ベルヌーイの微分方程式

関数 \( y=y(x) \) についてのベルヌーイの微分方程式とは, \( x \) の関数である \( P(x) \) , \( Q(x) \) と \( n \) を用いて次のように書くことが出来る微分方程式のことである. \[\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) y^{n} \notag \quad .\]

このベルヌーイの方程式は \( n=0 \) のときには単純な1階線形(非同次)微分方程式であり, \( n=1 \) の時には \[y^{\prime} = \left\{ Q(x) – P(x) \right\} y \notag\] という変数分離形の微分方程式となる.

また, ベルヌーイの方程式は \( n \) が \( 0 \) または \( 1 \) でない時にも単純な変数変換によって1階線形(非同次)微分方程式に書き換えることができることを議論しよう.

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ベルヌーイの微分方程式 \[\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) y^{n} \label{BerEq}\] において, 新しい変数 \( w \) を \[w \mathrel{\mathop:}= y^{1-n} \label{Berw}\] で定義する. \( w \) を \( x \) で微分すると, \[\begin{align} \frac{dw}{dx} &= \frac{dy}{dx}\frac{dw}{dy} \notag \\ &= \frac{dy}{dx} \left( 1-n \right) y^{-n} \notag \\ \therefore \ \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{1-n}\frac{dw}{dx}y^{n} \quad .\label{Berwp} \end{align}\] 式\eqref{Berwp}を元の式\eqref{BerEq}に代入し, 両辺を \( y^{n} \) で割るなどして整理すると, \[\begin{align} & \frac{1}{1-n}\frac{dw}{dx}y^{n} + P(x)y = Q(x) y^{n} \notag \\ \to \ & \frac{dw}{dx} + \left( 1-n \right) P(x) y^{1-n} = \left( 1-n \right) Q(x) \notag \\ \to \ & \frac{dw}{dx} + \left( 1-n \right) P(x) w = \left( 1-n \right) Q(x) \label{BerwEq} \end{align}\] が得られる. これは \( w \) についての1階線形(非同次)微分方程式になっている.

ここで, 1階線形(非同次)微分方程式 \[\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \notag\] の一般解が \[y = e^{ – \int P(x)\,dx } \left\{ \int \left( Q(x) e^{ \int P(x)\,dx } \right) \, dx + C_{1} \right\} \notag\] で与えられる(1階線形微分方程式)ことを利用すると, 式\eqref{BerwEq}の \( w \) の一般解は \[w = e^{ – \int \left( 1-n \right) P(x)\,dx } \left\{ \int \left( \left( 1-n \right) Q(x) e^{ \int \left( 1-n \right)P(x)\,dx } \right) \, dx + C_{1} \right\} \notag\] となる. ここで \( C_{1} \) は任意の定数である. あとは \( w \) の定義式\eqref{Berw}より, \[\therefore \ y^{1-n} = e^{ – \int \left( 1-n \right)P(x)\,dx } \left\{ \int \left( \left( 1-n \right) Q(x) e^{ \int \left( 1-n \right)P(x)\,dx } \right) \, dx + C_{1} \right\} \quad . \notag\]

以上より, ベルヌーイの微分方程式 \[\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) y^{n} \quad . \notag\] の一般解は \[y^{1-n} = e^{ – \int \left( 1-n \right)P(x)\,dx } \left\{ \int \left( \left( 1-n \right) Q(x) e^{ \int \left( 1-n \right)P(x)\,dx } \right) \, dx + C_{1} \right\} \notag\] で与えられることが分かる. また, \( y = 0 \) という特異解があることにも注意して欲しい.

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