交換関係・反交換関係の公式

交換関係

物理量またはある演算子 \( A \) , \( B \) に対して, \( \left[ {\color{gray}\cdot }, {\color{gray}\cdot } \right] \) という記号を用いて次のような量を定義する. \[ { { \left[ {A} , {B} \right] } } \mathrel{\mathop:}= AB – BA \quad . \] 記号 \( \left[ {\color{gray}\cdot } , {\color{gray}\cdot } \right] \) 交換子という.

同様に, 物理量またはある演算子 \( A \) , \( B \) に対して, \( \left\{ {\color{gray}\cdot } , {\color{gray}\cdot } \right\} \) という記号を用いて次のような量を定義する. \[ { { \left\{ {A} , {B} \right\} } } \mathrel{\mathop:}= AB + BA \quad . \] 記号 \( \left\{ {\color{gray}\cdot } , {\color{gray}\cdot } \right\} \) 反交換子という.


\( A \) , \( B \) がただの数である場合には, \[ AB = BA \ \iff \ \left[ A, B \right] = 0 \label{ok} \] が成立する. この関係を当たり前のように思う人もいるかもしれないが, 実は一般的な, 広い意味でのについて考えるとき, 式\eqref{ok}を満たすようなばかりとは限らない.

式\eqref{ok}を満たすような \( A \) , \( B \) は可換であると言われる.

高校では積の順序関係で値が変わることがないような(可換な)代数ばかりが扱われている[1]が, 一般的には数や演算子は可換であるとは限らない. 外積計算を知っているならば想像しやすいと思うが, 計算結果が積の順序に依存する場合もあるのである.

以下では, \( A, B, C, D, E \) などは互いに可換ではない(非可換)とし, \( \lambda \) (ラムダ)をただの数として扱う.

交換関係・反交換関係の基本性質と代表公式

自分自身との交換関係は \( 0 \) である.

\[ { { \left[ {A} , {A} \right] } } = 0 \]

交換子の順序の入れ替えは符号をかえる.

\[ { { \left[ {A} , {B} \right] } } =- { { \left[ {B} , {A} \right] } } \]

交換子は次式の線形関係を満たす.

\[ { { \left[ {A} , {B+C} \right] } } = { { \left[ {A} , {B} \right] } } + { { \left[ {A} , {C} \right] } } \]

交換子は次式のライプニッツ則を満たす.

\[ { { \left[ {A} , {BC} \right] } } = { B{ \left[ {A} , {C} \right] } } + { { \left[ {A} , {B} \right] } C } \]

交換子について成り立つ次式はヤコビの恒等式と言われる.

\[ { { \left[ {A} , {{ { \left[ {B} , {C} \right] } }} \right] } } + { { \left[ {B} , {{ { \left[ {C} , {A} \right] } }} \right] } } + { { \left[ {C} , {{ { \left[ {A} , {B} \right] } }} \right] } } = 0 \]

数は交換子を通り抜ける.

\[ { { \left[ {\lambda A} , {B} \right] } } = \lambda{ { \left[ {A} , {B} \right] } } \]

反交換関係は順序の入れ替えで符号をかえない.

\[ { { \left\{ {A} , {B} \right\} } } = { { \left\{ {B} , {A} \right\} } } \]

