1階線形微分方程式

1階線形(非同次)微分方程式 \[\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) \label{ichikaisenkei}\] の一般解について考えよう.

ただし, この微分方程式をはじめから一般的に解くことは難しいので, まずは \( Q(x)=0 \) とした1階線形同次微分方程式 \[\frac{dy}{dx} + P(x) y = 0 \label{ichikaisenkeidouji}\] の解について考え, その解に補正を加える事で式\eqref{ichikaisenkei}の解を得る定数変化法と呼ばれる方法をとることにする.

なお, 式\eqref{ichikaisenkeidouji}は式\eqref{ichikaisenkei}の同伴方程式と呼ばれる.

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1階線形同次微分方程式の解
1階線形微分方程式の解
一つの特殊解がわかっている場合
二つの特殊解がわかっている場合


1階線形同次微分方程式の解

1階線形同次微分方程式 \[\frac{dy}{dx} + P(x) y = 0 \label{ichikaisenkeidouji2}\] について考えよう.

式\eqref{ichikaisenkeidouji2}は変数分離形の微分方程式となっているので, \( y \neq 0 \) とすると, \[\begin{aligned} & \frac{dy}{dx} + P(x) y = 0 \notag \\ \to \ & \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} =- P(x) \notag \end{aligned}\] ここで, 両辺を \( x \) で積分すると, \[\begin{aligned} \to \ & \int \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} \,dx =- \int P(x)\,dx \notag \\ \to \ & \int \frac{1}{y} \,dy =- \int P(x)\,dx \notag \\ \to \ & \log_{e}{ \left| y \right| } =- \int P(x)\,dx + C_{1} \quad \left( \text{$C_{1}$は積分定数}\right) \notag \\ \to \ & \left| y \right| = e^{ – \int P(x)\,dx + C_{1} } \notag \\ \to \ & y = \pm e^{ C_{1} } e^{ – \int P(x)\,dx } \quad . \notag \end{aligned}\] ここで, \( \pm e^{ C_{1} } \) をあらためて定数 \( C \) とおくと, 1階線形同次微分方程式(式\eqref{ichikaisenkeidouji2})のとして, \[y = C e^{ – \int P(x)\,dx } \label{ichikaisenkeidouji2a}\] が得られる.

また, \( y=0 \) は式\eqref{ichikaisenkeidouji2}を満たすことが明らかであり, これは式\eqref{ichikaisenkeidouji2a}において \( C=0 \) としたときに得られる解とみなすことができるので, これらもまとめて1階線形同次微分方程式 \[\frac{dy}{dx} + P(x) y = 0 \notag\] の一般解は \[y = C e^{ – \int P(x)\,dx }\] とあらわされることがわかる.

1階線形微分方程式の解

1階線形(非同次)微分方程式 \[\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) \label{ichikaisenkeiv2}\] の同伴方程式 \[\frac{dy}{dx} + P(x) y = 0 \label{ichikaisenkeiv2douhan}\] の一般解がわかったいま, 目的の式\eqref{ichikaisenkeiv2}の解を調べることを考えよう.

いまから議論する内容は, 式\eqref{ichikaisenkeiv2}が式\eqref{ichikaisenkeiv2douhan}と異なり \( Q(x) \neq 0 \) であるので, 式\eqref{ichikaisenkeiv2douhan}の一般解 \[y = C e^{ – \int P(x)\,dx } \label{ichikaisenkeiv2douhankai}\] に対して補正を加える事で式\eqref{ichikaisenkeiv2}の解を調べようというもので, 定数変化法と呼ばれる.

そこで, 式\eqref{ichikaisenkeiv2douhankai}に含まれる定数 \( C \) を未知の関数 \( u(x) \) に置き換えて \[y = u(x) e^{ – \int P(x)\,dx } \label{ichikaisenkeiv2kaisub}\] としてみて, 式\eqref{ichikaisenkeiv2}を満たすような \( u(x) \) が見つかればよいのである[1].

式\eqref{ichikaisenkeiv2kaisub}を \( x \) で微分すると, \[\begin{aligned} y^{\prime} & = u^{\prime}(x) e^{ – \int P(x)\,dx } + u(x) \frac{d}{dx}\left( – \int P(x)\,dx \right) e^{ – \int P(x)\,dx } \notag \\ & = u^{\prime}(x) e^{ – \int P(x)\,dx } – u(x) P(x) e^{ – \int P(x)\,dx } \notag \\ & = u^{\prime}(x) e^{ – \int P(x)\,dx } – P(x) y \notag \end{aligned}\] この \( y^{\prime} \) を微分方程式\eqref{ichikaisenkeidouji2}に代入すると, \[\begin{aligned} & \left\{ u^{\prime}(x) e^{ – \int P(x)\,dx } – P(x) y \right\} + P(x) y = Q(x) \notag \\ \to \ & u^{\prime}(x) e^{ – \int P(x)\,dx } = Q(x) \notag \\ \to \ & u^{\prime}(x) = Q(x) e^{ \int P(x)\,dx } \notag \end{aligned}\] となる. 両辺を \( x \) で積分すると, \[\begin{aligned} & u^{\prime}(x) = Q(x) e^{ \int P(x)\,dx } \notag \\ \to \ & \int u^{\prime}(x) \, dx = \int \left( Q(x) e^{ \int P(x)\,dx } \right) \, dx \notag \\ \to \ & u(x) = \int \left( Q(x) e^{ \int P(x)\,dx } \right) \, dx + C_{1} \quad \left( \text{$C_{1}$は任意定数} \right)\notag \end{aligned}\] となる.

