : \( \boldsymbol{Z}_{R} = R \)
レジスタンス : \( \mathrm{Re}\ [\boldsymbol{Z}_{R}] = R \)

コンデンサ : \( \displaystyle{ \boldsymbol{Z}_{C} = \frac{1}{i\omega C} } \)
容量リアクタンス : \( \displaystyle{ \mathrm{Im}\ [\boldsymbol{Z}_{C}] = \frac{1}{\omega C} } \)

コイル : \( \boldsymbol{Z}_{L} = i \omega L \)
誘導リアクタンス : \( \displaystyle{ \mathrm{Im}\ [\boldsymbol{Z}_{L}] = \omega L } \)

合成インピーダンス

回路の各物理量を複素数にした恩恵は簡単な回路の場合には分かりにくいが, これからみるようにRLC直列回路やRLC並列回路などの合成インピーダンスを計算するときにその恩恵を実感することができる.

これまで見てきたように, キルヒホッフの法則を適用することで交流回路における”抵抗”に該当する(複素)インピーダンスについて求めることができた. これは複雑な回路についても成立するので, 直流回路の時に合成抵抗を求めた方法と同じ方法をインピーダンスに適用することでその回路の合成インピーダンスを知ることが出来るのである.

合成インピーダンス

回路の合成インピーダンスは, 複素インピーダンスについて合成したものの大きさと一致する.

複素電力

今, インピーダンス \( \boldsymbol{Z} \) を持つような素子に, 複素電流 \( \boldsymbol{I}=I_{\mathrm{e}}e^{i\theta_{i}} \) , 複素電圧 \( \boldsymbol{V}=V_{\mathrm{e}}e^{i\theta_{v}} \) とする. この時, 複素電力 \( \boldsymbol{P} \) を次式で定義する. \[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{I} \boldsymbol{V}^{\ast} \] ここで” \( \ast \) ”は複素共役量をあらわす記号であり, \( \boldsymbol{V}^{\ast} = V_{\mathrm{e}}e^{-i\theta_{v}} \) である.

複素電力は \[ \begin{aligned} \boldsymbol{P} &= \boldsymbol{I} \boldsymbol{V}^{\ast} \\ &= I_{\mathrm{e}} V_{\mathrm{e}} e^{i \left( \theta_{i} -\theta_{v}\right) } \\ &= I_{\mathrm{e}} V_{\mathrm{e}} \left\{ \cos{{ \left( \theta_{i} -\theta_{v}\right) } } + i \sin{{ \left( \theta_{i} -\theta_{v}\right) } }\right\} \end{aligned} \] であり, \[ \mathrm{Re}\ [\boldsymbol{P}] = I_{\mathrm{e}} V_{\mathrm{e}} \cos{{ \left( \theta_{i} -\theta_{v}\right) } } \] は現実世界で交流電流 \( I=\sqrt{2} I_{\mathrm{e}} \cos{\left(\omega t + \theta_{i}\right)} \) , 交流電圧 \( V=\sqrt{2} V_{\mathrm{e}} \cos{\left(\omega t + \theta_{v}\right)} \) を加えた場合の平均電力に一致する[3]. これを有効電力という.[4]

有効電力を知るためには電流の電圧の位相差 \( \left(\theta_{i} – \theta_{v} \right) \) を知れば良いことになる. 素子が一つだけの回路については次のようにまとめることが出来る.

  1. 抵抗のみを含んだ回路では \( \left( \theta_{i} – \theta_{v} \right) = 0 \) より, \( P=I_{\mathrm{e}}V_{\mathrm{e}} \) .

  2. コンデンサのみを含んだ回路では \( \left( \theta_{i} – \theta_{v} \right) = \displaystyle{\frac{\pi}{2}} \) より, \( P = 0 \)

  3. コイルのみを含んだ回路では \( \left( \theta_{i} – \theta_{v} \right) = \displaystyle{ -\frac{\pi}{2}} \) より, \( P = 0 \)

さいごに, 複素電圧 \( \boldsymbol{P} \) のほかのあらわし方を紹介しておく. \[ \begin{aligned} \boldsymbol{P} &= \boldsymbol{I} \boldsymbol{V}^{\ast} \\ &= \boldsymbol{I} \left( \boldsymbol{Z}^{\ast} \boldsymbol{I}^{\ast} \right) = \boldsymbol{Z}^{\ast} I^{2} \\ &= \left( \frac{\boldsymbol{V}}{\boldsymbol{Z}}\right) \boldsymbol{V}^{\ast} = \frac{1}{\boldsymbol{Z}} V^2 \end{aligned} \]

複素電力

複素電力 \( \boldsymbol{P} \) を次式で定義する. \[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{I} \boldsymbol{V}^{\ast} \]

複素電力の実部を有効電力といい, 現実世界で消費される電力に等しい.

最終更新日
交流



補足    (↵ 本文へ)
  1. 一般的な電気回路の教科書では虚数単位 \( i \) が電流密度 \( i \) と混同することを避けるため, 虚数単位に \( j \) が使われていることが多い. しかし, この記事ではそのような心配はないので虚数単位を \( i \) で書くことにする.

  2. わざわざ余弦関数に書き直す理由はすぐにわかるが, 仮に正弦関数で電圧を記述したとしても, \[ \begin{aligned} V &= V_{0} \sin{ \left( \omega t + \theta_{0}' \right) } \\ &= V_{0} \cos{ \left\{ \omega t + \right. \underbrace{\theta_{0}' – \frac{\pi}{2}}_{\to \theta_{0}} \left. \right\} } \end{aligned} \] などとして, 正弦関数で与えた式の初期位相を適切に選びなおすだけで余弦関数に変形することができる.

  3. 位相の一致していないような一般的な位相を持つ交流電圧の導出については交流の消費電力を参照していただきたい.

  4. 複素電力の虚部を無効電力という. 有効電力は回路にある程度の時間電流を流したときに実際に消費する電力だが, 無効電力とは一旦エネルギーとして蓄えられたものがそのエネルギーを消費することなく回路へと還元されるような電力である.

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