交換関係・反交換関係の諸公式

\[ { { \left[ {A} , {B} \right] } } = – { { \left[ {B} , {A} \right] } } \notag \] \[ { { \left[ {A} , {B+C} \right] } } = { { \left[ {A} , {B} \right] } } + { { \left[ {A} , {C} \right] } } \notag \] \[ { { \left[ {A+B} , {C+D} \right] } } = { { \left[ {A} , {C} \right] } } + { { \left[ {A} , {D} \right] } } + { { \left[ {B} , {C} \right] } } + { { \left[ {B} , {D} \right] } } \notag \] \[ { { \left[ {A} , {{ { \left[ {B} , {C} \right] } }} \right] } } + { { \left[ {B} , {{ { \left[ {C} , {A} \right] } }} \right] } } + { { \left[ {C} , {{ { \left[ {A} , {B} \right] } }} \right] } } = 0 \notag \] \[ { { \left[ {A} , {BC} \right] } } = B { { \left[ {A} , {C} \right] } } + { { \left[ {A} , {B} \right] } }C \notag \] \[ { { \left[ {AB} , {C} \right] } } = A{ { \left[ {B} , {C} \right] } } + { { \left[ {A} , {C} \right] } }B \notag \] \[ { { \left[ {AB} , {C} \right] } } + { { \left[ {BC} , {A} \right] } } + { { \left[ {CA} , {B} \right] } } = 0 \notag \] \[ { { \left[ {AB} , {CD} \right] } } = A{ { \left[ {B} , {C} \right] } }D + AC{ { \left[ {B} , {D} \right] } } + { { \left[ {A} , {C} \right] } }DB + C { { \left[ {A} , {D} \right] } }B \notag \] \[ { { \left[ {ABC} , {D} \right] } } = { { \left[ {A} , {D} \right] } }BC + A{ { \left[ {B} , {D} \right] } }C + AB{ { \left[ {C} , {D} \right] } } \notag \] \[ { { \left[ {ABCD} , {E} \right] } } = { { \left[ {A} , {E} \right] } }BCD + A{ { \left[ {B} , {E} \right] } }CD + AB{ { \left[ {C} , {E} \right] } }D + ABC{ { \left[ {D} , {E} \right] } } \notag \] \[ { { \left[ {{ { \left[ {{ { \left[ {A} , {B} \right] } }} , {C} \right] } }} , {D} \right] } } + { { \left[ {{ { \left[ {{ { \left[ {B} , {C} \right] } }} , {D} \right] } }} , {A} \right] } } + { { \left[ {{ { \left[ {{ { \left[ {C} , {D} \right] } }} , {A} \right] } }} , {B} \right] } } + { { \left[ {{ { \left[ {{ { \left[ {D} , {A} \right] } }} , {B} \right] } }} , {C} \right] } } = { { \left[ {{ { \left[ {A} , {C} \right] } }} , {{ { \left[ {B} , {D} \right] } }} \right] } } \notag \] \[ \begin{aligned} { { \left[ {A^n} , {B} \right] } } &= A^{n-1}{ { \left[ {A} , {B} \right] } } + A^{n-2}{ { \left[ {A} , {B} \right] } }A + A^{n-3}{ { \left[ {A} , {B} \right] } }A^{2} + \cdots \\ & \phantom{ { { \left[ {A^n} , {B} \right] } } } = \sum_{k=1}^{n-1} A^{n-k}{ { \left[ {A} , {B} \right] } }A^{k-1} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} { { \left[ {A} , {B^n} \right] } } &= B^{n-1}{ { \left[ {A} , {B} \right] } } + B^{n-2}{ { \left[ {A} , {B} \right] } }B + B^{n-3}{ { \left[ {A} , {B} \right] } }B^{2} + \cdots \\ & \phantom{ { { \left[ {A^n} , {B} \right] } } } = \sum_{k=1}^{n-1} B^{n-k}{ { \left[ {A} , {B} \right] } }B^{k-1} \end{aligned} \] \[ { { \left\{ {A} , {B} \right\} } } = { { \left\{ {B} , {A} \right\} } } \notag \] \[ { { \left\{ {A} , {B+C} \right\} } } = { { \left\{ {A} , {B} \right\} } } + { { \left\{ {A} , {C} \right\} } } \notag \] \[ { { \left[ {A} , {BC} \right] } } = { { \left\{ {A} , {B} \right\} } } C – B { { \left\{ {A} , {C} \right\} } } \notag \] \[ { { \left[ {AB} , {C} \right] } } = A { { \left\{ {B} , {C} \right\} } } – { { \left\{ {A} , {C} \right\} } } B \notag \] \[ { { \left[ {A} , {{ { \left\{ {B} , {C} \right\} } }} \right] } } + { { \left[ {B} , {{ { \left\{ {C} , {A} \right\} } }} \right] } } + { { \left[ {C} , {{ { \left\{ {A} , {B} \right\} } }} \right] } } = 0 \notag \] \[ AB = \frac{ { { \left[ {A} , {B} \right] } } + { { \left\{ {A} , {B} \right\} } } }{2} \notag \]