この \( u(x) \) を式\eqref{ichikaisenkeiv2kaisub}に代入することで, \[y = e^{ – \int P(x)\,dx } \left\{ \int \left( Q(x) e^{ \int P(x)\,dx } \right) \, dx + C_{1} \right\}\] が得られる.

この式には既に \( y \) の導関数も未知関数も含まれていないので, 1階線形微分方程式が解けたことになり, 上式が一般解の公式として得られる.

一つの特殊解がわかっている場合

1階線形(非同次)微分方程式 \[\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) \label{ichikaisenkeiv3}\] を満たす特殊解一つがわかっているとしよう. すなわち, ある関数 \( y_{1} \) が \[\frac{dy_{1}}{dx} + P(x) y_{1} = Q(x) \label{ichikaisenkeiv3tokushu1}\] を満たすことがわかっているとする.

ここで, 式\eqref{ichikaisenkeiv3}の一般解が未知関数 \( z(x) \) と特殊解 \( y_{1} \) を用いて \[y = y_{1} + z \label{ichikaisenkeiv3katei}\] とかけると仮定し, 式\eqref{ichikaisenkeiv3}を満たすような \( z \) を探すことにしよう.

式\eqref{ichikaisenkeiv3katei}を式\eqref{ichikaisenkeiv3}に代入すると, \[\begin{aligned} & \frac{d}{dx} \left( y_{1} + z \right) + P(x) \left( y_{1} + z \right) = Q(x) \notag \\ \to & \left\{ \frac{dy_{1}}{dx} + P(x) y_{1} – Q(x) \right\} + \frac{dz}{dx} + P(x) z = 0 \notag \\ \underbrace{\to}_{\textbf{式\ref{ichikaisenkeiv3tokushu1}}} \ & \frac{dz}{dx} + P(x) z = 0 \notag\end{aligned}\] となるのでこの式を満たすような \( z \) を求めればよいことになる. この式は変数分離形の微分方程式であるので, \[\begin{aligned} & \frac{dz}{dx} + P(x) z = 0 \notag \\ & \frac{1}{z} \,dz =- P(x) \,dx \notag \\ & \int \frac{1}{z} \,dz =- \int P(x) \,dx \notag \\ & \log_{e}{\left| z \right|}=- \int P(x) \,dx + C_{1} \quad \left( \text{$C_{1}$は任意定数} \right) \notag \\ & z = \pm e^{C_{1}} e^{- \int P(x) \,dx} \notag \\ & z = C e^{- \int P(x) \,dx} \quad \left( \text{$C$は任意定数} \right) \notag \quad .\end{aligned}\] 以上より, 1階線形微分方程式 \[\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) \notag\] の特殊解の一つ \( y_{1} \) が分かっていれば, \[y = y_{1} + C e^{- \int P(x) \,dx} \quad \left( \text{$C$は任意定数} \right) \notag\] が一般解であることがわかる.

二つの特殊解がわかっている場合

1階線形(非同次)微分方程式 \[\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) \label{ichikaisenkeiv4}\] を満たす特殊解二つわかっているとしよう. すなわち, ある関数 \( y_{1} \) , \( y_{2} \) が \[\begin{aligned} & \frac{dy_{1}}{dx} + P(x) y_{1} = Q(x) \notag \\ & \frac{dy_{2}}{dx} + P(x) y_{2} = Q(x) \notag \end{aligned}\] を満たしているとしよう. この二式からはすぐさま \[\frac{d}{dx} \left\{ C\left( y_{2} – y_{1} \right) \right\} + P(x) \left\{ C\left( y_{2} – y_{1} \right) \right\} = 0 \quad \left( \text{$C$は任意定数}\right) \label{ichikaisenkeiv4sa}\] が成立していることわかる.

さらに, 式\eqref{ichikaisenkeiv4}の一般解が未知関数 \( z(x) \) と特殊解 \( y_{1} \) (もしくは \( y_{2} \) )を用いて \[y = y_{1} + z \label{ichikaisenkeiv4katei}\] とかけると仮定し, 式\eqref{ichikaisenkeiv4}を満たすような \( z \) を探すことにしよう.

式\eqref{ichikaisenkeiv4katei}を式\eqref{ichikaisenkeiv4}に代入すると, \[\begin{aligned} & \frac{d}{dx} \left( y_{1} + z \right) + P(x) \left( y_{1} + z \right) = Q(x) \notag \\ \to \ & \frac{dz}{dx} + P(x) z = 0 \notag \end{aligned}\] となるのでこの式を満たすような \( z \) を求めればよいことになる. このような \( z \) として, \( \left\{ C\left( y_{2} – y_{1} \right) \right\} \) が存在することは式\eqref{ichikaisenkeiv4sa}で示されているので, 結局 \[y = y_{1} + C\left( y_{2} – y_{1}\right) \quad \left( \text{$C$は任意定数}\right) \notag\] が式\eqref{ichikaisenkeiv4}を満たす一般解であることがわかる.




補足    (↵ 本文へ)
  1. ダメだったら諦めて別の手法で探さなくてはならないのだが, 幸いなことにうまくいく.

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