定数係数1階線形微分方程式

1階線形(非同次)微分方程式 \[\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) \notag\] のうち, 定数\(a\), \(b\)を用いて \[\frac{dy}{dx} + a y = b \notag\] と書けるものを, 定数係数1階線形微分方程式という. この一般解について考えよう.

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物理でも頻出のこの微分方程式は \[\frac{dy}{dx} =- a \left( y – \frac{b}{a} \right) \label{teisu1kai1}\] と書き換えることができるので, 変数分離形の微分方程式であることがわかる[1].

まず, 式\eqref{teisu1kai1}において, \[\left( y – \frac{b}{a} \right) = 0 \notag\] のとき, すなわち, \(y\)が \[y = \frac{b}{a} \label{teisu1kai1kai1}\] という定数関数のときには\(y^{\prime}=0\)となるので, 式\eqref{teisu1kai1kai1}は微分方程式\eqref{teisu1kai1}の解の一つである.

次に, \[\left( y – \frac{b}{a} \right) \neq 0 \notag\] のとき, 両辺を\(\left( y – \frac{b}{a} \right)\)でわると, \[\frac{1}{\left( y – \frac{b}{a} \right)}\frac{dy}{dx} =- a \notag\] であり, 両辺を\(x\)で積分すると, \[\begin{aligned} & \frac{1}{\left( y – \frac{b}{a} \right)}\frac{dy}{dx} =- a \notag \\ \to \ & \int \frac{1}{\left( y – \frac{b}{a} \right)}\frac{dy}{dx} \,dx =- \int a \,dx \notag \\ \to \ & \int \frac{1}{\left( y – \frac{b}{a} \right)} \,dy =- \int a \,dx \notag \\ \to \ & \log_{e}{\left\{ \left| y – \frac{b}{a} \right|\right\}} =- ax + C_{1} \quad \left( \text{$C_{1}$は任意定数} \right) \notag \\ \to \ & \left| y – \frac{b}{a} \right| = e^{\left( – ax + C_{1} \right)} \notag \\ \to \ & y – \frac{b}{a} = \pm e^{ C_{1} } e^{ – ax } \notag \\ \to \ & y = \pm e^{ C_{1} } e^{ – ax } + \frac{b}{a} \notag \end{aligned}\] ここで, \(\pm e^{ C_{1} }\)をあらためて定数\(C\)とおくと, \[y = C e^{ – ax } + \frac{b}{a} \label{teisu1kai1kai2}\] が得られる.

以上より, 定数係数1階線形微分方程式 \[y^{\prime} + a y = b \notag\] のとして, 式\eqref{teisu1kai1kai1}と式\eqref{teisu1kai1kai2}がえられたが, 式\eqref{teisu1kai1kai1}は式\eqref{teisu1kai1kai2}の特別な場合(\(C=0\)のとき[2])の値とみなすことができるので, 最終的にはこれらをまとめてあらわした \[y = C e^{ – ax } + \frac{b}{a} \notag\] が一般解であることがわかる.




補足    (↵ 本文へ)
  1. 変数分離形の方程式とは, 微分方程式が \[\frac{dy}{dx} = P(x) Q(y) \notag\] の形にかけるものをいい, 確立された計算手法が存在する.

  2. 定数\(C=\pm e^{C_{1}}\)がゼロであるとは, \[\lim_{C_{1} \to -\infty} \left\{ \pm e^{C_{1}} \right\} = 0 \notag \] という極限を意味していることに注意して欲しい.

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