指数関数が絡む公式

以下では, \[ \exp{\left[ x \right]} \mathrel{\mathop:}= e^{x} \notag \] とし, 演算子 \( X \) が指数部にある場合, \[ \begin{aligned} \exp{\left[ X \right] } & = 1 + X + \frac{1}{2!}X^2+ \frac{1}{3!}X^3+ \cdots \\ & = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}X^{n} \end{aligned} \] で定義する. これを適宜用いるなどすることで下記の公式郡が得られる.

ベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式 \[ e^{A} e^{B} = \exp{ \left[A + B + \frac{1}{2}{ { \left[ {A} , {B} \right] } } + \frac{1}{12}\left( { { \left[ {A} , {{ { \left[ {A} , {B} \right] } }} \right] } } + { { \left[ {B} , {{ { \left[ {B} , {A} \right] } }} \right] } }\right) + \cdots \right.} \] この公式は \( A \) と \( B \) が可換でないと, いわゆる指数法則 \( a^m a^n = a^{m+n} \) が成立していないことを意味している.

\[ e^{\lambda A} B e^{-\lambda A} = B + \lambda { { \left[ {A} , {B} \right] } } + \frac{\lambda^2}{2!}{ { \left[ {A} , {{ { \left[ {A} , {B} \right] } }} \right] } } + \frac{\lambda^3}{3!}{ { \left[ {A} , {{ { \left[ {A} , {{ { \left[ {A} , {B} \right] } }} \right] } }} \right] } } + \cdots \notag \] \[ e^{\lambda A} B e^{\lambda A} = B + \lambda { { \left\{ {A} , {B} \right\} } } + \frac{\lambda^2}{2!}{ { \left\{ {A} , {{ { \left\{ {A} , {B} \right\} } }} \right\} } } + \frac{\lambda^3}{3!}{ { \left\{ {A} , {{ { \left\{ {A} , {{ { \left\{ {A} , {B} \right\} } }} \right\} } }} \right\} } } + \cdots \notag \]

\( { { \left[ {A} , {{ { \left[ {A} , {B} \right] } }} \right] } }={ { \left[ {B} , {{ { \left[ {A} , {B} \right] } }} \right] } }=0 \) のとき

物理では, \[ { { \left[ {A} , {{ { \left[ {A} , {B} \right] } }} \right] } }={ { \left[ {B} , {{ { \left[ {A} , {B} \right] } }} \right] } }=0 \notag \] を満たすような量について興味が有ることが多い. この場合にはいくつかの公式を単純化することができる.

\[ { { \left[ {A^n} , {B} \right] } } = n { { \left[ {A} , {B} \right] } }A^{n-1} \notag \] \[ { { \left[ {A} , {B^n} \right] } } = n B^{n-1}{ { \left[ {A} , {B} \right] } }\notag \] \[ { { \left[ {e^{\lambda A}} , {B} \right] } } = \lambda { { \left[ {A} , {B} \right] } }e^{\lambda A}\notag \] \[ e^{A} e^{B} = \exp{\left[ A + B + \frac{1}{2}{ { \left[ {A} , {B} \right] } } \right] }\notag \] \[ e^{A+B} = e^{A}e^{B}\exp{\left[ -\frac{1}{2}{ { \left[ {A} , {B} \right] } } \right]} \notag \] \[ e^{A} e^{B} = e^{{ { \left[ {A} , {B} \right] } }}e^{B}e^{A}\notag \] \[ e^{-\lambda A} B e^{\lambda A } =- \lambda { { \left[ {A} , {B} \right] } } + B\notag \] \[ e^{-\lambda A} B ^{n} e^{\lambda A } = \left( – \lambda { { \left[ {A} , {B} \right] } } + B \right)^{n} \notag \]




補足    (↵ 本文へ)
  1. 一時期数学Cの範囲に行列という単位が存在した. 一般に, 行列 \( A \) , \( B \) は可換ではない.

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